Theorem nninfinf 10805

Description: ℕ_∞ is infinte. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nninfinf	|- om ~<_ ℕ∞

Proof of Theorem nninfinf

Dummy variables i m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnninf 7417	. . . 4 |- ( n e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( n e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ ) )
3		1lt2o 6675	. . . . . . . . 9 |- 1o e. 2o
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
5		0lt2o 6674	. . . . . . . . 9 |- (/) e. 2o
6	5	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> (/) e. 2o )
7		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> i e. om )
8		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> n e. om )
9		nndcel 6733	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. om /\ n e. om ) -> DECID i e. n )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> DECID i e. n )
11	4, 6, 10	ifcldcd 3660	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> if ( i e. n , 1o , (/) ) e. 2o )
12	11	ralrimiva 2615	. . . . . 6 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) e. 2o )
13		mpteqb 5768	. . . . . 6 |- ( A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) e. 2o -> ( ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. m , 1o , (/) ) ) <-> A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. m , 1o , (/) ) ) <-> A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) )
15		nfv 1577	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( n e. om /\ m e. om )
16		nfra1 2573	. . . . . . . . . 10 |- F/ i A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) )
17	15, 16	nfan 1614	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) )
18		elnn 4728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. n /\ n e. om ) -> i e. om )
19	18	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. om -> ( i e. n -> i e. om ) )
20	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> ( i e. n -> i e. om ) )
21		elnn 4728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. m /\ m e. om ) -> i e. om )
22	21	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. om -> ( i e. m -> i e. om ) )
23	22	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> ( i e. m -> i e. om ) )
24		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> m e. om )
25		nndcel 6733	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. om /\ m e. om ) -> DECID i e. m )
26	7, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> DECID i e. m )
27		1n0 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o =/= (/)
28		ifnebibdc 3668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (DECID i e. n /\ DECID i e. m /\ 1o =/= (/) ) -> ( if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) <-> ( i e. n <-> i e. m ) ) )
29	27, 28	mp3an3 1363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (DECID i e. n /\ DECID i e. m ) -> ( if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) <-> ( i e. n <-> i e. m ) ) )
30	10, 26, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> ( if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) <-> ( i e. n <-> i e. m ) ) )
31	30	ralbidva 2538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) <-> A. i e. om ( i e. n <-> i e. m ) ) )
32	31	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> A. i e. om ( i e. n <-> i e. m ) )
33		rsp 2589	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. i e. om ( i e. n <-> i e. m ) -> ( i e. om -> ( i e. n <-> i e. m ) ) )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> ( i e. om -> ( i e. n <-> i e. m ) ) )
35	20, 23, 34	pm5.21ndd 713	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> ( i e. n <-> i e. m ) )
36	17, 35	alrimi 1571	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> A. i ( i e. n <-> i e. m ) )
37		axext4 2216	. . . . . . . 8 |- ( n = m <-> A. i ( i e. n <-> i e. m ) )
38	36, 37	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> n = m )
39	38	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) -> n = m ) )
40		elequ2 2208	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( i e. n <-> i e. m ) )
41	40	ifbid 3644	. . . . . . 7 |- ( n = m -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) )
42	41	ralrimivw 2616	. . . . . 6 |- ( n = m -> A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) )
43	39, 42	impbid1 142	. . . . 5 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) <-> n = m ) )
44	14, 43	bitrd 188	. . . 4 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. m , 1o , (/) ) ) <-> n = m ) )
45	44	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. m , 1o , (/) ) ) <-> n = m ) ) )
46		omex 4715	. . . 4 |- om e. _V
47	46	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> om e. _V )
48		nninfex 7412	. . . 4 |- ℕ∞ e. _V
49	48	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ℕ∞ e. _V )
50	2, 45, 47, 49	dom3d 7013	. 2 |- ( T. -> om ~<_ ℕ∞ )
51	50	mptru 1407	1 |- om ~<_ ℕ∞

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   A.wal 1396   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2203   =/= wne 2412   A.wral 2520   _Vcvv 2813   (/)c0 3508   ifcif 3620   class class class wbr 4109   |-> cmpt 4171   omcom 4712   1oc1o 6640   2oc2o 6641   ~<_ cdom 6974  ℕ_∞xnninf 7410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1o 6647  df-2o 6648  df-map 6884  df-dom 6977  df-nninf 7411

This theorem is referenced by:  nnnninfen  16799