Theorem numdensq 10959

Description: Squaring a rational squares its canonical components. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
numdensq	|- ( A e. QQ -> ( (numer ` ( A ^ 2 ) ) = ( (numer ` A ) ^ 2 ) /\ (denom ` ( A ^ 2 ) ) = ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem numdensq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qnumdencoprm 10950	. . . 4 |- ( A e. QQ -> ( (numer ` A ) gcd (denom ` A ) ) = 1 )
2	1	oveq1d 5605	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( ( (numer ` A ) gcd (denom ` A ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
3		qnumcl 10945	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (numer ` A ) e. ZZ )
4		qdencl 10946	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) e. NN )
5	4	nnzd 8762	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) e. ZZ )
6		zgcdsq 10958	. . . 4 |- ( ( (numer ` A ) e. ZZ /\ (denom ` A ) e. ZZ ) -> ( ( (numer ` A ) gcd (denom ` A ) ) ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 403	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( ( (numer ` A ) gcd (denom ` A ) ) ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )
8		sq1 9884	. . . 4 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
10	2, 7, 9	3eqtr3d 2123	. 2 |- ( A e. QQ -> ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) = 1 )
11		qeqnumdivden 10951	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A = ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) )
12	11	oveq1d 5605	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( A ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) ^ 2 ) )
13	3	zcnd 8764	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (numer ` A ) e. CC )
14	4	nncnd 8329	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) e. CC )
15	4	nnap0d 8360	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) # 0 )
16	13, 14, 15	sqdivapd 9933	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) / ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )
17	12, 16	eqtrd 2115	. 2 |- ( A e. QQ -> ( A ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) / ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )
18		qsqcl 9862	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( A ^ 2 ) e. QQ )
19		zsqcl 9861	. . . 4 |- ( (numer ` A ) e. ZZ -> ( (numer ` A ) ^ 2 ) e. ZZ )
20	3, 19	syl 14	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( (numer ` A ) ^ 2 ) e. ZZ )
21	4	nnsqcld 9941	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( (denom ` A ) ^ 2 ) e. NN )
22		qnumdenbi 10949	. . 3 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. QQ /\ ( (numer ` A ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( (denom ` A ) ^ 2 ) e. NN ) -> ( ( ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) = 1 /\ ( A ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) / ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) ) <-> ( (numer ` ( A ^ 2 ) ) = ( (numer ` A ) ^ 2 ) /\ (denom ` ( A ^ 2 ) ) = ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) ) )
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1170	. 2 |- ( A e. QQ -> ( ( ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) = 1 /\ ( A ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) / ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) ) <-> ( (numer ` ( A ^ 2 ) ) = ( (numer ` A ) ^ 2 ) /\ (denom ` ( A ^ 2 ) ) = ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) ) )
24	10, 17, 23	mpbi2and 885	1 |- ( A e. QQ -> ( (numer ` ( A ^ 2 ) ) = ( (numer ` A ) ^ 2 ) /\ (denom ` ( A ^ 2 ) ) = ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1285   e. wcel 1434   ` cfv 4968  (class class class)co 5590   1c1 7253   / cdiv 8036   NNcn 8315   2c2 8365   ZZcz 8645   QQcq 8998   ^cexp 9790   gcd cgcd 10717  numercnumer 10938  denomcdenom 10939

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7338  ax-resscn 7339  ax-1cn 7340  ax-1re 7341  ax-icn 7342  ax-addcl 7343  ax-addrcl 7344  ax-mulcl 7345  ax-mulrcl 7346  ax-addcom 7347  ax-mulcom 7348  ax-addass 7349  ax-mulass 7350  ax-distr 7351  ax-i2m1 7352  ax-0lt1 7353  ax-1rid 7354  ax-0id 7355  ax-rnegex 7356  ax-precex 7357  ax-cnre 7358  ax-pre-ltirr 7359  ax-pre-ltwlin 7360  ax-pre-lttrn 7361  ax-pre-apti 7362  ax-pre-ltadd 7363  ax-pre-mulgt0 7364  ax-pre-mulext 7365  ax-arch 7366  ax-caucvg 7367

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-rn 4411  df-res 4412  df-ima 4413  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fn 4971  df-f 4972  df-f1 4973  df-fo 4974  df-f1o 4975  df-fv 4976  df-riota 5546  df-ov 5593  df-oprab 5594  df-mpt2 5595  df-1st 5845  df-2nd 5846  df-recs 6001  df-frec 6087  df-sup 6585  df-pnf 7426  df-mnf 7427  df-xr 7428  df-ltxr 7429  df-le 7430  df-sub 7557  df-neg 7558  df-reap 7951  df-ap 7958  df-div 8037  df-inn 8316  df-2 8374  df-3 8375  df-4 8376  df-n0 8565  df-z 8646  df-uz 8914  df-q 8999  df-rp 9029  df-fz 9319  df-fzo 9443  df-fl 9565  df-mod 9618  df-iseq 9740  df-iexp 9791  df-cj 10102  df-re 10103  df-im 10104  df-rsqrt 10257  df-abs 10258  df-dvds 10576  df-gcd 10718  df-numer 10940  df-denom 10941

This theorem is referenced by:  numsq  10960  densq  10961