ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvid Unicode version

Theorem dvid 12820
Description: Derivative of the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
dvid  |-  ( CC 
_D  (  _I  |`  CC ) )  =  ( CC 
X.  { 1 } )

Proof of Theorem dvid
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 5398 . . . 4  |-  (  _I  |`  CC ) : CC -1-1-onto-> CC
2 f1of 5360 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  CC ) : CC -1-1-onto-> CC  ->  (  _I  |`  CC ) : CC --> CC )
31, 2mp1i 10 . . 3  |-  ( T. 
->  (  _I  |`  CC ) : CC --> CC )
4 simp2 982 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z #  x )  ->  z  e.  CC )
5 simp1 981 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z #  x )  ->  x  e.  CC )
64, 5subcld 8066 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z #  x )  ->  (
z  -  x )  e.  CC )
7 simp3 983 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z #  x )  ->  z #  x )
84, 5, 7subap0d 8399 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z #  x )  ->  (
z  -  x ) #  0 )
9 fvresi 5606 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  CC  ->  (
(  _I  |`  CC ) `
 z )  =  z )
10 fvresi 5606 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
(  _I  |`  CC ) `
 x )  =  x )
119, 10oveqan12rd 5787 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( (  _I  |`  CC ) `  z
)  -  ( (  _I  |`  CC ) `  x ) )  =  ( z  -  x
) )
12113adant3 1001 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z #  x )  ->  (
( (  _I  |`  CC ) `
 z )  -  ( (  _I  |`  CC ) `
 x ) )  =  ( z  -  x ) )
136, 8, 12diveqap1bd 8588 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z #  x )  ->  (
( ( (  _I  |`  CC ) `  z
)  -  ( (  _I  |`  CC ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) )  =  1 )
1413adantl 275 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z #  x ) )  ->  (
( ( (  _I  |`  CC ) `  z
)  -  ( (  _I  |`  CC ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) )  =  1 )
15 ax-1cn 7706 . . 3  |-  1  e.  CC
163, 14, 15dvidlemap 12818 . 2  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  =  ( CC  X.  { 1 } ) )
1716mptru 1340 1  |-  ( CC 
_D  (  _I  |`  CC ) )  =  ( CC 
X.  { 1 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ w3a 962    = wceq 1331   T. wtru 1332    e. wcel 1480   {csn 3522   class class class wbr 3924    _I cid 4205    X. cxp 4532    |` cres 4536   -->wf 5114   -1-1-onto->wf1o 5117   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   CCcc 7611   1c1 7614    - cmin 7926   # cap 8336    / cdiv 8425    _D cdv 12782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-map 6537  df-pm 6538  df-sup 6864  df-inf 6865  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-xneg 9552  df-xadd 9553  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-rest 12111  df-topgen 12130  df-psmet 12145  df-xmet 12146  df-met 12147  df-bl 12148  df-mopn 12149  df-top 12154  df-topon 12167  df-bases 12199  df-ntr 12254  df-cn 12346  df-cnp 12347  df-cncf 12716  df-limced 12783  df-dvap 12784
This theorem is referenced by:  dvexp  12833  dvmptidcn  12836
  Copyright terms: Public domain W3C validator