Theorem dvconst 13103

Description: Derivative of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dvconst	|- ( A e. CC -> ( CC _D ( CC X. { A } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )

Proof of Theorem dvconst

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 5369	. 2 |- ( A e. CC -> ( CC X. { A } ) : CC --> CC )
2		simpr2 989	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> z e. CC )
3		fvconst2g 5682	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( CC X. { A } ) ` z ) = A )
4	2, 3	syldan 280	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> ( ( CC X. { A } ) ` z ) = A )
5		fvconst2g 5682	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( CC X. { A } ) ` x ) = A )
6	5	3ad2antr1 1147	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> ( ( CC X. { A } ) ` x ) = A )
7	4, 6	oveq12d 5843	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> ( ( ( CC X. { A } ) ` z ) - ( ( CC X. { A } ) ` x ) ) = ( A - A ) )
8		subid 8095	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A - A ) = 0 )
9	8	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> ( A - A ) = 0 )
10	7, 9	eqtrd 2190	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> ( ( ( CC X. { A } ) ` z ) - ( ( CC X. { A } ) ` x ) ) = 0 )
11	10	oveq1d 5840	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> ( ( ( ( CC X. { A } ) ` z ) - ( ( CC X. { A } ) ` x ) ) / ( z - x ) ) = ( 0 / ( z - x ) ) )
12		simpr1 988	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> x e. CC )
13	2, 12	subcld 8187	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> ( z - x ) e. CC )
14		simpr3 990	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> z # x )
15	2, 12, 14	subap0d 8520	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> ( z - x ) # 0 )
16	13, 15	div0apd 8661	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> ( 0 / ( z - x ) ) = 0 )
17	11, 16	eqtrd 2190	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ z e. CC /\ z # x ) ) -> ( ( ( ( CC X. { A } ) ` z ) - ( ( CC X. { A } ) ` x ) ) / ( z - x ) ) = 0 )
18		0cn 7871	. 2 |- 0 e. CC
19	1, 17, 18	dvidlemap 13102	1 |- ( A e. CC -> ( CC _D ( CC X. { A } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   {csn 3560   class class class wbr 3966   X. cxp 4585   ` cfv 5171  (class class class)co 5825   CCcc 7731   0cc0 7733   - cmin 8047   # cap 8457   / cdiv 8546   _D cdv 13066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-isom 5180  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-frec 6339  df-map 6596  df-pm 6597  df-sup 6929  df-inf 6930  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-q 9530  df-rp 9562  df-xneg 9680  df-xadd 9681  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903  df-rest 12395  df-topgen 12414  df-psmet 12429  df-xmet 12430  df-met 12431  df-bl 12432  df-mopn 12433  df-top 12438  df-topon 12451  df-bases 12483  df-ntr 12538  df-cn 12630  df-cnp 12631  df-cncf 13000  df-limced 13067  df-dvap 13068

This theorem is referenced by:  dvexp2  13118  dvmptccn  13121  dvef  13130