ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phimul Unicode version

Theorem phimul 11938
Description: The Euler  phi function is a multiplicative function, meaning that it distributes over multiplication at relatively prime arguments. Theorem 2.5(c) in [ApostolNT] p. 28. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phimul  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 )  ->  ( phi `  ( M  x.  N ) )  =  ( ( phi `  M )  x.  ( phi `  N ) ) )

Proof of Theorem phimul
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2140 . 2  |-  ( 0..^ ( M  x.  N
) )  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )
2 eqid 2140 . 2  |-  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )  =  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
3 eqid 2140 . 2  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  |->  <. ( x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.
)  =  ( x  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  |->  <. ( x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.
)
4 id 19 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 )  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )
5 eqid 2140 . 2  |-  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M )  =  1 }  =  {
y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M )  =  1 }
6 eqid 2140 . 2  |-  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 }  =  {
y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 }
7 eqid 2140 . 2  |-  { y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 }  =  {
y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N
) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 }
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7phimullem 11937 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 )  ->  ( phi `  ( M  x.  N ) )  =  ( ( phi `  M )  x.  ( phi `  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481   {crab 2421   <.cop 3535    |-> cmpt 3997    X. cxp 4545   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   0cc0 7644   1c1 7645    x. cmul 7649   NNcn 8744  ..^cfzo 9950    mod cmo 10126    gcd cgcd 11671   phicphi 11922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-sup 6879  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-fl 10074  df-mod 10127  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-ihash 10554  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-dvds 11530  df-gcd 11672  df-phi 11923
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator