Theorem q1mod 10358

Description: Special case: 1 modulo a real number greater than 1 is 1. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
q1mod	⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)

Proof of Theorem q1mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9281	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zq 9628	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	mp1i 10	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → 1 ∈ ℚ)
4		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℚ)
5		0le1 8440	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → 0 ≤ 1)
7		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → 1 < 𝑁)
8		modqid 10351	. 2 ⊢ (((1 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 𝑁)) → (1 mod 𝑁) = 1)
9	3, 4, 6, 7, 8	syl22anc 1239	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  0cc0 7813  1c1 7814   < clt 7994   ≤ cle 7995  ℤcz 9255  ℚcq 9621   mod cmo 10324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-q 9622  df-rp 9656  df-fl 10272  df-mod 10325

This theorem is referenced by:  mulp1mod1  10367  p1modz1  11803  modm1div  11809  vfermltl  12253  pockthlem  12356  pockthi  12358  lgsne0  14524