Theorem seq3feq 10714

Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3feq.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
seq3feq.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seq3feq.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
seq3feq.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
seq3feq	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐺))

Distinct variable groups:   + ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦   𝑘,𝐺,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3feq

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		seq3feq.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		seq3feq.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
4		seq3feq.pl	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	seqf 10698	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆)
6	5	ffnd 5474	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
7		fveq2 5629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
8		fveq2 5629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑥))
9	7, 8	eqeq12d 2244	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
10		seq3feq.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
11	10	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
12	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
13		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
14	9, 12, 13	rspcdva 2912	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
15	14, 3	eqeltrrd 2307	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
16	1, 2, 15, 4	seqf 10698	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆)
17	16	ffnd 5474	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) Fn (ℤ≥‘𝑀))
18		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
19		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝜑)
20		elfzuz 10229	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑧) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
21	20	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22	19, 21, 10	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑧)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
23	3	adantlr 477	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
24	15	adantlr 477	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
25	4	adantlr 477	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
26	18, 22, 23, 24, 25	seq3fveq 10713	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑧))
27	6, 17, 26	eqfnfvd 5737	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℤcz 9457  ℤ_≥cuz 9733  ...cfz 10216  seqcseq 10681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217  df-seqfrec 10682

This theorem is referenced by:  zsumdc  11910  fsum3cvg2  11920  isumshft  12016  geolim2  12038  cvgratz  12058  mertenslem2  12062  zproddc  12105