Theorem nnnninfen 15752

Description: Equinumerosity of the natural numbers and ℕ_∞ is equivalent to the Limited Principle of Omniscience (LPO). Remark in Section 1.1 of [Pradic2025], p. 2. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninfen	|- ( om ~~ ℕ∞ <-> om e. Omni )

Proof of Theorem nnnninfen

Dummy variables i j x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfomni 15750	. . 3 |- ℕ∞ e. Omni
2		enomni 7214	. . 3 |- ( om ~~ ℕ∞ -> ( om e. Omni <-> ℕ∞ e. Omni ) )
3	1, 2	mpbiri 168	. 2 |- ( om ~~ ℕ∞ -> om e. Omni )
4		lpowlpo 7243	. . . . . 6 |- ( om e. Omni -> om e. WOmni )
5		nninfwlpo 7254	. . . . . 6 |- ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y <-> om e. WOmni )
6	4, 5	sylibr 134	. . . . 5 |- ( om e. Omni -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )
7		nninfct 12233	. . . . . 6 |- ( om e. Omni -> E. z z : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) )
8		infnninf 7199	. . . . . . 7 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
9		elex2 2779	. . . . . . 7 |- ( ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ -> E. j j e. ℕ∞ )
10		ctm 7184	. . . . . . 7 |- ( E. j j e. ℕ∞ -> ( E. z z : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) <-> E. z z : om -onto->ℕ∞ ) )
11	8, 9, 10	mp2b 8	. . . . . 6 |- ( E. z z : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) <-> E. z z : om -onto->ℕ∞ )
12	7, 11	sylib 122	. . . . 5 |- ( om e. Omni -> E. z z : om -onto->ℕ∞ )
13		nninfinf 10552	. . . . . 6 |- om ~<_ ℕ∞
14	13	a1i 9	. . . . 5 |- ( om e. Omni -> om ~<_ ℕ∞ )
15		ctinf 12672	. . . . 5 |- (ℕ∞ ~~ NN <-> ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y /\ E. z z : om -onto->ℕ∞ /\ om ~<_ ℕ∞ ) )
16	6, 12, 14, 15	syl3anbrc 1183	. . . 4 |- ( om e. Omni -> ℕ∞ ~~ NN )
17		nnenom 10543	. . . 4 |- NN ~~ om
18		entr 6852	. . . 4 |- ( (ℕ∞ ~~ NN /\ NN ~~ om ) -> ℕ∞ ~~ om )
19	16, 17, 18	sylancl 413	. . 3 |- ( om e. Omni -> ℕ∞ ~~ om )
20	19	ensymd 6851	. 2 |- ( om e. Omni -> om ~~ ℕ∞ )
21	3, 20	impbii 126	1 |- ( om ~~ ℕ∞ <-> om e. Omni )

Syntax hints:   <-> wb 105  DECID wdc 835   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   omcom 4627   -onto->wfo 5257   1oc1o 6476   ~~ cen 6806   ~<_ cdom 6807   ⊔ cdju 7112  ℕ_∞xnninf 7194  Omnicomni 7209  WOmnicwomni 7238   NNcn 9007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-er 6601  df-map 6718  df-pm 6719  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-inf 7060  df-dju 7113  df-inl 7122  df-inr 7123  df-case 7159  df-nninf 7195  df-omni 7210  df-markov 7227  df-womni 7239  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-xnn0 9330  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557

This theorem is referenced by: (None)