Theorem metequiv 15492

Description: Two ways of saying that two metrics generate the same topology. Two metrics satisfying the right-hand side are said to be (topologically) equivalent. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
metequiv.3	|- J = ( MetOpen ` C )
metequiv.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metequiv	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( J = K <-> A. x e. X ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ A. a e. RR+ E. b e. RR+ ( x ( ball ` C ) b ) C_ ( x ( ball ` D ) a ) ) ) )

Distinct variable groups:   s, r, x, C   J, r, s, x   K, r, s, x   D, r, s, x   X, r, s, x   a, b, x, C   D, a, b   J, a, b   K, a, b   X, a, b

Proof of Theorem metequiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metequiv.3	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` C )
2		metequiv.4	. . . 4 |- K = ( MetOpen ` D )
3	1, 2	metss 15491	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( J C_ K <-> A. x e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) ) )
4	2, 1	metss 15491	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ C e. ( *Met ` X ) ) -> ( K C_ J <-> A. x e. X A. a e. RR+ E. b e. RR+ ( x ( ball ` C ) b ) C_ ( x ( ball ` D ) a ) ) )
5	4	ancoms 268	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( K C_ J <-> A. x e. X A. a e. RR+ E. b e. RR+ ( x ( ball ` C ) b ) C_ ( x ( ball ` D ) a ) ) )
6	3, 5	anbi12d 473	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( ( J C_ K /\ K C_ J ) <-> ( A. x e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ A. x e. X A. a e. RR+ E. b e. RR+ ( x ( ball ` C ) b ) C_ ( x ( ball ` D ) a ) ) ) )
7		eqss 3257	. 2 |- ( J = K <-> ( J C_ K /\ K C_ J ) )
8		r19.26 2671	. 2 |- ( A. x e. X ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ A. a e. RR+ E. b e. RR+ ( x ( ball ` C ) b ) C_ ( x ( ball ` D ) a ) ) <-> ( A. x e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ A. x e. X A. a e. RR+ E. b e. RR+ ( x ( ball ` C ) b ) C_ ( x ( ball ` D ) a ) ) )
9	6, 7, 8	3bitr4g 223	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( J = K <-> A. x e. X ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ A. a e. RR+ E. b e. RR+ ( x ( ball ` C ) b ) C_ ( x ( ball ` D ) a ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   C_ wss 3214   ` cfv 5359  (class class class)co 6060   RR+crp 10009   *Metcxmet 14816   ballcbl 14818   MetOpencmopn 14821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-iinf 4717  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262  ax-pre-mulext 8263  ax-arch 8264  ax-caucvg 8265

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4720  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-isom 5368  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6551  df-frec 6637  df-map 6899  df-sup 7290  df-inf 7291  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-reap 8869  df-ap 8876  df-div 8969  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-4 9320  df-n0 9519  df-z 9600  df-uz 9877  df-q 9975  df-rp 10010  df-xneg 10129  df-xadd 10130  df-seqfrec 10839  df-exp 10930  df-cj 11557  df-re 11558  df-im 11559  df-rsqrt 11714  df-abs 11715  df-topgen 13563  df-psmet 14823  df-xmet 14824  df-bl 14826  df-mopn 14827  df-top 14995  df-bases 15040

This theorem is referenced by:  metequiv2  15493