Theorem q1mod 10624

Description: Special case: 1 modulo a real number greater than 1 is 1. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
q1mod	⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)

Proof of Theorem q1mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9510	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zq 9865	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	mp1i 10	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → 1 ∈ ℚ)
4		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℚ)
5		0le1 8666	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → 0 ≤ 1)
7		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → 1 < 𝑁)
8		modqid 10617	. 2 ⊢ (((1 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 𝑁)) → (1 mod 𝑁) = 1)
9	3, 4, 6, 7, 8	syl22anc 1274	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023  0cc0 8037  1c1 8038   < clt 8219   ≤ cle 8220  ℤcz 9484  ℚcq 9858   mod cmo 10590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-n0 9408  df-z 9485  df-q 9859  df-rp 9894  df-fl 10536  df-mod 10591

This theorem is referenced by:  mulp1mod1  10633  p1modz1  12378  modm1div  12384  vfermltl  12847  pockthlem  12952  pockthi  12954  wilthlem1  15733  lgsne0  15796  gausslemma2dlem0i  15815  gausslemma2dlem7  15826  gausslemma2d  15827