Theorem setsvtx 16175

Description: The vertices of a structure with a base set and an inserted resp. replaced slot for the edge function. (Contributed by AV, 18-Jan-2020.) (Revised by AV, 16-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsvtx.i	⊢ 𝐼 = (.ef‘ndx)
setsvtx.s	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
setsvtx.b	⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
setsvtx.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
setsvtx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘𝐺))

Proof of Theorem setsvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsvtx.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
2		structex 13311	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
4		setsvtx.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (.ef‘ndx)
5		edgfndxnn 16132	. . . . . 6 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
6	4, 5	eqeltri 2307	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
8		setsvtx.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
9		setsex 13331	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V)
10	3, 7, 8, 9	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V)
11	1, 7, 8	setsn0fun 13336	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
12	4	eqcomi 2238	. . . . 5 ⊢ (.ef‘ndx) = 𝐼
13	12	preq2i 3777	. . . 4 ⊢ {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} = {(Base‘ndx), 𝐼}
14		setsvtx.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
15	1, 7, 8, 14	bassetsnn 13356	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(Base‘ndx), 𝐼} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
16	13, 15	eqsstrid 3288	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
17		funvtxvalg 16160	. . 3 ⊢ (((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V ∧ Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)))
18	10, 11, 16, 17	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)))
19		baseslid 13357	. . . 4 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
20		basendxnedgfndx 16135	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
21	20, 4	neeqtrri 2443	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ≠ 𝐼
22	19, 21, 6	setsslnid 13351	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (Base‘𝐺) = (Base‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)))
23	3, 8, 22	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)))
24	18, 23	eqtr4d 2270	1 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ∖ cdif 3211   ⊆ wss 3214  ∅c0 3512  {csn 3694  {cpr 3695  ⟨cop 3697   class class class wbr 4114  dom cdm 4754  Fun wfun 5351  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℕcn 9257   Struct cstr 13295  ndxcnx 13296   sSet csts 13297  Basecbs 13299  .efcedgf 16128  Vtxcvtx 16136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-1o 6660  df-2o 6661  df-en 6989  df-dom 6990  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-z 9598  df-dec 9731  df-struct 13301  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-sets 13306  df-edgf 16129  df-vtx 16138

This theorem is referenced by:  usgrstrrepeen  16355