Theorem pn0sr 7712

Description: A signed real plus its negative is zero. (Contributed by NM, 14-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
pn0sr	⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)

Proof of Theorem pn0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1r 7693	. . . 4 ⊢ -1R ∈ R
2		1sr 7692	. . . 4 ⊢ 1R ∈ R
3		distrsrg 7700	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R ∧ 1R ∈ R) → (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)))
4	1, 2, 3	mp3an23 1319	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)))
5		m1p1sr 7701	. . . . 5 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
6	5	oveq2i 5853	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = (𝐴 ·R 0R)
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = (𝐴 ·R 0R))
8		mulclsr 7695	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
9	1, 8	mpan2 422	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
10		mulclsr 7695	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 1R ∈ R) → (𝐴 ·R 1R) ∈ R)
11	2, 10	mpan2 422	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 1R) ∈ R)
12		addcomsrg 7696	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·R -1R) ∈ R ∧ (𝐴 ·R 1R) ∈ R) → ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
13	9, 11, 12	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
14	4, 7, 13	3eqtr3d 2206	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 0R) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
15		00sr 7710	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)
16		1idsr 7709	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 1R) = 𝐴)
17	16	oveq1d 5857	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
18	14, 15, 17	3eqtr3rd 2207	1 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5842  Rcnr 7238  0_Rc0r 7239  1_Rc1r 7240  -1_Rcm1r 7241   +_R cplr 7242   ·_R cmr 7243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-2o 6385  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294  df-enq0 7365  df-nq0 7366  df-0nq0 7367  df-plq0 7368  df-mq0 7369  df-inp 7407  df-i1p 7408  df-iplp 7409  df-imp 7410  df-enr 7667  df-nr 7668  df-plr 7669  df-mr 7670  df-0r 7672  df-1r 7673  df-m1r 7674

This theorem is referenced by:  negexsr  7713  caucvgsrlemoffval  7737  map2psrprg  7746  axrnegex  7820