Theorem psr0cl 14610

Description: The zero element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
psr0cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr0cl.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psr0cl	⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑉(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem psr0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgrp.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
2		eqid 2209	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		psr0cl.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 13528	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
5		fconst6g 5500	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑅) → (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅))
6	1, 4, 5	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅))
7		basfn 13057	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
8	1	elexd 2793	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
9		funfvex 5620	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
10	9	funfni 5399	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
11	7, 8, 10	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
12		psr0cl.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
13		fnmap 6772	. . . . . 6 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
14		nn0ex 9343	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
15		psrgrp.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
16	15	elexd 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
17		fnovex 6007	. . . . . 6 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
18	13, 14, 16, 17	mp3an12i 1356	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
19	12, 18	rabexd 4208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
20	11, 19	elmapd 6779	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷) ↔ (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅)))
21	6, 20	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
22		psrgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
23		psr0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
24	22, 2, 12, 23, 15, 1	psrbasg 14603	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
25	21, 24	eleqtrrd 2289	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  {crab 2492  Vcvv 2779  {csn 3646   × cxp 4694  ^◡ccnv 4695   “ cima 4699   Fn wfn 5289  ⟶wf 5290  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974   ↑_𝑚 cmap 6765  Fincfn 6857  ℕcn 9078  ℕ₀cn0 9337  Basecbs 12998  0_gc0g 13255  Grpcgrp 13499   mPwSer cmps 14590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-of 6188  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-map 6767  df-ixp 6816  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-fz 10173  df-struct 13000  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-tset 13095  df-rest 13240  df-topn 13241  df-0g 13257  df-topgen 13259  df-pt 13260  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-grp 13502  df-psr 14592

This theorem is referenced by:  psr0lid  14611  psr0  14615  mplsubgfilemm  14627