Theorem psr0cl 15196

Description: The zero element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
psr0cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr0cl.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psr0cl	⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑉(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem psr0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgrp.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
2		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		psr0cl.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 13894	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
5		fconst6g 5594	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑅) → (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅))
6	1, 4, 5	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅))
7		basfn 13470	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
8	1	elexd 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
9		funfvex 5715	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
10	9	funfni 5486	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
11	7, 8, 10	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
12		psr0cl.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
13		fnmap 6933	. . . . . 6 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
14		nn0ex 9581	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
15		psrgrp.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
16	15	elexd 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
17		fnovex 6121	. . . . . 6 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
18	13, 14, 16, 17	mp3an12i 1382	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
19	12, 18	rabexd 4283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
20	11, 19	elmapd 6940	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷) ↔ (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅)))
21	6, 20	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
22		psrgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
23		psr0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
24	22, 2, 12, 23, 15, 1	psrbasg 15183	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
25	21, 24	eleqtrrd 2318	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821  {csn 3709   × cxp 4774  ^◡ccnv 4775   “ cima 4779   Fn wfn 5375  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ↑_𝑚 cmap 6926  Fincfn 7027  ℕcn 9314  ℕ₀cn0 9575  Basecbs 13411  0_gc0g 13670  Grpcgrp 13865   mPwSer cmps 15155

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-ixp 6986  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-fz 10430  df-struct 13413  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-sca 13507  df-vsca 13508  df-tset 13510  df-rest 13655  df-topn 13656  df-0g 13672  df-topgen 13674  df-pt 13675  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868  df-psr 15158

This theorem is used by:  psr0lid  15197  psr0  15201  mplsubgfilemm  15226