Theorem dvconst 14003

Description: Derivative of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dvconst	|- ( A e. CC -> ( CC _D ( CC X. { A } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )

Proof of Theorem dvconst

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 5411	. 2 |- ( A e. CC -> ( CC X. { A } ) : CC --> CC )
2		simpr2 1004	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> z e. CC )
3		fvconst2g 5727	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( CC X. { A } ) ` z ) = A )
4	2, 3	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> ( ( CC X. { A } ) ` z ) = A )
5		fvconst2g 5727	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( CC X. { A } ) ` x ) = A )
6	5	3ad2antr1 1162	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> ( ( CC X. { A } ) ` x ) = A )
7	4, 6	oveq12d 5888	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> ( ( ( CC X. { A } ) ` z ) - ( ( CC X. { A } ) ` x ) ) = ( A - A ) )
8		subid 8170	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A - A ) = 0 )
9	8	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> ( A - A ) = 0 )
10	7, 9	eqtrd 2210	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> ( ( ( CC X. { A } ) ` z ) - ( ( CC X. { A } ) ` x ) ) = 0 )
11	10	oveq1d 5885	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> ( ( ( ( CC X. { A } ) ` z ) - ( ( CC X. { A } ) ` x ) ) / ( z - x ) ) = ( 0 / ( z - x ) ) )
12		simpr1 1003	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> x e. CC )
13	2, 12	subcld 8262	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> ( z - x ) e. CC )
14		simpr3 1005	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> z # x )
15	2, 12, 14	subap0d 8595	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> ( z - x ) # 0 )
16	13, 15	div0apd 8738	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> ( 0 / ( z - x ) ) = 0 )
17	11, 16	eqtrd 2210	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> ( ( ( ( CC X. { A } ) ` z ) - ( ( CC X. { A } ) ` x ) ) / ( z - x ) ) = 0 )
18		0cn 7944	. 2 |- 0 e. CC
19	1, 17, 18	dvidlemap 14002	1 |- ( A e. CC -> ( CC _D ( CC X. { A } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   {csn 3592   class class class wbr 4001   X. cxp 4622   ` cfv 5213  (class class class)co 5870   CCcc 7804   0cc0 7806   - cmin 8122   # cap 8532   / cdiv 8623   _D cdv 13966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4116  ax-sep 4119  ax-nul 4127  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-iinf 4585  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898  ax-1cn 7899  ax-1re 7900  ax-icn 7901  ax-addcl 7902  ax-addrcl 7903  ax-mulcl 7904  ax-mulrcl 7905  ax-addcom 7906  ax-mulcom 7907  ax-addass 7908  ax-mulass 7909  ax-distr 7910  ax-i2m1 7911  ax-0lt1 7912  ax-1rid 7913  ax-0id 7914  ax-rnegex 7915  ax-precex 7916  ax-cnre 7917  ax-pre-ltirr 7918  ax-pre-ltwlin 7919  ax-pre-lttrn 7920  ax-pre-apti 7921  ax-pre-ltadd 7922  ax-pre-mulgt0 7923  ax-pre-mulext 7924  ax-arch 7925  ax-caucvg 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-int 3844  df-iun 3887  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-tr 4100  df-id 4291  df-po 4294  df-iso 4295  df-iord 4364  df-on 4366  df-ilim 4367  df-suc 4369  df-iom 4588  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-f1 5218  df-fo 5219  df-f1o 5220  df-fv 5221  df-isom 5222  df-riota 5826  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-1st 6136  df-2nd 6137  df-recs 6301  df-frec 6387  df-map 6645  df-pm 6646  df-sup 6978  df-inf 6979  df-pnf 7988  df-mnf 7989  df-xr 7990  df-ltxr 7991  df-le 7992  df-sub 8124  df-neg 8125  df-reap 8526  df-ap 8533  df-div 8624  df-inn 8914  df-2 8972  df-3 8973  df-4 8974  df-n0 9171  df-z 9248  df-uz 9523  df-q 9614  df-rp 9648  df-xneg 9766  df-xadd 9767  df-seqfrec 10439  df-exp 10513  df-cj 10842  df-re 10843  df-im 10844  df-rsqrt 10998  df-abs 10999  df-rest 12676  df-topgen 12695  df-psmet 13287  df-xmet 13288  df-met 13289  df-bl 13290  df-mopn 13291  df-top 13338  df-topon 13351  df-bases 13383  df-ntr 13438  df-cn 13530  df-cnp 13531  df-cncf 13900  df-limced 13967  df-dvap 13968

This theorem is referenced by:  dvexp2  14018  dvmptccn  14021  dvef  14030