ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pythagtriplem10 Unicode version
Theorem pythagtriplem10 12210
Description: Lemma for pythagtrip 12224. Show that C - B is positive. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> 0 < ( C - B ) )
Proof of Theorem pythagtriplem10
StepHypRef Expression
1 nnre 8872 . . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A e. RR )
213ad2ant1 1013 . . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A e. RR )
3 nnap0 8894 . . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A # 0 )
433ad2ant1 1013 . . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A # 0 )
52, 4sqgt0apd 10624 . . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < ( A ^ 2 ) )
62resqcld 10622 . . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. RR )
7 nnre 8872 . . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> B e. RR )
873ad2ant2 1014 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. RR )
98resqcld 10622 . . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. RR )
106, 9ltaddpos2d 8436 . . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( 0 < ( A ^ 2 ) <-> ( B ^ 2 ) < ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) ) )
115, 10mpbid 146 . . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( B ^ 2 ) < ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
1211adantr 274 . . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( B ^ 2 ) < ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
13 simpr 109 . . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) )
1412, 13breqtrd 4013 . . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( B ^ 2 ) < ( C ^ 2 ) )
158adantr 274 . . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> B e. RR )
16 nnre 8872 . . . . . 6 |- ( C e. NN -> C e. RR )
17163ad2ant3 1015 . . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. RR )
1817adantr 274 . . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> C e. RR )
19 nnnn0 9129 . . . . . . 7 |- ( B e. NN -> B e. NN0 )
2019nn0ge0d 9178 . . . . . 6 |- ( B e. NN -> 0 <_ B )
21203ad2ant2 1014 . . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 <_ B )
2221adantr 274 . . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> 0 <_ B )
23 nnnn0 9129 . . . . . . 7 |- ( C e. NN -> C e. NN0 )
2423nn0ge0d 9178 . . . . . 6 |- ( C e. NN -> 0 <_ C )
25243ad2ant3 1015 . . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 <_ C )
2625adantr 274 . . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> 0 <_ C )
2715, 18, 22, 26lt2sqd 10627 . . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( B < C <-> ( B ^ 2 ) < ( C ^ 2 ) ) )
2814, 27mpbird 166 . 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> B < C )
2915, 18posdifd 8438 . 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( B < C <-> 0 < ( C - B ) ) )
3028, 29mpbid 146 1 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> 0 < ( C - B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850   RRcr 7760   0cc0 7761   + caddc 7764   < clt 7941   <_ cle 7942   - cmin 8077   # cap 8487   NNcn 8865   2c2 8916   ^cexp 10462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-seqfrec 10389  df-exp 10463
This theorem is referenced by:  pythagtriplem6  12211  pythagtriplem12  12216  pythagtriplem13  12217  pythagtriplem14  12218  pythagtriplem16  12220
  Copyright terms: Public domain W3C validator