Theorem nninfinf 10625

Description: ℕ_∞ is infinte. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nninfinf	|- om ~<_ ℕ∞

Proof of Theorem nninfinf

Dummy variables i m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnninf 7254	. . . 4 |- ( n e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( n e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ ) )
3		1lt2o 6551	. . . . . . . . 9 |- 1o e. 2o
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
5		0lt2o 6550	. . . . . . . . 9 |- (/) e. 2o
6	5	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> (/) e. 2o )
7		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> i e. om )
8		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> n e. om )
9		nndcel 6609	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. om /\ n e. om ) -> DECID i e. n )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> DECID i e. n )
11	4, 6, 10	ifcldcd 3617	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> if ( i e. n , 1o , (/) ) e. 2o )
12	11	ralrimiva 2581	. . . . . 6 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) e. 2o )
13		mpteqb 5693	. . . . . 6 |- ( A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) e. 2o -> ( ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. m , 1o , (/) ) ) <-> A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. m , 1o , (/) ) ) <-> A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) )
15		nfv 1552	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( n e. om /\ m e. om )
16		nfra1 2539	. . . . . . . . . 10 |- F/ i A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) )
17	15, 16	nfan 1589	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) )
18		elnn 4672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. n /\ n e. om ) -> i e. om )
19	18	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. om -> ( i e. n -> i e. om ) )
20	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> ( i e. n -> i e. om ) )
21		elnn 4672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. m /\ m e. om ) -> i e. om )
22	21	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. om -> ( i e. m -> i e. om ) )
23	22	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> ( i e. m -> i e. om ) )
24		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> m e. om )
25		nndcel 6609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. om /\ m e. om ) -> DECID i e. m )
26	7, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> DECID i e. m )
27		1n0 6541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o =/= (/)
28		ifnebibdc 3625	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (DECID i e. n /\ DECID i e. m /\ 1o =/= (/) ) -> ( if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) <-> ( i e. n <-> i e. m ) ) )
29	27, 28	mp3an3 1339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (DECID i e. n /\ DECID i e. m ) -> ( if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) <-> ( i e. n <-> i e. m ) ) )
30	10, 26, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> ( if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) <-> ( i e. n <-> i e. m ) ) )
31	30	ralbidva 2504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) <-> A. i e. om ( i e. n <-> i e. m ) ) )
32	31	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> A. i e. om ( i e. n <-> i e. m ) )
33		rsp 2555	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. i e. om ( i e. n <-> i e. m ) -> ( i e. om -> ( i e. n <-> i e. m ) ) )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> ( i e. om -> ( i e. n <-> i e. m ) ) )
35	20, 23, 34	pm5.21ndd 707	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> ( i e. n <-> i e. m ) )
36	17, 35	alrimi 1546	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> A. i ( i e. n <-> i e. m ) )
37		axext4 2191	. . . . . . . 8 |- ( n = m <-> A. i ( i e. n <-> i e. m ) )
38	36, 37	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> n = m )
39	38	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) -> n = m ) )
40		elequ2 2183	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( i e. n <-> i e. m ) )
41	40	ifbid 3601	. . . . . . 7 |- ( n = m -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) )
42	41	ralrimivw 2582	. . . . . 6 |- ( n = m -> A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) )
43	39, 42	impbid1 142	. . . . 5 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) <-> n = m ) )
44	14, 43	bitrd 188	. . . 4 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. m , 1o , (/) ) ) <-> n = m ) )
45	44	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. m , 1o , (/) ) ) <-> n = m ) ) )
46		omex 4659	. . . 4 |- om e. _V
47	46	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> om e. _V )
48		nninfex 7249	. . . 4 |- ℕ∞ e. _V
49	48	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ℕ∞ e. _V )
50	2, 45, 47, 49	dom3d 6888	. 2 |- ( T. -> om ~<_ ℕ∞ )
51	50	mptru 1382	1 |- om ~<_ ℕ∞

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   A.wal 1371   = wceq 1373   T. wtru 1374   e. wcel 2178   =/= wne 2378   A.wral 2486   _Vcvv 2776   (/)c0 3468   ifcif 3579   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   omcom 4656   1oc1o 6518   2oc2o 6519   ~<_ cdom 6849  ℕ_∞xnninf 7247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1o 6525  df-2o 6526  df-map 6760  df-dom 6852  df-nninf 7248

This theorem is referenced by:  nnnninfen  16160