ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pythagtriplem10 Unicode version
Theorem pythagtriplem10 12813
Description: Lemma for pythagtrip 12827. Show that C - B is positive. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> 0 < ( C - B ) )
Proof of Theorem pythagtriplem10
StepHypRef Expression
1 nnre 9133 . . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A e. RR )
213ad2ant1 1042 . . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A e. RR )
3 nnap0 9155 . . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A # 0 )
433ad2ant1 1042 . . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A # 0 )
52, 4sqgt0apd 10940 . . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < ( A ^ 2 ) )
62resqcld 10938 . . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. RR )
7 nnre 9133 . . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> B e. RR )
873ad2ant2 1043 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. RR )
98resqcld 10938 . . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. RR )
106, 9ltaddpos2d 8693 . . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( 0 < ( A ^ 2 ) <-> ( B ^ 2 ) < ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) ) )
115, 10mpbid 147 . . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( B ^ 2 ) < ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
1211adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( B ^ 2 ) < ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
13 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) )
1412, 13breqtrd 4109 . . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( B ^ 2 ) < ( C ^ 2 ) )
158adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> B e. RR )
16 nnre 9133 . . . . . 6 |- ( C e. NN -> C e. RR )
17163ad2ant3 1044 . . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. RR )
1817adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> C e. RR )
19 nnnn0 9392 . . . . . . 7 |- ( B e. NN -> B e. NN0 )
2019nn0ge0d 9441 . . . . . 6 |- ( B e. NN -> 0 <_ B )
21203ad2ant2 1043 . . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 <_ B )
2221adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> 0 <_ B )
23 nnnn0 9392 . . . . . . 7 |- ( C e. NN -> C e. NN0 )
2423nn0ge0d 9441 . . . . . 6 |- ( C e. NN -> 0 <_ C )
25243ad2ant3 1044 . . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 <_ C )
2625adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> 0 <_ C )
2715, 18, 22, 26lt2sqd 10943 . . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( B < C <-> ( B ^ 2 ) < ( C ^ 2 ) ) )
2814, 27mpbird 167 . 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> B < C )
2915, 18posdifd 8695 . 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( B < C <-> 0 < ( C - B ) ) )
3028, 29mpbid 147 1 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> 0 < ( C - B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010   RRcr 8014   0cc0 8015   + caddc 8018   < clt 8197   <_ cle 8198   - cmin 8333   # cap 8744   NNcn 9126   2c2 9177   ^cexp 10777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-seqfrec 10687  df-exp 10778
This theorem is referenced by:  pythagtriplem6  12814  pythagtriplem12  12819  pythagtriplem13  12820  pythagtriplem14  12821  pythagtriplem16  12823
  Copyright terms: Public domain W3C validator