Theorem tanaddap 11702

Description: Addition formula for tangent. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanaddap	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` ( A + B ) ) = ( ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) / ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) )

Proof of Theorem tanaddap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 7899	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
2	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( A + B ) e. CC )
3		simpr3 1000	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` ( A + B ) ) # 0 )
4		tanvalap 11671	. . 3 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) -> ( tan ` ( A + B ) ) = ( ( sin ` ( A + B ) ) / ( cos ` ( A + B ) ) ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 409	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` ( A + B ) ) = ( ( sin ` ( A + B ) ) / ( cos ` ( A + B ) ) ) )
6		sinadd 11699	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
7	6	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
8		cosadd 11700	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( A + B ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
9	8	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` ( A + B ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
10	7, 9	oveq12d 5871	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( sin ` ( A + B ) ) / ( cos ` ( A + B ) ) ) = ( ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) / ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) ) )
11		simpll 524	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> A e. CC )
12	11	coscld 11674	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` A ) e. CC )
13		simplr 525	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> B e. CC )
14	13	coscld 11674	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` B ) e. CC )
15	12, 14	mulcld 7940	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC )
16		simpr1 998	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` A ) # 0 )
17	11, 16	tanclapd 11675	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` A ) e. CC )
18		simpr2 999	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` B ) # 0 )
19	13, 18	tanclapd 11675	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` B ) e. CC )
20	15, 17, 19	adddid 7944	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` A ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` B ) ) ) )
21	12, 14, 17	mul32d 8072	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` A ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) x. ( cos ` B ) ) )
22		tanvalap 11671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
23	11, 16, 22	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
24	23	oveq2d 5869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) = ( ( cos ` A ) x. ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) ) )
25	11	sincld 11673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( sin ` A ) e. CC )
26	25, 12, 16	divcanap2d 8709	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) ) = ( sin ` A ) )
27	24, 26	eqtrd 2203	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) = ( sin ` A ) )
28	27	oveq1d 5868	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) x. ( cos ` B ) ) = ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) )
29	21, 28	eqtrd 2203	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` A ) ) = ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) )
30	12, 14, 19	mulassd 7943	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` B ) ) = ( ( cos ` A ) x. ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) ) )
31		tanvalap 11671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CC /\ ( cos ` B ) # 0 ) -> ( tan ` B ) = ( ( sin ` B ) / ( cos ` B ) ) )
32	13, 18, 31	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` B ) = ( ( sin ` B ) / ( cos ` B ) ) )
33	32	oveq2d 5869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) = ( ( cos ` B ) x. ( ( sin ` B ) / ( cos ` B ) ) ) )
34	13	sincld 11673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( sin ` B ) e. CC )
35	34, 14, 18	divcanap2d 8709	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` B ) x. ( ( sin ` B ) / ( cos ` B ) ) ) = ( sin ` B ) )
36	33, 35	eqtrd 2203	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) = ( sin ` B ) )
37	36	oveq2d 5869	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) ) = ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
38	30, 37	eqtrd 2203	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` B ) ) = ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
39	29, 38	oveq12d 5871	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` A ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` B ) ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
40	20, 39	eqtrd 2203	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
41		1cnd 7936	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> 1 e. CC )
42	17, 19	mulcld 7940	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) e. CC )
43	15, 41, 42	subdid 8333	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. 1 ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) )
44	15	mulid1d 7937	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. 1 ) = ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) )
45	12, 14, 17, 19	mul4d 8074	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) x. ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) ) )
46	27, 36	oveq12d 5871	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) x. ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) ) = ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
47	45, 46	eqtrd 2203	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) = ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
48	44, 47	oveq12d 5871	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. 1 ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
49	43, 48	eqtrd 2203	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
50	40, 49	oveq12d 5871	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) ) / ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) ) = ( ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) / ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) ) )
51	17, 19	addcld 7939	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) e. CC )
52		ax-1cn 7867	. . . . 5 |- 1 e. CC
53		subcl 8118	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) e. CC ) -> ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) e. CC )
54	52, 42, 53	sylancr 412	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) e. CC )
55		tanaddaplem 11701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` ( A + B ) ) # 0 <-> ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) # 1 ) )
56	55	3adantr3 1153	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` ( A + B ) ) # 0 <-> ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) # 1 ) )
57	3, 56	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) # 1 )
58		apsym 8525	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) # 1 <-> 1 # ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) )
59	42, 41, 58	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) # 1 <-> 1 # ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) )
60	57, 59	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> 1 # ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) )
61	41, 42, 60	subap0d 8563	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) # 0 )
62	12, 14, 16, 18	mulap0d 8576	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) # 0 )
63	51, 54, 15, 61, 62	divcanap5d 8734	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) ) / ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) ) = ( ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) / ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) )
64	10, 50, 63	3eqtr2d 2209	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( sin ` ( A + B ) ) / ( cos ` ( A + B ) ) ) = ( ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) / ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) )
65	5, 64	eqtrd 2203	1 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` ( A + B ) ) = ( ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) / ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   - cmin 8090   # cap 8500   / cdiv 8589   sincsin 11607   cosccos 11608   tanctan 11609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-ico 9851  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-bc 10682  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317  df-ef 11611  df-sin 11613  df-cos 11614  df-tan 11615

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