ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  metequiv Unicode version

Theorem metequiv 12701
Description: Two ways of saying that two metrics generate the same topology. Two metrics satisfying the right-hand side are said to be (topologically) equivalent. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
metequiv.3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metequiv.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metequiv  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( J  =  K  <->  A. x  e.  X  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  /\  A. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( x (
ball `  C )
b )  C_  (
x ( ball `  D
) a ) ) ) )
Distinct variable groups:    s, r, x, C    J, r, s, x    K, r, s, x    D, r, s, x    X, r, s, x    a, b, x, C    D, a,
b    J, a, b    K, a, b    X, a, b

Proof of Theorem metequiv
StepHypRef Expression
1 metequiv.3 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
2 metequiv.4 . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
31, 2metss 12700 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( J  C_  K  <->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
42, 1metss 12700 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  C  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( K  C_  J  <->  A. x  e.  X  A. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( x ( ball `  C ) b ) 
C_  ( x (
ball `  D )
a ) ) )
54ancoms 266 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( K  C_  J  <->  A. x  e.  X  A. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( x ( ball `  C ) b ) 
C_  ( x (
ball `  D )
a ) ) )
63, 5anbi12d 465 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  (
( J  C_  K  /\  K  C_  J )  <-> 
( A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r )  /\  A. x  e.  X  A. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( x (
ball `  C )
b )  C_  (
x ( ball `  D
) a ) ) ) )
7 eqss 3116 . 2  |-  ( J  =  K  <->  ( J  C_  K  /\  K  C_  J ) )
8 r19.26 2561 . 2  |-  ( A. x  e.  X  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  /\  A. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( x (
ball `  C )
b )  C_  (
x ( ball `  D
) a ) )  <-> 
( A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r )  /\  A. x  e.  X  A. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( x (
ball `  C )
b )  C_  (
x ( ball `  D
) a ) ) )
96, 7, 83bitr4g 222 1  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( J  =  K  <->  A. x  e.  X  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  /\  A. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( x (
ball `  C )
b )  C_  (
x ( ball `  D
) a ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418    C_ wss 3075   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   RR+crp 9469   *Metcxmet 12186   ballcbl 12188   MetOpencmopn 12191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-isom 5139  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-map 6551  df-sup 6878  df-inf 6879  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-xneg 9588  df-xadd 9589  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-topgen 12178  df-psmet 12193  df-xmet 12194  df-bl 12196  df-mopn 12197  df-top 12202  df-bases 12247
This theorem is referenced by:  metequiv2  12702
  Copyright terms: Public domain W3C validator