Theorem nnnninfen 16799

Description: Equinumerosity of the natural numbers and ℕ_∞ is equivalent to the Limited Principle of Omniscience (LPO). Remark in Section 1.1 of [Pradic2025], p. 2. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninfen	|- ( om ~~ ℕ∞ <-> om e. Omni )

Proof of Theorem nnnninfen

Dummy variables i j x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfomni 16797	. . 3 |- ℕ∞ e. Omni
2		enomni 7430	. . 3 |- ( om ~~ ℕ∞ -> ( om e. Omni <-> ℕ∞ e. Omni ) )
3	1, 2	mpbiri 168	. 2 |- ( om ~~ ℕ∞ -> om e. Omni )
4		lpowlpo 7459	. . . . . 6 |- ( om e. Omni -> om e. WOmni )
5		nninfwlpo 7472	. . . . . 6 |- ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y <-> om e. WOmni )
6	4, 5	sylibr 134	. . . . 5 |- ( om e. Omni -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )
7		nninfct 12737	. . . . . 6 |- ( om e. Omni -> E. z z : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) )
8		infnninf 7415	. . . . . . 7 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
9		elex2 2830	. . . . . . 7 |- ( ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ -> E. j j e. ℕ∞ )
10		ctm 7400	. . . . . . 7 |- ( E. j j e. ℕ∞ -> ( E. z z : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) <-> E. z z : om -onto->ℕ∞ ) )
11	8, 9, 10	mp2b 8	. . . . . 6 |- ( E. z z : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) <-> E. z z : om -onto->ℕ∞ )
12	7, 11	sylib 122	. . . . 5 |- ( om e. Omni -> E. z z : om -onto->ℕ∞ )
13		nninfinf 10805	. . . . . 6 |- om ~<_ ℕ∞
14	13	a1i 9	. . . . 5 |- ( om e. Omni -> om ~<_ ℕ∞ )
15		ctinf 13181	. . . . 5 |- (ℕ∞ ~~ NN <-> ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y /\ E. z z : om -onto->ℕ∞ /\ om ~<_ ℕ∞ ) )
16	6, 12, 14, 15	syl3anbrc 1208	. . . 4 |- ( om e. Omni -> ℕ∞ ~~ NN )
17		nnenom 10796	. . . 4 |- NN ~~ om
18		entr 7024	. . . 4 |- ( (ℕ∞ ~~ NN /\ NN ~~ om ) -> ℕ∞ ~~ om )
19	16, 17, 18	sylancl 413	. . 3 |- ( om e. Omni -> ℕ∞ ~~ om )
20	19	ensymd 7023	. 2 |- ( om e. Omni -> om ~~ ℕ∞ )
21	3, 20	impbii 126	1 |- ( om ~~ ℕ∞ <-> om e. Omni )

Syntax hints:   <-> wb 105  DECID wdc 842   E.wex 1541   e. wcel 2203   A.wral 2520   class class class wbr 4109   |-> cmpt 4171   omcom 4712   -onto->wfo 5350   1oc1o 6640   ~~ cen 6973   ~<_ cdom 6974   ⊔ cdju 7328  ℕ_∞xnninf 7410  Omnicomni 7425  WOmnicwomni 7454   NNcn 9237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-er 6767  df-map 6884  df-pm 6885  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-sup 7275  df-inf 7276  df-dju 7329  df-inl 7338  df-inr 7339  df-case 7375  df-nninf 7411  df-omni 7426  df-markov 7443  df-womni 7455  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-xnn0 9564  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-seqfrec 10810

This theorem is referenced by: (None)