Theorem nninfinf 10586

Description: ℕ_∞ is infinte. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nninfinf	|- om ~<_ ℕ∞

Proof of Theorem nninfinf

Dummy variables i m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnninf 7227	. . . 4 |- ( n e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( n e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ ) )
3		1lt2o 6527	. . . . . . . . 9 |- 1o e. 2o
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
5		0lt2o 6526	. . . . . . . . 9 |- (/) e. 2o
6	5	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> (/) e. 2o )
7		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> i e. om )
8		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> n e. om )
9		nndcel 6585	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. om /\ n e. om ) -> DECID i e. n )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> DECID i e. n )
11	4, 6, 10	ifcldcd 3607	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> if ( i e. n , 1o , (/) ) e. 2o )
12	11	ralrimiva 2578	. . . . . 6 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) e. 2o )
13		mpteqb 5669	. . . . . 6 |- ( A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) e. 2o -> ( ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. m , 1o , (/) ) ) <-> A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. m , 1o , (/) ) ) <-> A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) )
15		nfv 1550	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( n e. om /\ m e. om )
16		nfra1 2536	. . . . . . . . . 10 |- F/ i A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) )
17	15, 16	nfan 1587	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) )
18		elnn 4653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. n /\ n e. om ) -> i e. om )
19	18	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. om -> ( i e. n -> i e. om ) )
20	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> ( i e. n -> i e. om ) )
21		elnn 4653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. m /\ m e. om ) -> i e. om )
22	21	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. om -> ( i e. m -> i e. om ) )
23	22	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> ( i e. m -> i e. om ) )
24		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> m e. om )
25		nndcel 6585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. om /\ m e. om ) -> DECID i e. m )
26	7, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> DECID i e. m )
27		1n0 6517	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o =/= (/)
28		ifnebibdc 3614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (DECID i e. n /\ DECID i e. m /\ 1o =/= (/) ) -> ( if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) <-> ( i e. n <-> i e. m ) ) )
29	27, 28	mp3an3 1338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (DECID i e. n /\ DECID i e. m ) -> ( if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) <-> ( i e. n <-> i e. m ) ) )
30	10, 26, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ i e. om ) -> ( if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) <-> ( i e. n <-> i e. m ) ) )
31	30	ralbidva 2501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) <-> A. i e. om ( i e. n <-> i e. m ) ) )
32	31	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> A. i e. om ( i e. n <-> i e. m ) )
33		rsp 2552	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. i e. om ( i e. n <-> i e. m ) -> ( i e. om -> ( i e. n <-> i e. m ) ) )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> ( i e. om -> ( i e. n <-> i e. m ) ) )
35	20, 23, 34	pm5.21ndd 706	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> ( i e. n <-> i e. m ) )
36	17, 35	alrimi 1544	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> A. i ( i e. n <-> i e. m ) )
37		axext4 2188	. . . . . . . 8 |- ( n = m <-> A. i ( i e. n <-> i e. m ) )
38	36, 37	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. om /\ m e. om ) /\ A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) ) -> n = m )
39	38	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) -> n = m ) )
40		elequ2 2180	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( i e. n <-> i e. m ) )
41	40	ifbid 3591	. . . . . . 7 |- ( n = m -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) )
42	41	ralrimivw 2579	. . . . . 6 |- ( n = m -> A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) )
43	39, 42	impbid1 142	. . . . 5 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( A. i e. om if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. m , 1o , (/) ) <-> n = m ) )
44	14, 43	bitrd 188	. . . 4 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. m , 1o , (/) ) ) <-> n = m ) )
45	44	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. m , 1o , (/) ) ) <-> n = m ) ) )
46		omex 4640	. . . 4 |- om e. _V
47	46	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> om e. _V )
48		nninfex 7222	. . . 4 |- ℕ∞ e. _V
49	48	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ℕ∞ e. _V )
50	2, 45, 47, 49	dom3d 6864	. 2 |- ( T. -> om ~<_ ℕ∞ )
51	50	mptru 1381	1 |- om ~<_ ℕ∞

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   A.wal 1370   = wceq 1372   T. wtru 1373   e. wcel 2175   =/= wne 2375   A.wral 2483   _Vcvv 2771   (/)c0 3459   ifcif 3570   class class class wbr 4043   |-> cmpt 4104   omcom 4637   1oc1o 6494   2oc2o 6495   ~<_ cdom 6825  ℕ_∞xnninf 7220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1o 6501  df-2o 6502  df-map 6736  df-dom 6828  df-nninf 7221

This theorem is referenced by:  nnnninfen  15891