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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > distrsrg | Unicode version |
Description: Multiplication of signed reals is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2020.) |
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distrsrg |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | df-nr 7423 |
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2 | addsrpr 7441 |
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3 | mulsrpr 7442 |
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4 | mulsrpr 7442 |
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5 | mulsrpr 7442 |
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6 | addsrpr 7441 |
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7 | addclpr 7246 |
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8 | 7 | ad2ant2r 496 |
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9 | addclpr 7246 |
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11 | 8, 10 | jca 302 |
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21 | 20 | ad2ant2lr 497 |
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23 | 19, 21, 22 | syl2anc 406 |
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26 | 25 | ad2ant2r 496 |
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27 | mulclpr 7281 |
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28 | 27 | ad2ant2l 495 |
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30 | 26, 28, 29 | syl2anc 406 |
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32 | 31 | ad2ant2rl 498 |
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34 | 33 | ad2ant2lr 497 |
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35 | addclpr 7246 |
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36 | 32, 34, 35 | syl2anc 406 |
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41 | distrprg 7297 |
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42 | 38, 39, 40, 41 | syl3anc 1184 |
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46 | distrprg 7297 |
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47 | 43, 44, 45, 46 | syl3anc 1184 |
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48 | 42, 47 | oveq12d 5724 |
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49 | 38, 39, 12 | syl2anc 406 |
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50 | 38, 40, 25 | syl2anc 406 |
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51 | 43, 44, 14 | syl2anc 406 |
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52 | addcomprg 7287 |
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54 | addassprg 7288 |
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55 | 54 | adantl 273 |
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56 | 43, 45, 27 | syl2anc 406 |
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58 | 57 | adantl 273 |
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59 | 49, 50, 51, 53, 55, 56, 58 | caov4d 5887 |
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60 | 48, 59 | eqtrd 2132 |
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62 | 38, 44, 45, 61 | syl3anc 1184 |
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63 | distrprg 7297 |
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64 | 43, 39, 40, 63 | syl3anc 1184 |
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65 | 62, 64 | oveq12d 5724 |
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66 | 38, 44, 18 | syl2anc 406 |
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67 | 38, 45, 31 | syl2anc 406 |
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68 | 43, 39, 20 | syl2anc 406 |
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69 | 43, 40, 33 | syl2anc 406 |
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70 | 66, 67, 68, 53, 55, 69, 58 | caov4d 5887 |
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71 | 65, 70 | eqtrd 2132 |
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72 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 24, 37, 60, 71 | ecovidi 6471 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-coll 3983 ax-sep 3986 ax-nul 3994 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 ax-iinf 4440 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 787 df-3or 931 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-ral 2380 df-rex 2381 df-reu 2382 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-csb 2956 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-nul 3311 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-int 3719 df-iun 3762 df-br 3876 df-opab 3930 df-mpt 3931 df-tr 3967 df-eprel 4149 df-id 4153 df-po 4156 df-iso 4157 df-iord 4226 df-on 4228 df-suc 4231 df-iom 4443 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-rn 4488 df-res 4489 df-ima 4490 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-f 5063 df-f1 5064 df-fo 5065 df-f1o 5066 df-fv 5067 df-ov 5709 df-oprab 5710 df-mpo 5711 df-1st 5969 df-2nd 5970 df-recs 6132 df-irdg 6197 df-1o 6243 df-2o 6244 df-oadd 6247 df-omul 6248 df-er 6359 df-ec 6361 df-qs 6365 df-ni 7013 df-pli 7014 df-mi 7015 df-lti 7016 df-plpq 7053 df-mpq 7054 df-enq 7056 df-nqqs 7057 df-plqqs 7058 df-mqqs 7059 df-1nqqs 7060 df-rq 7061 df-ltnqqs 7062 df-enq0 7133 df-nq0 7134 df-0nq0 7135 df-plq0 7136 df-mq0 7137 df-inp 7175 df-iplp 7177 df-imp 7178 df-enr 7422 df-nr 7423 df-plr 7424 df-mr 7425 |
This theorem is referenced by: pn0sr 7467 axmulass 7558 axdistr 7559 |
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