Theorem nninfinf 10660

Description: ℕ_∞ is infinte. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nninfinf	|- om ~<_ ℕ∞

Proof of Theorem nninfinf

Dummy variables i m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnninf 7289	. . . 4 |- ( n e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( n e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ ) )
3		1lt2o 6586	. . . . . . . . 9 |- 1o e. 2o
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
5		0lt2o 6585	. . . . . . . . 9 |- (/) e. 2o
6	5	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> (/) e. 2o )
7		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> i e. om )
8		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> n e. om )
9		nndcel 6644	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. om /\ n e. om ) -> DECID i e. n )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> DECID i e. n )
11	4, 6, 10	ifcldcd 3640	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> if ( i e. n , 1o , (/) ) e. 2o )
12	11	ralrimiva 2603	. . . . . 6 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) e. 2o )
13		mpteqb 5724	. . . . . 6 |- ( A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) e. 2o -> ( ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. m , 1o , (/) ) ) <-> A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. m , 1o , (/) ) ) <-> A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) )
15		nfv 1574	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( n e. om /\ m e. om )
16		nfra1 2561	. . . . . . . . . 10 |- F/ i A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) )
17	15, 16	nfan 1611	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) )
18		elnn 4697	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. n /\ n e. om ) -> i e. om )
19	18	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. om -> ( i e. n -> i e. om ) )
20	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> ( i e. n -> i e. om ) )
21		elnn 4697	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. m /\ m e. om ) -> i e. om )
22	21	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. om -> ( i e. m -> i e. om ) )
23	22	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> ( i e. m -> i e. om ) )
24		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> m e. om )
25		nndcel 6644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. om /\ m e. om ) -> DECID i e. m )
26	7, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> DECID i e. m )
27		1n0 6576	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o =/= (/)
28		ifnebibdc 3648	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (DECID i e. n /\ DECID i e. m /\ 1o =/= (/) ) -> ( if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) <-> ( i e. n <-> i e. m ) ) )
29	27, 28	mp3an3 1360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (DECID i e. n /\ DECID i e. m ) -> ( if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) <-> ( i e. n <-> i e. m ) ) )
30	10, 26, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> ( if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) <-> ( i e. n <-> i e. m ) ) )
31	30	ralbidva 2526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) <-> A. i e. om ( i e. n <-> i e. m ) ) )
32	31	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> A. i e. om ( i e. n <-> i e. m ) )
33		rsp 2577	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. i e. om ( i e. n <-> i e. m ) -> ( i e. om -> ( i e. n <-> i e. m ) ) )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> ( i e. om -> ( i e. n <-> i e. m ) ) )
35	20, 23, 34	pm5.21ndd 710	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> ( i e. n <-> i e. m ) )
36	17, 35	alrimi 1568	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> A. i ( i e. n <-> i e. m ) )
37		axext4 2213	. . . . . . . 8 |- ( n = m <-> A. i ( i e. n <-> i e. m ) )
38	36, 37	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> n = m )
39	38	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) -> n = m ) )
40		elequ2 2205	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( i e. n <-> i e. m ) )
41	40	ifbid 3624	. . . . . . 7 |- ( n = m -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) )
42	41	ralrimivw 2604	. . . . . 6 |- ( n = m -> A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) )
43	39, 42	impbid1 142	. . . . 5 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) <-> n = m ) )
44	14, 43	bitrd 188	. . . 4 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. m , 1o , (/) ) ) <-> n = m ) )
45	44	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. m , 1o , (/) ) ) <-> n = m ) ) )
46		omex 4684	. . . 4 |- om e. _V
47	46	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> om e. _V )
48		nninfex 7284	. . . 4 |- ℕ∞ e. _V
49	48	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ℕ∞ e. _V )
50	2, 45, 47, 49	dom3d 6923	. 2 |- ( T. -> om ~<_ ℕ∞ )
51	50	mptru 1404	1 |- om ~<_ ℕ∞

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 839   A.wal 1393   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   _Vcvv 2799   (/)c0 3491   ifcif 3602   class class class wbr 4082   |-> cmpt 4144   omcom 4681   1oc1o 6553   2oc2o 6554   ~<_ cdom 6884  ℕ_∞xnninf 7282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1o 6560  df-2o 6561  df-map 6795  df-dom 6887  df-nninf 7283

This theorem is referenced by:  nnnninfen  16346