ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pn0sr GIF version

Theorem pn0sr 7692
Description: A signed real plus its negative is zero. (Contributed by NM, 14-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
pn0sr (𝐴R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)

Proof of Theorem pn0sr
StepHypRef Expression
1 m1r 7673 . . . 4 -1RR
2 1sr 7672 . . . 4 1RR
3 distrsrg 7680 . . . 4 ((𝐴R ∧ -1RR ∧ 1RR) → (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)))
41, 2, 3mp3an23 1311 . . 3 (𝐴R → (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)))
5 m1p1sr 7681 . . . . 5 (-1R +R 1R) = 0R
65oveq2i 5836 . . . 4 (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = (𝐴 ·R 0R)
76a1i 9 . . 3 (𝐴R → (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = (𝐴 ·R 0R))
8 mulclsr 7675 . . . . 5 ((𝐴R ∧ -1RR) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
91, 8mpan2 422 . . . 4 (𝐴R → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
10 mulclsr 7675 . . . . 5 ((𝐴R ∧ 1RR) → (𝐴 ·R 1R) ∈ R)
112, 10mpan2 422 . . . 4 (𝐴R → (𝐴 ·R 1R) ∈ R)
12 addcomsrg 7676 . . . 4 (((𝐴 ·R -1R) ∈ R ∧ (𝐴 ·R 1R) ∈ R) → ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
139, 11, 12syl2anc 409 . . 3 (𝐴R → ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
144, 7, 133eqtr3d 2198 . 2 (𝐴R → (𝐴 ·R 0R) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
15 00sr 7690 . 2 (𝐴R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)
16 1idsr 7689 . . 3 (𝐴R → (𝐴 ·R 1R) = 𝐴)
1716oveq1d 5840 . 2 (𝐴R → ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
1814, 15, 173eqtr3rd 2199 1 (𝐴R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1335  wcel 2128  (class class class)co 5825  Rcnr 7218  0Rc0r 7219  1Rc1r 7220  -1Rcm1r 7221   +R cplr 7222   ·R cmr 7223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-eprel 4250  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-1o 6364  df-2o 6365  df-oadd 6368  df-omul 6369  df-er 6481  df-ec 6483  df-qs 6487  df-ni 7225  df-pli 7226  df-mi 7227  df-lti 7228  df-plpq 7265  df-mpq 7266  df-enq 7268  df-nqqs 7269  df-plqqs 7270  df-mqqs 7271  df-1nqqs 7272  df-rq 7273  df-ltnqqs 7274  df-enq0 7345  df-nq0 7346  df-0nq0 7347  df-plq0 7348  df-mq0 7349  df-inp 7387  df-i1p 7388  df-iplp 7389  df-imp 7390  df-enr 7647  df-nr 7648  df-plr 7649  df-mr 7650  df-0r 7652  df-1r 7653  df-m1r 7654
This theorem is referenced by:  negexsr  7693  caucvgsrlemoffval  7717  map2psrprg  7726  axrnegex  7800
  Copyright terms: Public domain W3C validator