ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pn0sr GIF version

Theorem pn0sr 7220
Description: A signed real plus its negative is zero. (Contributed by NM, 14-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
pn0sr (𝐴R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)

Proof of Theorem pn0sr
StepHypRef Expression
1 m1r 7201 . . . 4 -1RR
2 1sr 7200 . . . 4 1RR
3 distrsrg 7208 . . . 4 ((𝐴R ∧ -1RR ∧ 1RR) → (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)))
41, 2, 3mp3an23 1261 . . 3 (𝐴R → (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)))
5 m1p1sr 7209 . . . . 5 (-1R +R 1R) = 0R
65oveq2i 5602 . . . 4 (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = (𝐴 ·R 0R)
76a1i 9 . . 3 (𝐴R → (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = (𝐴 ·R 0R))
8 mulclsr 7203 . . . . 5 ((𝐴R ∧ -1RR) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
91, 8mpan2 416 . . . 4 (𝐴R → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
10 mulclsr 7203 . . . . 5 ((𝐴R ∧ 1RR) → (𝐴 ·R 1R) ∈ R)
112, 10mpan2 416 . . . 4 (𝐴R → (𝐴 ·R 1R) ∈ R)
12 addcomsrg 7204 . . . 4 (((𝐴 ·R -1R) ∈ R ∧ (𝐴 ·R 1R) ∈ R) → ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
139, 11, 12syl2anc 403 . . 3 (𝐴R → ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
144, 7, 133eqtr3d 2123 . 2 (𝐴R → (𝐴 ·R 0R) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
15 00sr 7218 . 2 (𝐴R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)
16 1idsr 7217 . . 3 (𝐴R → (𝐴 ·R 1R) = 𝐴)
1716oveq1d 5606 . 2 (𝐴R → ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
1814, 15, 173eqtr3rd 2124 1 (𝐴R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1285  wcel 1434  (class class class)co 5591  Rcnr 6759  0Rc0r 6760  1Rc1r 6761  -1Rcm1r 6762   +R cplr 6763   ·R cmr 6764
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-eprel 4080  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-irdg 6067  df-1o 6113  df-2o 6114  df-oadd 6117  df-omul 6118  df-er 6222  df-ec 6224  df-qs 6228  df-ni 6766  df-pli 6767  df-mi 6768  df-lti 6769  df-plpq 6806  df-mpq 6807  df-enq 6809  df-nqqs 6810  df-plqqs 6811  df-mqqs 6812  df-1nqqs 6813  df-rq 6814  df-ltnqqs 6815  df-enq0 6886  df-nq0 6887  df-0nq0 6888  df-plq0 6889  df-mq0 6890  df-inp 6928  df-i1p 6929  df-iplp 6930  df-imp 6931  df-enr 7175  df-nr 7176  df-plr 7177  df-mr 7178  df-0r 7180  df-1r 7181  df-m1r 7182
This theorem is referenced by:  negexsr  7221  caucvgsrlemoffval  7244  axrnegex  7317
  Copyright terms: Public domain W3C validator