Theorem numdensq 12383

Description: Squaring a rational squares its canonical components. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
numdensq	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((numer‘(𝐴↑2)) = ((numer‘𝐴)↑2) ∧ (denom‘(𝐴↑2)) = ((denom‘𝐴)↑2)))

Proof of Theorem numdensq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qnumdencoprm 12374	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴)) = 1)
2	1	oveq1d 5940	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑2) = (1↑2))
3		qnumcl 12369	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (numer‘𝐴) ∈ ℤ)
4		qdencl 12370	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ∈ ℕ)
5	4	nnzd 9452	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ∈ ℤ)
6		zgcdsq 12382	. . . 4 ⊢ (((numer‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝐴) ∈ ℤ) → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) gcd ((denom‘𝐴)↑2)))
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) gcd ((denom‘𝐴)↑2)))
8		sq1 10730	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (1↑2) = 1)
10	2, 7, 9	3eqtr3d 2237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((numer‘𝐴)↑2) gcd ((denom‘𝐴)↑2)) = 1)
11		qeqnumdivden 12375	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))
12	11	oveq1d 5940	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑2) = (((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴))↑2))
13	3	zcnd 9454	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (numer‘𝐴) ∈ ℂ)
14	4	nncnd 9009	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ∈ ℂ)
15	4	nnap0d 9041	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) # 0)
16	13, 14, 15	sqdivapd 10783	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴))↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) / ((denom‘𝐴)↑2)))
17	12, 16	eqtrd 2229	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) / ((denom‘𝐴)↑2)))
18		qsqcl 10708	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑2) ∈ ℚ)
19		zsqcl 10707	. . . 4 ⊢ ((numer‘𝐴) ∈ ℤ → ((numer‘𝐴)↑2) ∈ ℤ)
20	3, 19	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((numer‘𝐴)↑2) ∈ ℤ)
21	4	nnsqcld 10791	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((denom‘𝐴)↑2) ∈ ℕ)
22		qnumdenbi 12373	. . 3 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℚ ∧ ((numer‘𝐴)↑2) ∈ ℤ ∧ ((denom‘𝐴)↑2) ∈ ℕ) → (((((numer‘𝐴)↑2) gcd ((denom‘𝐴)↑2)) = 1 ∧ (𝐴↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) / ((denom‘𝐴)↑2))) ↔ ((numer‘(𝐴↑2)) = ((numer‘𝐴)↑2) ∧ (denom‘(𝐴↑2)) = ((denom‘𝐴)↑2))))
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((((numer‘𝐴)↑2) gcd ((denom‘𝐴)↑2)) = 1 ∧ (𝐴↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) / ((denom‘𝐴)↑2))) ↔ ((numer‘(𝐴↑2)) = ((numer‘𝐴)↑2) ∧ (denom‘(𝐴↑2)) = ((denom‘𝐴)↑2))))
24	10, 17, 23	mpbi2and 945	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((numer‘(𝐴↑2)) = ((numer‘𝐴)↑2) ∧ (denom‘(𝐴↑2)) = ((denom‘𝐴)↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  1c1 7885   / cdiv 8704  ℕcn 8995  2c2 9046  ℤcz 9331  ℚcq 9698  ↑cexp 10635   gcd cgcd 12133  numercnumer 12362  denomcdenom 12363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7975  ax-resscn 7976  ax-1cn 7977  ax-1re 7978  ax-icn 7979  ax-addcl 7980  ax-addrcl 7981  ax-mulcl 7982  ax-mulrcl 7983  ax-addcom 7984  ax-mulcom 7985  ax-addass 7986  ax-mulass 7987  ax-distr 7988  ax-i2m1 7989  ax-0lt1 7990  ax-1rid 7991  ax-0id 7992  ax-rnegex 7993  ax-precex 7994  ax-cnre 7995  ax-pre-ltirr 7996  ax-pre-ltwlin 7997  ax-pre-lttrn 7998  ax-pre-apti 7999  ax-pre-ltadd 8000  ax-pre-mulgt0 8001  ax-pre-mulext 8002  ax-arch 8003  ax-caucvg 8004

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6202  df-2nd 6203  df-recs 6367  df-frec 6453  df-sup 7054  df-pnf 8068  df-mnf 8069  df-xr 8070  df-ltxr 8071  df-le 8072  df-sub 8204  df-neg 8205  df-reap 8607  df-ap 8614  df-div 8705  df-inn 8996  df-2 9054  df-3 9055  df-4 9056  df-n0 9255  df-z 9332  df-uz 9607  df-q 9699  df-rp 9734  df-fz 10089  df-fzo 10223  df-fl 10365  df-mod 10420  df-seqfrec 10545  df-exp 10636  df-cj 11012  df-re 11013  df-im 11014  df-rsqrt 11168  df-abs 11169  df-dvds 11958  df-gcd 12134  df-numer 12364  df-denom 12365

This theorem is referenced by:  numsq  12384  densq  12385