Theorem numdensq 12056

Description: Squaring a rational squares its canonical components. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
numdensq	|- ( A e. QQ -> ( (numer ` ( A ^ 2 ) ) = ( (numer ` A ) ^ 2 ) /\ (denom ` ( A ^ 2 ) ) = ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem numdensq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qnumdencoprm 12047	. . . 4 |- ( A e. QQ -> ( (numer ` A ) gcd (denom ` A ) ) = 1 )
2	1	oveq1d 5833	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( ( (numer ` A ) gcd (denom ` A ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
3		qnumcl 12042	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (numer ` A ) e. ZZ )
4		qdencl 12043	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) e. NN )
5	4	nnzd 9268	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) e. ZZ )
6		zgcdsq 12055	. . . 4 |- ( ( (numer ` A ) e. ZZ /\ (denom ` A ) e. ZZ ) -> ( ( (numer ` A ) gcd (denom ` A ) ) ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 409	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( ( (numer ` A ) gcd (denom ` A ) ) ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )
8		sq1 10494	. . . 4 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
10	2, 7, 9	3eqtr3d 2198	. 2 |- ( A e. QQ -> ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) = 1 )
11		qeqnumdivden 12048	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A = ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) )
12	11	oveq1d 5833	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( A ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) ^ 2 ) )
13	3	zcnd 9270	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (numer ` A ) e. CC )
14	4	nncnd 8830	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) e. CC )
15	4	nnap0d 8862	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) # 0 )
16	13, 14, 15	sqdivapd 10546	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) / ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )
17	12, 16	eqtrd 2190	. 2 |- ( A e. QQ -> ( A ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) / ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )
18		qsqcl 10472	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( A ^ 2 ) e. QQ )
19		zsqcl 10471	. . . 4 |- ( (numer ` A ) e. ZZ -> ( (numer ` A ) ^ 2 ) e. ZZ )
20	3, 19	syl 14	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( (numer ` A ) ^ 2 ) e. ZZ )
21	4	nnsqcld 10554	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( (denom ` A ) ^ 2 ) e. NN )
22		qnumdenbi 12046	. . 3 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. QQ /\ ( (numer ` A ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( (denom ` A ) ^ 2 ) e. NN ) -> ( ( ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) = 1 /\ ( A ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) / ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) ) <-> ( (numer ` ( A ^ 2 ) ) = ( (numer ` A ) ^ 2 ) /\ (denom ` ( A ^ 2 ) ) = ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) ) )
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1220	. 2 |- ( A e. QQ -> ( ( ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) = 1 /\ ( A ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) / ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) ) <-> ( (numer ` ( A ^ 2 ) ) = ( (numer ` A ) ^ 2 ) /\ (denom ` ( A ^ 2 ) ) = ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) ) )
24	10, 17, 23	mpbi2and 928	1 |- ( A e. QQ -> ( (numer ` ( A ^ 2 ) ) = ( (numer ` A ) ^ 2 ) /\ (denom ` ( A ^ 2 ) ) = ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   1c1 7716   / cdiv 8528   NNcn 8816   2c2 8867   ZZcz 9150   QQcq 9510   ^cexp 10400   gcd cgcd 11810  numercnumer 12035  denomcdenom 12036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-sup 6920  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-fl 10151  df-mod 10204  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-dvds 11666  df-gcd 11811  df-numer 12037  df-denom 12038

This theorem is referenced by:  numsq  12057  densq  12058