ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3feq GIF version

Theorem seq3feq 10474
Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
seq3feq.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
seq3feq.f ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
seq3feq.2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
seq3feq.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
seq3feq (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐺))
Distinct variable groups:   + ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦   𝑘,𝐺,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3feq
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 seq3feq.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 seq3feq.f . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
4 seq3feq.pl . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
51, 2, 3, 4seqf 10463 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶𝑆)
65ffnd 5368 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
7 fveq2 5517 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑥 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
8 fveq2 5517 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑥 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑥))
97, 8eqeq12d 2192 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → ((𝐹𝑘) = (𝐺𝑘) ↔ (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
10 seq3feq.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
1110ralrimiva 2550 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
1211adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
13 simpr 110 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
149, 12, 13rspcdva 2848 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
1514, 3eqeltrrd 2255 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
161, 2, 15, 4seqf 10463 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):(ℤ𝑀)⟶𝑆)
1716ffnd 5368 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) Fn (ℤ𝑀))
18 simpr 110 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑧 ∈ (ℤ𝑀))
19 simpll 527 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝜑)
20 elfzuz 10023 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑧) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2120adantl 277 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2219, 21, 10syl2anc 411 . . 3 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑧)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
233adantlr 477 . . 3 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
2415adantlr 477 . . 3 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
254adantlr 477 . . 3 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2618, 22, 23, 24, 25seq3fveq 10473 . 2 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑧))
276, 17, 26eqfnfvd 5618 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐺))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  cfv 5218  (class class class)co 5877  cz 9255  cuz 9530  ...cfz 10010  seqcseq 10447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-seqfrec 10448
This theorem is referenced by:  zsumdc  11394  fsum3cvg2  11404  isumshft  11500  geolim2  11522  cvgratz  11542  mertenslem2  11546  zproddc  11589
  Copyright terms: Public domain W3C validator