Theorem seq3feq 10788

Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3feq.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
seq3feq.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seq3feq.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
seq3feq.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
seq3feq	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐺))

Distinct variable groups:   + ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦   𝑘,𝐺,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3feq

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		seq3feq.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		seq3feq.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
4		seq3feq.pl	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	seqf 10772	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆)
6	5	ffnd 5490	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
7		fveq2 5648	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
8		fveq2 5648	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑥))
9	7, 8	eqeq12d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
10		seq3feq.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
11	10	ralrimiva 2606	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
12	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
13		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
14	9, 12, 13	rspcdva 2916	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
15	14, 3	eqeltrrd 2309	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
16	1, 2, 15, 4	seqf 10772	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆)
17	16	ffnd 5490	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) Fn (ℤ≥‘𝑀))
18		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
19		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝜑)
20		elfzuz 10301	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑧) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
21	20	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22	19, 21, 10	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑧)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
23	3	adantlr 477	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
24	15	adantlr 477	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
25	4	adantlr 477	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
26	18, 22, 23, 24, 25	seq3fveq 10787	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑧))
27	6, 17, 26	eqfnfvd 5756	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℤcz 9523  ℤ_≥cuz 9799  ...cfz 10288  seqcseq 10755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-seqfrec 10756

This theorem is referenced by:  zsumdc  12008  fsum3cvg2  12018  isumshft  12114  geolim2  12136  cvgratz  12156  mertenslem2  12160  zproddc  12203