Theorem q1mod 10508

Description: Special case: 1 modulo a real number greater than 1 is 1. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
q1mod	⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)

Proof of Theorem q1mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9405	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zq 9754	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	mp1i 10	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → 1 ∈ ℚ)
4		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℚ)
5		0le1 8561	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → 0 ≤ 1)
7		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → 1 < 𝑁)
8		modqid 10501	. 2 ⊢ (((1 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 𝑁)) → (1 mod 𝑁) = 1)
9	3, 4, 6, 7, 8	syl22anc 1251	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4047  (class class class)co 5951  0cc0 7932  1c1 7933   < clt 8114   ≤ cle 8115  ℤcz 9379  ℚcq 9747   mod cmo 10474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-n0 9303  df-z 9380  df-q 9748  df-rp 9783  df-fl 10420  df-mod 10475

This theorem is referenced by:  mulp1mod1  10517  p1modz1  12149  modm1div  12155  vfermltl  12618  pockthlem  12723  pockthi  12725  wilthlem1  15496  lgsne0  15559  gausslemma2dlem0i  15578  gausslemma2dlem7  15589  gausslemma2d  15590