Theorem seq3feq 10741

Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3feq.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
seq3feq.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seq3feq.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
seq3feq.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
seq3feq	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐺))

Distinct variable groups:   + ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦   𝑘,𝐺,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3feq

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		seq3feq.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		seq3feq.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
4		seq3feq.pl	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	seqf 10725	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆)
6	5	ffnd 5483	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
7		fveq2 5639	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
8		fveq2 5639	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑥))
9	7, 8	eqeq12d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
10		seq3feq.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
11	10	ralrimiva 2605	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
12	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
13		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
14	9, 12, 13	rspcdva 2915	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
15	14, 3	eqeltrrd 2309	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
16	1, 2, 15, 4	seqf 10725	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆)
17	16	ffnd 5483	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) Fn (ℤ≥‘𝑀))
18		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
19		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝜑)
20		elfzuz 10255	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑧) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
21	20	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22	19, 21, 10	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑧)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
23	3	adantlr 477	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
24	15	adantlr 477	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
25	4	adantlr 477	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
26	18, 22, 23, 24, 25	seq3fveq 10740	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑧))
27	6, 17, 26	eqfnfvd 5747	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  ℤcz 9478  ℤ_≥cuz 9754  ...cfz 10242  seqcseq 10708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-seqfrec 10709

This theorem is referenced by:  zsumdc  11944  fsum3cvg2  11954  isumshft  12050  geolim2  12072  cvgratz  12092  mertenslem2  12096  zproddc  12139