Theorem pwbdvds 12970

Description: A natural number has a highest power of a base which divides it. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Nov-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
pwbdvds	|- ( ( N e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> E. m e. NN0 ( ( B ^ m ) || N /\ -. ( B ^ ( m + 1 ) ) || N ) )

Distinct variable groups:   m, N   B, m

Proof of Theorem pwbdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( N e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. NN )
2		eluz2nn 9982	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. NN )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( N e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> B e. NN )
4	1	nnnn0d 9631	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. NN0 )
5	3, 4	nnexpcld 11154	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( B ^ N ) e. NN )
6		1zzd 9682	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 e. ZZ )
7	5	nnzd 9778	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( B ^ N ) e. ZZ )
8	7, 6	zsubcld 9784	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( B ^ N ) - 1 ) e. ZZ )
9	1	nnzd 9778	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. ZZ )
10	1	nnge1d 9356	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 <_ N )
11		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> B e. ( ZZ>= ` 2 ) )
12		bernneq3 11121	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N < ( B ^ N ) )
13	11, 4, 12	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N < ( B ^ N ) )
14		zltlem1 9713	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( B ^ N ) e. ZZ ) -> ( N < ( B ^ N ) <-> N <_ ( ( B ^ N ) - 1 ) ) )
15	9, 7, 14	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N < ( B ^ N ) <-> N <_ ( ( B ^ N ) - 1 ) ) )
16	13, 15	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N <_ ( ( B ^ N ) - 1 ) )
17	6, 8, 9, 10, 16	elfzd 10436	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. ( 1 ... ( ( B ^ N ) - 1 ) ) )
18		fzm1ndvds 12648	. . 3 |- ( ( ( B ^ N ) e. NN /\ N e. ( 1 ... ( ( B ^ N ) - 1 ) ) ) -> -. ( B ^ N ) || N )
19	5, 17, 18	syl2anc 415	. 2 |- ( ( N e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. ( B ^ N ) || N )
20	1, 1, 3, 19	pwbdvdslemn 12969	1 |- ( ( N e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> E. m e. NN0 ( ( B ^ m ) || N /\ -. ( B ^ ( m + 1 ) ) || N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   1c1 8186   + caddc 8188   < clt 8366   <_ cle 8367   - cmin 8504   NNcn 9313   2c2 9364   NN0cn0 9574   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937   ...cfz 10428   ^cexp 10996   || cdvds 12579

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-dvds 12580

This theorem is used by:  pwbdvdseu  12972  nnmaxpwlemdvds  12974  nnmaxpwlemndvds  12975