Theorem setsvtx 15931

Description: The vertices of a structure with a base set and an inserted resp. replaced slot for the edge function. (Contributed by AV, 18-Jan-2020.) (Revised by AV, 16-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsvtx.i	⊢ 𝐼 = (.ef‘ndx)
setsvtx.s	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
setsvtx.b	⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
setsvtx.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
setsvtx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘𝐺))

Proof of Theorem setsvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsvtx.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
2		structex 13117	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
4		setsvtx.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (.ef‘ndx)
5		edgfndxnn 15888	. . . . . 6 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
6	4, 5	eqeltri 2303	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
8		setsvtx.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
9		setsex 13137	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V)
10	3, 7, 8, 9	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V)
11	1, 7, 8	setsn0fun 13142	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
12	4	eqcomi 2234	. . . . 5 ⊢ (.ef‘ndx) = 𝐼
13	12	preq2i 3753	. . . 4 ⊢ {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} = {(Base‘ndx), 𝐼}
14		setsvtx.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
15	1, 7, 8, 14	bassetsnn 13162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(Base‘ndx), 𝐼} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
16	13, 15	eqsstrid 3272	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
17		funvtxvalg 15916	. . 3 ⊢ (((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V ∧ Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)))
18	10, 11, 16, 17	syl3anc 1273	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)))
19		baseslid 13163	. . . 4 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
20		basendxnedgfndx 15891	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
21	20, 4	neeqtrri 2430	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ≠ 𝐼
22	19, 21, 6	setsslnid 13157	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (Base‘𝐺) = (Base‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)))
23	3, 8, 22	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)))
24	18, 23	eqtr4d 2266	1 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  Vcvv 2801   ∖ cdif 3196   ⊆ wss 3199  ∅c0 3493  {csn 3670  {cpr 3671  ⟨cop 3673   class class class wbr 4089  dom cdm 4727  Fun wfun 5322  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  ℕcn 9148   Struct cstr 13101  ndxcnx 13102   sSet csts 13103  Basecbs 13105  .efcedgf 15884  Vtxcvtx 15892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-suc 4470  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-1o 6587  df-2o 6588  df-en 6915  df-dom 6916  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-dec 9617  df-struct 13107  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-edgf 15885  df-vtx 15894

This theorem is referenced by:  usgrstrrepeen  16111