Theorem pn0sr 7603

Description: A signed real plus its negative is zero. (Contributed by NM, 14-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
pn0sr	⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)

Proof of Theorem pn0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1r 7584	. . . 4 ⊢ -1R ∈ R
2		1sr 7583	. . . 4 ⊢ 1R ∈ R
3		distrsrg 7591	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R ∧ 1R ∈ R) → (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)))
4	1, 2, 3	mp3an23 1308	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)))
5		m1p1sr 7592	. . . . 5 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
6	5	oveq2i 5793	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = (𝐴 ·R 0R)
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = (𝐴 ·R 0R))
8		mulclsr 7586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
9	1, 8	mpan2 422	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
10		mulclsr 7586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 1R ∈ R) → (𝐴 ·R 1R) ∈ R)
11	2, 10	mpan2 422	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 1R) ∈ R)
12		addcomsrg 7587	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·R -1R) ∈ R ∧ (𝐴 ·R 1R) ∈ R) → ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
13	9, 11, 12	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
14	4, 7, 13	3eqtr3d 2181	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 0R) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
15		00sr 7601	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)
16		1idsr 7600	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 1R) = 𝐴)
17	16	oveq1d 5797	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
18	14, 15, 17	3eqtr3rd 2182	1 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  (class class class)co 5782  Rcnr 7129  0_Rc0r 7130  1_Rc1r 7131  -1_Rcm1r 7132   +_R cplr 7133   ·_R cmr 7134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-eprel 4219  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-1o 6321  df-2o 6322  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-pli 7137  df-mi 7138  df-lti 7139  df-plpq 7176  df-mpq 7177  df-enq 7179  df-nqqs 7180  df-plqqs 7181  df-mqqs 7182  df-1nqqs 7183  df-rq 7184  df-ltnqqs 7185  df-enq0 7256  df-nq0 7257  df-0nq0 7258  df-plq0 7259  df-mq0 7260  df-inp 7298  df-i1p 7299  df-iplp 7300  df-imp 7301  df-enr 7558  df-nr 7559  df-plr 7560  df-mr 7561  df-0r 7563  df-1r 7564  df-m1r 7565

This theorem is referenced by:  negexsr  7604  caucvgsrlemoffval  7628  map2psrprg  7637  axrnegex  7711