Theorem vfermltl 12769

Description: Variant of Fermat's little theorem if A is not a multiple of P, see theorem 5.18 in [ApostolNT] p. 113. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
vfermltl	|- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( P - 1 ) ) mod P ) = 1 )

Proof of Theorem vfermltl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phiprm 12740	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> ( phi ` P ) = ( P - 1 ) )
2	1	eqcomd 2235	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( P - 1 ) = ( phi ` P ) )
3	2	3ad2ant1 1042	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( P - 1 ) = ( phi ` P ) )
4	3	oveq2d 6016	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( A ^ ( P - 1 ) ) = ( A ^ ( phi ` P ) ) )
5	4	oveq1d 6015	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( P - 1 ) ) mod P ) = ( ( A ^ ( phi ` P ) ) mod P ) )
6		prmnn 12627	. . . 4 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
7	6	3ad2ant1 1042	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> P e. NN )
8		simp2 1022	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> A e. ZZ )
9		prmz 12628	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
10	9	anim1ci 341	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( A e. ZZ /\ P e. ZZ ) )
11	10	3adant3 1041	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( A e. ZZ /\ P e. ZZ ) )
12		gcdcom 12489	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( A gcd P ) = ( P gcd A ) )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( A gcd P ) = ( P gcd A ) )
14		coprm 12661	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( -. P || A <-> ( P gcd A ) = 1 ) )
15	14	biimp3a 1379	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( P gcd A ) = 1 )
16	13, 15	eqtrd 2262	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( A gcd P ) = 1 )
17		eulerth 12750	. . 3 |- ( ( P e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd P ) = 1 ) -> ( ( A ^ ( phi ` P ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
18	7, 8, 16, 17	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( phi ` P ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
19	9	3ad2ant1 1042	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> P e. ZZ )
20		zq 9817	. . . 4 |- ( P e. ZZ -> P e. QQ )
21	19, 20	syl 14	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> P e. QQ )
22		prmgt1 12649	. . . 4 |- ( P e. Prime -> 1 < P )
23	22	3ad2ant1 1042	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> 1 < P )
24		q1mod 10573	. . 3 |- ( ( P e. QQ /\ 1 < P ) -> ( 1 mod P ) = 1 )
25	21, 23, 24	syl2anc 411	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( 1 mod P ) = 1 )
26	5, 18, 25	3eqtrd 2266	1 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( P - 1 ) ) mod P ) = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4082   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   1c1 7996   < clt 8177   - cmin 8313   NNcn 9106   ZZcz 9442   QQcq 9810   mod cmo 10539   ^cexp 10755   || cdvds 12293   gcd cgcd 12469   Primecprime 12624   phicphi 12726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-frec 6535  df-1o 6560  df-2o 6561  df-oadd 6564  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-sup 7147  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-fl 10485  df-mod 10540  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-ihash 10993  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-clim 11785  df-proddc 12057  df-dvds 12294  df-gcd 12470  df-prm 12625  df-phi 12728

This theorem is referenced by: (None)