Theorem vfermltl 12949

Description: Variant of Fermat's little theorem if A is not a multiple of P, see theorem 5.18 in [ApostolNT] p. 113. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
vfermltl	|- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( P - 1 ) ) mod P ) = 1 )

Proof of Theorem vfermltl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phiprm 12920	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> ( phi ` P ) = ( P - 1 ) )
2	1	eqcomd 2238	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( P - 1 ) = ( phi ` P ) )
3	2	3ad2ant1 1045	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( P - 1 ) = ( phi ` P ) )
4	3	oveq2d 6066	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( A ^ ( P - 1 ) ) = ( A ^ ( phi ` P ) ) )
5	4	oveq1d 6065	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( P - 1 ) ) mod P ) = ( ( A ^ ( phi ` P ) ) mod P ) )
6		prmnn 12807	. . . 4 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
7	6	3ad2ant1 1045	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> P e. NN )
8		simp2 1025	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> A e. ZZ )
9		prmz 12808	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
10	9	anim1ci 341	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( A e. ZZ /\ P e. ZZ ) )
11	10	3adant3 1044	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( A e. ZZ /\ P e. ZZ ) )
12		gcdcom 12669	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( A gcd P ) = ( P gcd A ) )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( A gcd P ) = ( P gcd A ) )
14		coprm 12841	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( -. P || A <-> ( P gcd A ) = 1 ) )
15	14	biimp3a 1382	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( P gcd A ) = 1 )
16	13, 15	eqtrd 2265	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( A gcd P ) = 1 )
17		eulerth 12930	. . 3 |- ( ( P e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd P ) = 1 ) -> ( ( A ^ ( phi ` P ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
18	7, 8, 16, 17	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( phi ` P ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
19	9	3ad2ant1 1045	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> P e. ZZ )
20		zq 9958	. . . 4 |- ( P e. ZZ -> P e. QQ )
21	19, 20	syl 14	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> P e. QQ )
22		prmgt1 12829	. . . 4 |- ( P e. Prime -> 1 < P )
23	22	3ad2ant1 1045	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> 1 < P )
24		q1mod 10718	. . 3 |- ( ( P e. QQ /\ 1 < P ) -> ( 1 mod P ) = 1 )
25	21, 23, 24	syl2anc 411	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( 1 mod P ) = 1 )
26	5, 18, 25	3eqtrd 2269	1 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( P - 1 ) ) mod P ) = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   1c1 8128   < clt 8308   - cmin 8444   NNcn 9237   ZZcz 9577   QQcq 9951   mod cmo 10684   ^cexp 10900   || cdvds 12473   gcd cgcd 12649   Primecprime 12804   phicphi 12906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-sup 7275  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-fl 10630  df-mod 10685  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-ihash 11139  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-clim 11964  df-proddc 12237  df-dvds 12474  df-gcd 12650  df-prm 12805  df-phi 12908

This theorem is referenced by: (None)