ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pythagtriplem10 Unicode version
Theorem pythagtriplem10 12792
Description: Lemma for pythagtrip 12806. Show that C - B is positive. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> 0 < ( C - B ) )
Proof of Theorem pythagtriplem10
StepHypRef Expression
1 nnre 9117 . . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A e. RR )
213ad2ant1 1042 . . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A e. RR )
3 nnap0 9139 . . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A # 0 )
433ad2ant1 1042 . . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A # 0 )
52, 4sqgt0apd 10923 . . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < ( A ^ 2 ) )
62resqcld 10921 . . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. RR )
7 nnre 9117 . . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> B e. RR )
873ad2ant2 1043 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. RR )
98resqcld 10921 . . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. RR )
106, 9ltaddpos2d 8677 . . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( 0 < ( A ^ 2 ) <-> ( B ^ 2 ) < ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) ) )
115, 10mpbid 147 . . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( B ^ 2 ) < ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
1211adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( B ^ 2 ) < ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
13 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) )
1412, 13breqtrd 4109 . . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( B ^ 2 ) < ( C ^ 2 ) )
158adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> B e. RR )
16 nnre 9117 . . . . . 6 |- ( C e. NN -> C e. RR )
17163ad2ant3 1044 . . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. RR )
1817adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> C e. RR )
19 nnnn0 9376 . . . . . . 7 |- ( B e. NN -> B e. NN0 )
2019nn0ge0d 9425 . . . . . 6 |- ( B e. NN -> 0 <_ B )
21203ad2ant2 1043 . . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 <_ B )
2221adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> 0 <_ B )
23 nnnn0 9376 . . . . . . 7 |- ( C e. NN -> C e. NN0 )
2423nn0ge0d 9425 . . . . . 6 |- ( C e. NN -> 0 <_ C )
25243ad2ant3 1044 . . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 <_ C )
2625adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> 0 <_ C )
2715, 18, 22, 26lt2sqd 10926 . . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( B < C <-> ( B ^ 2 ) < ( C ^ 2 ) ) )
2814, 27mpbird 167 . 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> B < C )
2915, 18posdifd 8679 . 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( B < C <-> 0 < ( C - B ) ) )
3028, 29mpbid 147 1 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> 0 < ( C - B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   RRcr 7998   0cc0 7999   + caddc 8002   < clt 8181   <_ cle 8182   - cmin 8317   # cap 8728   NNcn 9110   2c2 9161   ^cexp 10760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-seqfrec 10670  df-exp 10761
This theorem is referenced by:  pythagtriplem6  12793  pythagtriplem12  12798  pythagtriplem13  12799  pythagtriplem14  12800  pythagtriplem16  12802
  Copyright terms: Public domain W3C validator