Theorem pn0sr 8128

Description: A signed real plus its negative is zero. (Contributed by NM, 14-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
pn0sr	⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)

Proof of Theorem pn0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1r 8109	. . . 4 ⊢ -1R ∈ R
2		1sr 8108	. . . 4 ⊢ 1R ∈ R
3		distrsrg 8116	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R ∧ 1R ∈ R) → (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)))
4	1, 2, 3	mp3an23 1370	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)))
5		m1p1sr 8117	. . . . 5 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
6	5	oveq2i 6086	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = (𝐴 ·R 0R)
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = (𝐴 ·R 0R))
8		mulclsr 8111	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
9	1, 8	mpan2 429	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
10		mulclsr 8111	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 1R ∈ R) → (𝐴 ·R 1R) ∈ R)
11	2, 10	mpan2 429	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 1R) ∈ R)
12		addcomsrg 8112	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·R -1R) ∈ R ∧ (𝐴 ·R 1R) ∈ R) → ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
13	9, 11, 12	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
14	4, 7, 13	3eqtr3d 2279	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 0R) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
15		00sr 8126	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)
16		1idsr 8125	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 1R) = 𝐴)
17	16	oveq1d 6090	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
18	14, 15, 17	3eqtr3rd 2280	1 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6075  Rcnr 7654  0_Rc0r 7655  1_Rc1r 7656  -1_Rcm1r 7657   +_R cplr 7658   ·_R cmr 7659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-pli 7662  df-mi 7663  df-lti 7664  df-plpq 7701  df-mpq 7702  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-plqqs 7706  df-mqqs 7707  df-1nqqs 7708  df-rq 7709  df-ltnqqs 7710  df-enq0 7781  df-nq0 7782  df-0nq0 7783  df-plq0 7784  df-mq0 7785  df-inp 7823  df-i1p 7824  df-iplp 7825  df-imp 7826  df-enr 8083  df-nr 8084  df-plr 8085  df-mr 8086  df-0r 8088  df-1r 8089  df-m1r 8090

This theorem is referenced by:  negexsr  8129  caucvgsrlemoffval  8153  map2psrprg  8162  axrnegex  8236