Theorem q1mod 10545

Description: Special case: 1 modulo a real number greater than 1 is 1. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
q1mod	⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)

Proof of Theorem q1mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9440	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zq 9789	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	mp1i 10	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → 1 ∈ ℚ)
4		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℚ)
5		0le1 8596	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → 0 ≤ 1)
7		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → 1 < 𝑁)
8		modqid 10538	. 2 ⊢ (((1 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 𝑁)) → (1 mod 𝑁) = 1)
9	3, 4, 6, 7, 8	syl22anc 1253	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   class class class wbr 4062  (class class class)co 5974  0cc0 7967  1c1 7968   < clt 8149   ≤ cle 8150  ℤcz 9414  ℚcq 9782   mod cmo 10511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-n0 9338  df-z 9415  df-q 9783  df-rp 9818  df-fl 10457  df-mod 10512

This theorem is referenced by:  mulp1mod1  10554  p1modz1  12271  modm1div  12277  vfermltl  12740  pockthlem  12845  pockthi  12847  wilthlem1  15619  lgsne0  15682  gausslemma2dlem0i  15701  gausslemma2dlem7  15712  gausslemma2d  15713