Theorem numdensq 12958

Description: Squaring a rational squares its canonical components. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
numdensq	|- ( A e. QQ -> ( (numer ` ( A ^ 2 ) ) = ( (numer ` A ) ^ 2 ) /\ (denom ` ( A ^ 2 ) ) = ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem numdensq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qnumdencoprm 12949	. . . 4 |- ( A e. QQ -> ( (numer ` A ) gcd (denom ` A ) ) = 1 )
2	1	oveq1d 6090	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( ( (numer ` A ) gcd (denom ` A ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
3		qnumcl 12944	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (numer ` A ) e. ZZ )
4		qdencl 12945	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) e. NN )
5	4	nnzd 9746	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) e. ZZ )
6		zgcdsq 12957	. . . 4 |- ( ( (numer ` A ) e. ZZ /\ (denom ` A ) e. ZZ ) -> ( ( (numer ` A ) gcd (denom ` A ) ) ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 415	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( ( (numer ` A ) gcd (denom ` A ) ) ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )
8		sq1 11048	. . . 4 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
10	2, 7, 9	3eqtr3d 2279	. 2 |- ( A e. QQ -> ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) = 1 )
11		qeqnumdivden 12950	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A = ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) )
12	11	oveq1d 6090	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( A ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) ^ 2 ) )
13	3	zcnd 9748	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (numer ` A ) e. CC )
14	4	nncnd 9297	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) e. CC )
15	4	nnap0d 9329	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) # 0 )
16	13, 14, 15	sqdivapd 11102	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) / ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )
17	12, 16	eqtrd 2271	. 2 |- ( A e. QQ -> ( A ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) / ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )
18		qsqcl 11026	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( A ^ 2 ) e. QQ )
19		zsqcl 11025	. . . 4 |- ( (numer ` A ) e. ZZ -> ( (numer ` A ) ^ 2 ) e. ZZ )
20	3, 19	syl 14	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( (numer ` A ) ^ 2 ) e. ZZ )
21	4	nnsqcld 11110	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( (denom ` A ) ^ 2 ) e. NN )
22		qnumdenbi 12948	. . 3 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. QQ /\ ( (numer ` A ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( (denom ` A ) ^ 2 ) e. NN ) -> ( ( ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) = 1 /\ ( A ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) / ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) ) <-> ( (numer ` ( A ^ 2 ) ) = ( (numer ` A ) ^ 2 ) /\ (denom ` ( A ^ 2 ) ) = ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) ) )
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1278	. 2 |- ( A e. QQ -> ( ( ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) = 1 /\ ( A ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) / ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) ) <-> ( (numer ` ( A ^ 2 ) ) = ( (numer ` A ) ^ 2 ) /\ (denom ` ( A ^ 2 ) ) = ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) ) )
24	10, 17, 23	mpbi2and 956	1 |- ( A e. QQ -> ( (numer ` ( A ^ 2 ) ) = ( (numer ` A ) ^ 2 ) /\ (denom ` ( A ^ 2 ) ) = ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   1c1 8170   / cdiv 8992   NNcn 9283   2c2 9334   ZZcz 9623   QQcq 9998   ^cexp 10953   gcd cgcd 12708  numercnumer 12937  denomcdenom 12938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-sup 7314  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-dvds 12533  df-gcd 12709  df-numer 12939  df-denom 12940

This theorem is referenced by:  numsq  12959  densq  12960