Theorem vfermltl 12142

Description: Variant of Fermat's little theorem if A is not a multiple of P, see theorem 5.18 in [ApostolNT] p. 113. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
vfermltl	|- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( P - 1 ) ) mod P ) = 1 )

Proof of Theorem vfermltl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phiprm 12114	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> ( phi ` P ) = ( P - 1 ) )
2	1	eqcomd 2163	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( P - 1 ) = ( phi ` P ) )
3	2	3ad2ant1 1003	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( P - 1 ) = ( phi ` P ) )
4	3	oveq2d 5843	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( A ^ ( P - 1 ) ) = ( A ^ ( phi ` P ) ) )
5	4	oveq1d 5842	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( P - 1 ) ) mod P ) = ( ( A ^ ( phi ` P ) ) mod P ) )
6		prmnn 12003	. . . 4 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
7	6	3ad2ant1 1003	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> P e. NN )
8		simp2 983	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> A e. ZZ )
9		prmz 12004	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
10	9	anim1ci 339	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( A e. ZZ /\ P e. ZZ ) )
11	10	3adant3 1002	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( A e. ZZ /\ P e. ZZ ) )
12		gcdcom 11873	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( A gcd P ) = ( P gcd A ) )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( A gcd P ) = ( P gcd A ) )
14		coprm 12035	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( -. P || A <-> ( P gcd A ) = 1 ) )
15	14	biimp3a 1327	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( P gcd A ) = 1 )
16	13, 15	eqtrd 2190	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( A gcd P ) = 1 )
17		eulerth 12124	. . 3 |- ( ( P e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd P ) = 1 ) -> ( ( A ^ ( phi ` P ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
18	7, 8, 16, 17	syl3anc 1220	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( phi ` P ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
19	9	3ad2ant1 1003	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> P e. ZZ )
20		zq 9542	. . . 4 |- ( P e. ZZ -> P e. QQ )
21	19, 20	syl 14	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> P e. QQ )
22		prmgt1 12025	. . . 4 |- ( P e. Prime -> 1 < P )
23	22	3ad2ant1 1003	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> 1 < P )
24		q1mod 10265	. . 3 |- ( ( P e. QQ /\ 1 < P ) -> ( 1 mod P ) = 1 )
25	21, 23, 24	syl2anc 409	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( 1 mod P ) = 1 )
26	5, 18, 25	3eqtrd 2194	1 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( P - 1 ) ) mod P ) = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   class class class wbr 3967   ` cfv 5173  (class class class)co 5827   1c1 7736   < clt 7915   - cmin 8051   NNcn 8839   ZZcz 9173   QQcq 9535   mod cmo 10231   ^cexp 10428   || cdvds 11695   gcd cgcd 11842   Primecprime 12000   phicphi 12100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4082  ax-sep 4085  ax-nul 4093  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-iinf 4550  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-mulrcl 7834  ax-addcom 7835  ax-mulcom 7836  ax-addass 7837  ax-mulass 7838  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-1rid 7842  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-precex 7845  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-apti 7850  ax-pre-ltadd 7851  ax-pre-mulgt0 7852  ax-pre-mulext 7853  ax-arch 7854  ax-caucvg 7855

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-tr 4066  df-id 4256  df-po 4259  df-iso 4260  df-iord 4329  df-on 4331  df-ilim 4332  df-suc 4334  df-iom 4553  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-isom 5182  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-1st 6091  df-2nd 6092  df-recs 6255  df-irdg 6320  df-frec 6341  df-1o 6366  df-2o 6367  df-oadd 6370  df-er 6483  df-en 6689  df-dom 6690  df-fin 6691  df-sup 6931  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-reap 8455  df-ap 8462  df-div 8551  df-inn 8840  df-2 8898  df-3 8899  df-4 8900  df-n0 9097  df-z 9174  df-uz 9446  df-q 9536  df-rp 9568  df-fz 9920  df-fzo 10052  df-fl 10179  df-mod 10232  df-seqfrec 10355  df-exp 10429  df-ihash 10662  df-cj 10754  df-re 10755  df-im 10756  df-rsqrt 10910  df-abs 10911  df-clim 11188  df-proddc 11460  df-dvds 11696  df-gcd 11843  df-prm 12001  df-phi 12102

This theorem is referenced by: (None)