Theorem vfermltl 12795

Description: Variant of Fermat's little theorem if A is not a multiple of P, see theorem 5.18 in [ApostolNT] p. 113. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
vfermltl	|- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( P - 1 ) ) mod P ) = 1 )

Proof of Theorem vfermltl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phiprm 12766	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> ( phi ` P ) = ( P - 1 ) )
2	1	eqcomd 2235	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( P - 1 ) = ( phi ` P ) )
3	2	3ad2ant1 1042	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( P - 1 ) = ( phi ` P ) )
4	3	oveq2d 6026	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( A ^ ( P - 1 ) ) = ( A ^ ( phi ` P ) ) )
5	4	oveq1d 6025	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( P - 1 ) ) mod P ) = ( ( A ^ ( phi ` P ) ) mod P ) )
6		prmnn 12653	. . . 4 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
7	6	3ad2ant1 1042	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> P e. NN )
8		simp2 1022	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> A e. ZZ )
9		prmz 12654	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
10	9	anim1ci 341	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( A e. ZZ /\ P e. ZZ ) )
11	10	3adant3 1041	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( A e. ZZ /\ P e. ZZ ) )
12		gcdcom 12515	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( A gcd P ) = ( P gcd A ) )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( A gcd P ) = ( P gcd A ) )
14		coprm 12687	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( -. P || A <-> ( P gcd A ) = 1 ) )
15	14	biimp3a 1379	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( P gcd A ) = 1 )
16	13, 15	eqtrd 2262	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( A gcd P ) = 1 )
17		eulerth 12776	. . 3 |- ( ( P e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd P ) = 1 ) -> ( ( A ^ ( phi ` P ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
18	7, 8, 16, 17	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( phi ` P ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
19	9	3ad2ant1 1042	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> P e. ZZ )
20		zq 9838	. . . 4 |- ( P e. ZZ -> P e. QQ )
21	19, 20	syl 14	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> P e. QQ )
22		prmgt1 12675	. . . 4 |- ( P e. Prime -> 1 < P )
23	22	3ad2ant1 1042	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> 1 < P )
24		q1mod 10595	. . 3 |- ( ( P e. QQ /\ 1 < P ) -> ( 1 mod P ) = 1 )
25	21, 23, 24	syl2anc 411	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( 1 mod P ) = 1 )
26	5, 18, 25	3eqtrd 2266	1 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( P - 1 ) ) mod P ) = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   1c1 8016   < clt 8197   - cmin 8333   NNcn 9126   ZZcz 9462   QQcq 9831   mod cmo 10561   ^cexp 10777   || cdvds 12319   gcd cgcd 12495   Primecprime 12650   phicphi 12752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-frec 6548  df-1o 6573  df-2o 6574  df-oadd 6577  df-er 6693  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-sup 7167  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-fl 10507  df-mod 10562  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-ihash 11015  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-clim 11811  df-proddc 12083  df-dvds 12320  df-gcd 12496  df-prm 12651  df-phi 12754

This theorem is referenced by: (None)