Theorem setsvtx 16275

Description: The vertices of a structure with a base set and an inserted resp. replaced slot for the edge function. (Contributed by AV, 18-Jan-2020.) (Revised by AV, 16-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsvtx.i	⊢ 𝐼 = (.ef‘ndx)
setsvtx.s	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
setsvtx.b	⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
setsvtx.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
setsvtx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘𝐺))

Proof of Theorem setsvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsvtx.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
2		structex 13347	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
4		setsvtx.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (.ef‘ndx)
5		edgfndxnn 16232	. . . . . 6 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
6	4, 5	eqeltri 2311	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
8		setsvtx.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
9		setsex 13367	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V)
10	3, 7, 8, 9	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V)
11	1, 7, 8	setsn0fun 13372	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
12	4	eqcomi 2242	. . . . 5 ⊢ (.ef‘ndx) = 𝐼
13	12	preq2i 3791	. . . 4 ⊢ {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} = {(Base‘ndx), 𝐼}
14		setsvtx.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
15	1, 7, 8, 14	bassetsnn 13392	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(Base‘ndx), 𝐼} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
16	13, 15	eqsstrid 3294	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
17		funvtxvalg 16260	. . 3 ⊢ (((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V ∧ Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)))
18	10, 11, 16, 17	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)))
19		baseslid 13393	. . . 4 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
20		basendxnedgfndx 16235	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
21	20, 4	neeqtrri 2449	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ≠ 𝐼
22	19, 21, 6	setsslnid 13387	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (Base‘𝐺) = (Base‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)))
23	3, 8, 22	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)))
24	18, 23	eqtr4d 2274	1 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3708  {cpr 3709  ⟨cop 3711   class class class wbr 4128  dom cdm 4772  Fun wfun 5369  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℕcn 9287   Struct cstr 13331  ndxcnx 13332   sSet csts 13333  Basecbs 13335  .efcedgf 16228  Vtxcvtx 16236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-1o 6681  df-2o 6682  df-en 7017  df-dom 7018  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-struct 13337  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-edgf 16229  df-vtx 16238

This theorem is referenced by:  usgrstrrepeen  16455