Theorem nnnninfen 17064

Description: Equinumerosity of the natural numbers and ℕ_∞ is equivalent to the Limited Principle of Omniscience (LPO). Remark in Section 1.1 of [Pradic2025], p. 2. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninfen	|- ( om ~~ ℕ∞ <-> om e. Omni )

Proof of Theorem nnnninfen

Dummy variables i j x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfomni 17062	. . 3 |- ℕ∞ e. Omni
2		enomni 7479	. . 3 |- ( om ~~ ℕ∞ -> ( om e. Omni <-> ℕ∞ e. Omni ) )
3	1, 2	mpbiri 168	. 2 |- ( om ~~ ℕ∞ -> om e. Omni )
4		lpowlpo 7508	. . . . . 6 |- ( om e. Omni -> om e. WOmni )
5		nninfwlpo 7521	. . . . . 6 |- ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y <-> om e. WOmni )
6	4, 5	sylibr 134	. . . . 5 |- ( om e. Omni -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )
7		nninfct 12818	. . . . . 6 |- ( om e. Omni -> E. z z : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) )
8		infnninf 7464	. . . . . . 7 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
9		elex2 2838	. . . . . . 7 |- ( ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ -> E. j j e. ℕ∞ )
10		ctm 7449	. . . . . . 7 |- ( E. j j e. ℕ∞ -> ( E. z z : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) <-> E. z z : om -onto->ℕ∞ ) )
11	8, 9, 10	mp2b 8	. . . . . 6 |- ( E. z z : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) <-> E. z z : om -onto->ℕ∞ )
12	7, 11	sylib 122	. . . . 5 |- ( om e. Omni -> E. z z : om -onto->ℕ∞ )
13		nninfinf 10880	. . . . . 6 |- om ~<_ ℕ∞
14	13	a1i 9	. . . . 5 |- ( om e. Omni -> om ~<_ ℕ∞ )
15		ctinf 13321	. . . . 5 |- (ℕ∞ ~~ NN <-> ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y /\ E. z z : om -onto->ℕ∞ /\ om ~<_ ℕ∞ ) )
16	6, 12, 14, 15	syl3anbrc 1212	. . . 4 |- ( om e. Omni -> ℕ∞ ~~ NN )
17		nnenom 10871	. . . 4 |- NN ~~ om
18		entr 7071	. . . 4 |- ( (ℕ∞ ~~ NN /\ NN ~~ om ) -> ℕ∞ ~~ om )
19	16, 17, 18	sylancl 417	. . 3 |- ( om e. Omni -> ℕ∞ ~~ om )
20	19	ensymd 7070	. 2 |- ( om e. Omni -> om ~~ ℕ∞ )
21	3, 20	impbii 126	1 |- ( om ~~ ℕ∞ <-> om e. Omni )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105  DECID wdc 846   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   omcom 4737   -onto->wfo 5375   1oc1o 6680   ~~ cen 7020   ~<_ cdom 7021   ⊔ cdju 7377  ℕ_∞xnninf 7459  Omnicomni 7474  WOmnicwomni 7503   NNcn 9304

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-map 6924  df-pm 6925  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-dju 7378  df-inl 7387  df-inr 7388  df-case 7424  df-nninf 7460  df-omni 7475  df-markov 7492  df-womni 7504  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-xnn0 9631  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885

This theorem is used by: (None)