Theorem numdensq 12156

Description: Squaring a rational squares its canonical components. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
numdensq	|- ( A e. QQ -> ( (numer ` ( A ^ 2 ) ) = ( (numer ` A ) ^ 2 ) /\ (denom ` ( A ^ 2 ) ) = ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem numdensq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qnumdencoprm 12147	. . . 4 |- ( A e. QQ -> ( (numer ` A ) gcd (denom ` A ) ) = 1 )
2	1	oveq1d 5868	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( ( (numer ` A ) gcd (denom ` A ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
3		qnumcl 12142	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (numer ` A ) e. ZZ )
4		qdencl 12143	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) e. NN )
5	4	nnzd 9333	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) e. ZZ )
6		zgcdsq 12155	. . . 4 |- ( ( (numer ` A ) e. ZZ /\ (denom ` A ) e. ZZ ) -> ( ( (numer ` A ) gcd (denom ` A ) ) ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 409	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( ( (numer ` A ) gcd (denom ` A ) ) ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )
8		sq1 10569	. . . 4 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
10	2, 7, 9	3eqtr3d 2211	. 2 |- ( A e. QQ -> ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) = 1 )
11		qeqnumdivden 12148	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A = ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) )
12	11	oveq1d 5868	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( A ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) ^ 2 ) )
13	3	zcnd 9335	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (numer ` A ) e. CC )
14	4	nncnd 8892	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) e. CC )
15	4	nnap0d 8924	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) # 0 )
16	13, 14, 15	sqdivapd 10622	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) / ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )
17	12, 16	eqtrd 2203	. 2 |- ( A e. QQ -> ( A ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) / ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )
18		qsqcl 10547	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( A ^ 2 ) e. QQ )
19		zsqcl 10546	. . . 4 |- ( (numer ` A ) e. ZZ -> ( (numer ` A ) ^ 2 ) e. ZZ )
20	3, 19	syl 14	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( (numer ` A ) ^ 2 ) e. ZZ )
21	4	nnsqcld 10630	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( (denom ` A ) ^ 2 ) e. NN )
22		qnumdenbi 12146	. . 3 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. QQ /\ ( (numer ` A ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( (denom ` A ) ^ 2 ) e. NN ) -> ( ( ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) = 1 /\ ( A ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) / ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) ) <-> ( (numer ` ( A ^ 2 ) ) = ( (numer ` A ) ^ 2 ) /\ (denom ` ( A ^ 2 ) ) = ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) ) )
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1233	. 2 |- ( A e. QQ -> ( ( ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) = 1 /\ ( A ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) / ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) ) <-> ( (numer ` ( A ^ 2 ) ) = ( (numer ` A ) ^ 2 ) /\ (denom ` ( A ^ 2 ) ) = ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) ) )
24	10, 17, 23	mpbi2and 938	1 |- ( A e. QQ -> ( (numer ` ( A ^ 2 ) ) = ( (numer ` A ) ^ 2 ) /\ (denom ` ( A ^ 2 ) ) = ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1c1 7775   / cdiv 8589   NNcn 8878   2c2 8929   ZZcz 9212   QQcq 9578   ^cexp 10475   gcd cgcd 11897  numercnumer 12135  denomcdenom 12136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-numer 12137  df-denom 12138

This theorem is referenced by:  numsq  12157  densq  12158