Theorem nnnninfen 16623

Description: Equinumerosity of the natural numbers and ℕ_∞ is equivalent to the Limited Principle of Omniscience (LPO). Remark in Section 1.1 of [Pradic2025], p. 2. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninfen	|- ( om ~~ ℕ∞ <-> om e. Omni )

Proof of Theorem nnnninfen

Dummy variables i j x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfomni 16621	. . 3 |- ℕ∞ e. Omni
2		enomni 7337	. . 3 |- ( om ~~ ℕ∞ -> ( om e. Omni <-> ℕ∞ e. Omni ) )
3	1, 2	mpbiri 168	. 2 |- ( om ~~ ℕ∞ -> om e. Omni )
4		lpowlpo 7366	. . . . . 6 |- ( om e. Omni -> om e. WOmni )
5		nninfwlpo 7379	. . . . . 6 |- ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y <-> om e. WOmni )
6	4, 5	sylibr 134	. . . . 5 |- ( om e. Omni -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )
7		nninfct 12611	. . . . . 6 |- ( om e. Omni -> E. z z : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) )
8		infnninf 7322	. . . . . . 7 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
9		elex2 2819	. . . . . . 7 |- ( ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ -> E. j j e. ℕ∞ )
10		ctm 7307	. . . . . . 7 |- ( E. j j e. ℕ∞ -> ( E. z z : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) <-> E. z z : om -onto->ℕ∞ ) )
11	8, 9, 10	mp2b 8	. . . . . 6 |- ( E. z z : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) <-> E. z z : om -onto->ℕ∞ )
12	7, 11	sylib 122	. . . . 5 |- ( om e. Omni -> E. z z : om -onto->ℕ∞ )
13		nninfinf 10704	. . . . . 6 |- om ~<_ ℕ∞
14	13	a1i 9	. . . . 5 |- ( om e. Omni -> om ~<_ ℕ∞ )
15		ctinf 13050	. . . . 5 |- (ℕ∞ ~~ NN <-> ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y /\ E. z z : om -onto->ℕ∞ /\ om ~<_ ℕ∞ ) )
16	6, 12, 14, 15	syl3anbrc 1207	. . . 4 |- ( om e. Omni -> ℕ∞ ~~ NN )
17		nnenom 10695	. . . 4 |- NN ~~ om
18		entr 6957	. . . 4 |- ( (ℕ∞ ~~ NN /\ NN ~~ om ) -> ℕ∞ ~~ om )
19	16, 17, 18	sylancl 413	. . 3 |- ( om e. Omni -> ℕ∞ ~~ om )
20	19	ensymd 6956	. 2 |- ( om e. Omni -> om ~~ ℕ∞ )
21	3, 20	impbii 126	1 |- ( om ~~ ℕ∞ <-> om e. Omni )

Syntax hints:   <-> wb 105  DECID wdc 841   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   omcom 4688   -onto->wfo 5324   1oc1o 6574   ~~ cen 6906   ~<_ cdom 6907   ⊔ cdju 7235  ℕ_∞xnninf 7317  Omnicomni 7332  WOmnicwomni 7361   NNcn 9142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-2o 6582  df-er 6701  df-map 6818  df-pm 6819  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-sup 7182  df-inf 7183  df-dju 7236  df-inl 7245  df-inr 7246  df-case 7282  df-nninf 7318  df-omni 7333  df-markov 7350  df-womni 7362  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-xnn0 9465  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709

This theorem is referenced by: (None)