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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > distrsrg | Unicode version |
Description: Multiplication of signed reals is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2020.) |
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distrsrg |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | df-nr 7717 |
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2 | addsrpr 7735 |
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3 | mulsrpr 7736 |
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4 | mulsrpr 7736 |
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5 | mulsrpr 7736 |
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6 | addsrpr 7735 |
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7 | addclpr 7527 |
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8 | 7 | ad2ant2r 509 |
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9 | addclpr 7527 |
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11 | 8, 10 | jca 306 |
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16 | addclpr 7527 |
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17 | 13, 15, 16 | syl2anc 411 |
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18 | mulclpr 7562 |
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19 | 18 | ad2ant2rl 511 |
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21 | 20 | ad2ant2lr 510 |
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23 | 19, 21, 22 | syl2anc 411 |
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24 | 17, 23 | jca 306 |
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26 | 25 | ad2ant2r 509 |
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27 | mulclpr 7562 |
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28 | 27 | ad2ant2l 508 |
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30 | 26, 28, 29 | syl2anc 411 |
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32 | 31 | ad2ant2rl 511 |
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34 | 33 | ad2ant2lr 510 |
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35 | addclpr 7527 |
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36 | 32, 34, 35 | syl2anc 411 |
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37 | 30, 36 | jca 306 |
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41 | distrprg 7578 |
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42 | 38, 39, 40, 41 | syl3anc 1238 |
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43 | simp1r 1022 |
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45 | simp3r 1026 |
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46 | distrprg 7578 |
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47 | 43, 44, 45, 46 | syl3anc 1238 |
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48 | 42, 47 | oveq12d 5887 |
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49 | 38, 39, 12 | syl2anc 411 |
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50 | 38, 40, 25 | syl2anc 411 |
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51 | 43, 44, 14 | syl2anc 411 |
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52 | addcomprg 7568 |
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53 | 52 | adantl 277 |
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54 | addassprg 7569 |
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55 | 54 | adantl 277 |
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56 | 43, 45, 27 | syl2anc 411 |
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57 | addclpr 7527 |
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58 | 57 | adantl 277 |
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59 | 49, 50, 51, 53, 55, 56, 58 | caov4d 6053 |
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60 | 48, 59 | eqtrd 2210 |
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61 | distrprg 7578 |
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62 | 38, 44, 45, 61 | syl3anc 1238 |
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63 | distrprg 7578 |
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64 | 43, 39, 40, 63 | syl3anc 1238 |
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65 | 62, 64 | oveq12d 5887 |
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66 | 38, 44, 18 | syl2anc 411 |
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67 | 38, 45, 31 | syl2anc 411 |
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68 | 43, 39, 20 | syl2anc 411 |
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69 | 43, 40, 33 | syl2anc 411 |
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70 | 66, 67, 68, 53, 55, 69, 58 | caov4d 6053 |
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71 | 65, 70 | eqtrd 2210 |
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72 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 24, 37, 60, 71 | ecovidi 6641 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-eprel 4286 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-irdg 6365 df-1o 6411 df-2o 6412 df-oadd 6415 df-omul 6416 df-er 6529 df-ec 6531 df-qs 6535 df-ni 7294 df-pli 7295 df-mi 7296 df-lti 7297 df-plpq 7334 df-mpq 7335 df-enq 7337 df-nqqs 7338 df-plqqs 7339 df-mqqs 7340 df-1nqqs 7341 df-rq 7342 df-ltnqqs 7343 df-enq0 7414 df-nq0 7415 df-0nq0 7416 df-plq0 7417 df-mq0 7418 df-inp 7456 df-iplp 7458 df-imp 7459 df-enr 7716 df-nr 7717 df-plr 7718 df-mr 7719 |
This theorem is referenced by: pn0sr 7761 axmulass 7863 axdistr 7864 |
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