ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pn0sr GIF version

Theorem pn0sr 7572
Description: A signed real plus its negative is zero. (Contributed by NM, 14-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
pn0sr (𝐴R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)

Proof of Theorem pn0sr
StepHypRef Expression
1 m1r 7553 . . . 4 -1RR
2 1sr 7552 . . . 4 1RR
3 distrsrg 7560 . . . 4 ((𝐴R ∧ -1RR ∧ 1RR) → (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)))
41, 2, 3mp3an23 1307 . . 3 (𝐴R → (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)))
5 m1p1sr 7561 . . . . 5 (-1R +R 1R) = 0R
65oveq2i 5778 . . . 4 (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = (𝐴 ·R 0R)
76a1i 9 . . 3 (𝐴R → (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = (𝐴 ·R 0R))
8 mulclsr 7555 . . . . 5 ((𝐴R ∧ -1RR) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
91, 8mpan2 421 . . . 4 (𝐴R → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
10 mulclsr 7555 . . . . 5 ((𝐴R ∧ 1RR) → (𝐴 ·R 1R) ∈ R)
112, 10mpan2 421 . . . 4 (𝐴R → (𝐴 ·R 1R) ∈ R)
12 addcomsrg 7556 . . . 4 (((𝐴 ·R -1R) ∈ R ∧ (𝐴 ·R 1R) ∈ R) → ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
139, 11, 12syl2anc 408 . . 3 (𝐴R → ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
144, 7, 133eqtr3d 2178 . 2 (𝐴R → (𝐴 ·R 0R) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
15 00sr 7570 . 2 (𝐴R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)
16 1idsr 7569 . . 3 (𝐴R → (𝐴 ·R 1R) = 𝐴)
1716oveq1d 5782 . 2 (𝐴R → ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
1814, 15, 173eqtr3rd 2179 1 (𝐴R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331  wcel 1480  (class class class)co 5767  Rcnr 7098  0Rc0r 7099  1Rc1r 7100  -1Rcm1r 7101   +R cplr 7102   ·R cmr 7103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-1o 6306  df-2o 6307  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-pli 7106  df-mi 7107  df-lti 7108  df-plpq 7145  df-mpq 7146  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-plqqs 7150  df-mqqs 7151  df-1nqqs 7152  df-rq 7153  df-ltnqqs 7154  df-enq0 7225  df-nq0 7226  df-0nq0 7227  df-plq0 7228  df-mq0 7229  df-inp 7267  df-i1p 7268  df-iplp 7269  df-imp 7270  df-enr 7527  df-nr 7528  df-plr 7529  df-mr 7530  df-0r 7532  df-1r 7533  df-m1r 7534
This theorem is referenced by:  negexsr  7573  caucvgsrlemoffval  7597  map2psrprg  7606  axrnegex  7680
  Copyright terms: Public domain W3C validator