Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  numdensq GIF version

Theorem numdensq 11936
 Description: Squaring a rational squares its canonical components. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
numdensq (𝐴 ∈ ℚ → ((numer‘(𝐴↑2)) = ((numer‘𝐴)↑2) ∧ (denom‘(𝐴↑2)) = ((denom‘𝐴)↑2)))

Proof of Theorem numdensq
StepHypRef Expression
1 qnumdencoprm 11927 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → ((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴)) = 1)
21oveq1d 5798 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑2) = (1↑2))
3 qnumcl 11922 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (numer‘𝐴) ∈ ℤ)
4 qdencl 11923 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ∈ ℕ)
54nnzd 9216 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ∈ ℤ)
6 zgcdsq 11935 . . . 4 (((numer‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝐴) ∈ ℤ) → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) gcd ((denom‘𝐴)↑2)))
73, 5, 6syl2anc 409 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) gcd ((denom‘𝐴)↑2)))
8 sq1 10437 . . . 4 (1↑2) = 1
98a1i 9 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (1↑2) = 1)
102, 7, 93eqtr3d 2181 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → (((numer‘𝐴)↑2) gcd ((denom‘𝐴)↑2)) = 1)
11 qeqnumdivden 11928 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))
1211oveq1d 5798 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑2) = (((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴))↑2))
133zcnd 9218 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (numer‘𝐴) ∈ ℂ)
144nncnd 8778 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ∈ ℂ)
154nnap0d 8810 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) # 0)
1613, 14, 15sqdivapd 10488 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴))↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) / ((denom‘𝐴)↑2)))
1712, 16eqtrd 2173 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) / ((denom‘𝐴)↑2)))
18 qsqcl 10415 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑2) ∈ ℚ)
19 zsqcl 10414 . . . 4 ((numer‘𝐴) ∈ ℤ → ((numer‘𝐴)↑2) ∈ ℤ)
203, 19syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → ((numer‘𝐴)↑2) ∈ ℤ)
214nnsqcld 10496 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → ((denom‘𝐴)↑2) ∈ ℕ)
22 qnumdenbi 11926 . . 3 (((𝐴↑2) ∈ ℚ ∧ ((numer‘𝐴)↑2) ∈ ℤ ∧ ((denom‘𝐴)↑2) ∈ ℕ) → (((((numer‘𝐴)↑2) gcd ((denom‘𝐴)↑2)) = 1 ∧ (𝐴↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) / ((denom‘𝐴)↑2))) ↔ ((numer‘(𝐴↑2)) = ((numer‘𝐴)↑2) ∧ (denom‘(𝐴↑2)) = ((denom‘𝐴)↑2))))
2318, 20, 21, 22syl3anc 1217 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → (((((numer‘𝐴)↑2) gcd ((denom‘𝐴)↑2)) = 1 ∧ (𝐴↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) / ((denom‘𝐴)↑2))) ↔ ((numer‘(𝐴↑2)) = ((numer‘𝐴)↑2) ∧ (denom‘(𝐴↑2)) = ((denom‘𝐴)↑2))))
2410, 17, 23mpbi2and 928 1 (𝐴 ∈ ℚ → ((numer‘(𝐴↑2)) = ((numer‘𝐴)↑2) ∧ (denom‘(𝐴↑2)) = ((denom‘𝐴)↑2)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ‘cfv 5132  (class class class)co 5783  1c1 7665   / cdiv 8476  ℕcn 8764  2c2 8815  ℤcz 9098  ℚcq 9458  ↑cexp 10343   gcd cgcd 11691  numercnumer 11915  denomcdenom 11916 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782  ax-arch 7783  ax-caucvg 7784 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-frec 6297  df-sup 6881  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-3 8824  df-4 8825  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-q 9459  df-rp 9491  df-fz 9842  df-fzo 9971  df-fl 10094  df-mod 10147  df-seqfrec 10270  df-exp 10344  df-cj 10666  df-re 10667  df-im 10668  df-rsqrt 10822  df-abs 10823  df-dvds 11550  df-gcd 11692  df-numer 11917  df-denom 11918 This theorem is referenced by:  numsq  11937  densq  11938
 Copyright terms: Public domain W3C validator