Theorem psr0cl 14885

Description: The zero element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
psr0cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr0cl.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psr0cl	⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑉(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem psr0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgrp.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
2		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		psr0cl.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 13763	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
5		fconst6g 5568	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑅) → (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅))
6	1, 4, 5	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅))
7		basfn 13292	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
8	1	elexd 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
9		funfvex 5689	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
10	9	funfni 5460	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
11	7, 8, 10	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
12		psr0cl.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
13		fnmap 6891	. . . . . 6 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
14		nn0ex 9507	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
15		psrgrp.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
16	15	elexd 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
17		fnovex 6085	. . . . . 6 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
18	13, 14, 16, 17	mp3an12i 1378	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
19	12, 18	rabexd 4259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
20	11, 19	elmapd 6898	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷) ↔ (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅)))
21	6, 20	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
22		psrgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
23		psr0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
24	22, 2, 12, 23, 15, 1	psrbasg 14878	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
25	21, 24	eleqtrrd 2314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526  Vcvv 2815  {csn 3691   × cxp 4749  ^◡ccnv 4750   “ cima 4754   Fn wfn 5349  ⟶wf 5350  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052   ↑_𝑚 cmap 6884  Fincfn 6977  ℕcn 9242  ℕ₀cn0 9501  Basecbs 13233  0_gc0g 13490  Grpcgrp 13734   mPwSer cmps 14858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-tp 3699  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-of 6268  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-map 6886  df-ixp 6936  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-fz 10349  df-struct 13235  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-sca 13327  df-vsca 13328  df-tset 13330  df-rest 13475  df-topn 13476  df-0g 13492  df-topgen 13494  df-pt 13495  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-grp 13737  df-psr 14860

This theorem is referenced by:  psr0lid  14886  psr0  14890  mplsubgfilemm  14902