Theorem numdensq 11725

Description: Squaring a rational squares its canonical components. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
numdensq	|- ( A e. QQ -> ( (numer ` ( A ^ 2 ) ) = ( (numer ` A ) ^ 2 ) /\ (denom ` ( A ^ 2 ) ) = ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem numdensq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qnumdencoprm 11716	. . . 4 |- ( A e. QQ -> ( (numer ` A ) gcd (denom ` A ) ) = 1 )
2	1	oveq1d 5743	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( ( (numer ` A ) gcd (denom ` A ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
3		qnumcl 11711	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (numer ` A ) e. ZZ )
4		qdencl 11712	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) e. NN )
5	4	nnzd 9076	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) e. ZZ )
6		zgcdsq 11724	. . . 4 |- ( ( (numer ` A ) e. ZZ /\ (denom ` A ) e. ZZ ) -> ( ( (numer ` A ) gcd (denom ` A ) ) ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 406	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( ( (numer ` A ) gcd (denom ` A ) ) ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )
8		sq1 10279	. . . 4 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
10	2, 7, 9	3eqtr3d 2155	. 2 |- ( A e. QQ -> ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) = 1 )
11		qeqnumdivden 11717	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A = ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) )
12	11	oveq1d 5743	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( A ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) ^ 2 ) )
13	3	zcnd 9078	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (numer ` A ) e. CC )
14	4	nncnd 8644	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) e. CC )
15	4	nnap0d 8676	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) # 0 )
16	13, 14, 15	sqdivapd 10330	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) / ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )
17	12, 16	eqtrd 2147	. 2 |- ( A e. QQ -> ( A ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) / ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )
18		qsqcl 10257	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( A ^ 2 ) e. QQ )
19		zsqcl 10256	. . . 4 |- ( (numer ` A ) e. ZZ -> ( (numer ` A ) ^ 2 ) e. ZZ )
20	3, 19	syl 14	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( (numer ` A ) ^ 2 ) e. ZZ )
21	4	nnsqcld 10338	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( (denom ` A ) ^ 2 ) e. NN )
22		qnumdenbi 11715	. . 3 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. QQ /\ ( (numer ` A ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( (denom ` A ) ^ 2 ) e. NN ) -> ( ( ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) = 1 /\ ( A ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) / ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) ) <-> ( (numer ` ( A ^ 2 ) ) = ( (numer ` A ) ^ 2 ) /\ (denom ` ( A ^ 2 ) ) = ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) ) )
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1199	. 2 |- ( A e. QQ -> ( ( ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) gcd ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) = 1 /\ ( A ^ 2 ) = ( ( (numer ` A ) ^ 2 ) / ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) ) <-> ( (numer ` ( A ^ 2 ) ) = ( (numer ` A ) ^ 2 ) /\ (denom ` ( A ^ 2 ) ) = ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) ) )
24	10, 17, 23	mpbi2and 910	1 |- ( A e. QQ -> ( (numer ` ( A ^ 2 ) ) = ( (numer ` A ) ^ 2 ) /\ (denom ` ( A ^ 2 ) ) = ( (denom ` A ) ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1314   e. wcel 1463   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   1c1 7548   / cdiv 8345   NNcn 8630   2c2 8681   ZZcz 8958   QQcq 9313   ^cexp 10185   gcd cgcd 11483  numercnumer 11704  denomcdenom 11705

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664  ax-caucvg 7665

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-sup 6823  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-fz 9684  df-fzo 9813  df-fl 9936  df-mod 9989  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663  df-dvds 11342  df-gcd 11484  df-numer 11706  df-denom 11707

This theorem is referenced by:  numsq  11726  densq  11727