Theorem tanaddap 12165

Description: Addition formula for tangent. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanaddap	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` ( A + B ) ) = ( ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) / ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) )

Proof of Theorem tanaddap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 8085	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( A + B ) e. CC )
3		simpr3 1008	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` ( A + B ) ) # 0 )
4		tanvalap 12134	. . 3 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) -> ( tan ` ( A + B ) ) = ( ( sin ` ( A + B ) ) / ( cos ` ( A + B ) ) ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` ( A + B ) ) = ( ( sin ` ( A + B ) ) / ( cos ` ( A + B ) ) ) )
6		sinadd 12162	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
8		cosadd 12163	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( A + B ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
9	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` ( A + B ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
10	7, 9	oveq12d 5985	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( sin ` ( A + B ) ) / ( cos ` ( A + B ) ) ) = ( ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) / ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) ) )
11		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> A e. CC )
12	11	coscld 12137	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` A ) e. CC )
13		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> B e. CC )
14	13	coscld 12137	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` B ) e. CC )
15	12, 14	mulcld 8128	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC )
16		simpr1 1006	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` A ) # 0 )
17	11, 16	tanclapd 12138	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` A ) e. CC )
18		simpr2 1007	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` B ) # 0 )
19	13, 18	tanclapd 12138	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` B ) e. CC )
20	15, 17, 19	adddid 8132	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` A ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` B ) ) ) )
21	12, 14, 17	mul32d 8260	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` A ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) x. ( cos ` B ) ) )
22		tanvalap 12134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
23	11, 16, 22	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
24	23	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) = ( ( cos ` A ) x. ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) ) )
25	11	sincld 12136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( sin ` A ) e. CC )
26	25, 12, 16	divcanap2d 8900	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) ) = ( sin ` A ) )
27	24, 26	eqtrd 2240	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) = ( sin ` A ) )
28	27	oveq1d 5982	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) x. ( cos ` B ) ) = ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) )
29	21, 28	eqtrd 2240	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` A ) ) = ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) )
30	12, 14, 19	mulassd 8131	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` B ) ) = ( ( cos ` A ) x. ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) ) )
31		tanvalap 12134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CC /\ ( cos ` B ) # 0 ) -> ( tan ` B ) = ( ( sin ` B ) / ( cos ` B ) ) )
32	13, 18, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` B ) = ( ( sin ` B ) / ( cos ` B ) ) )
33	32	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) = ( ( cos ` B ) x. ( ( sin ` B ) / ( cos ` B ) ) ) )
34	13	sincld 12136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( sin ` B ) e. CC )
35	34, 14, 18	divcanap2d 8900	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` B ) x. ( ( sin ` B ) / ( cos ` B ) ) ) = ( sin ` B ) )
36	33, 35	eqtrd 2240	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) = ( sin ` B ) )
37	36	oveq2d 5983	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) ) = ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
38	30, 37	eqtrd 2240	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` B ) ) = ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
39	29, 38	oveq12d 5985	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` A ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` B ) ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
40	20, 39	eqtrd 2240	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
41		1cnd 8123	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> 1 e. CC )
42	17, 19	mulcld 8128	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) e. CC )
43	15, 41, 42	subdid 8521	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. 1 ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) )
44	15	mulridd 8124	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. 1 ) = ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) )
45	12, 14, 17, 19	mul4d 8262	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) x. ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) ) )
46	27, 36	oveq12d 5985	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) x. ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) ) = ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
47	45, 46	eqtrd 2240	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) = ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
48	44, 47	oveq12d 5985	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. 1 ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
49	43, 48	eqtrd 2240	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
50	40, 49	oveq12d 5985	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) ) / ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) ) = ( ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) / ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) ) )
51	17, 19	addcld 8127	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) e. CC )
52		ax-1cn 8053	. . . . 5 |- 1 e. CC
53		subcl 8306	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) e. CC ) -> ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) e. CC )
54	52, 42, 53	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) e. CC )
55		tanaddaplem 12164	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` ( A + B ) ) # 0 <-> ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) # 1 ) )
56	55	3adantr3 1161	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` ( A + B ) ) # 0 <-> ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) # 1 ) )
57	3, 56	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) # 1 )
58		apsym 8714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) # 1 <-> 1 # ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) )
59	42, 41, 58	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) # 1 <-> 1 # ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) )
60	57, 59	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> 1 # ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) )
61	41, 42, 60	subap0d 8752	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) # 0 )
62	12, 14, 16, 18	mulap0d 8766	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) # 0 )
63	51, 54, 15, 61, 62	divcanap5d 8925	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) ) / ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) ) = ( ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) / ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) )
64	10, 50, 63	3eqtr2d 2246	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( sin ` ( A + B ) ) / ( cos ` ( A + B ) ) ) = ( ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) / ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) )
65	5, 64	eqtrd 2240	1 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` ( A + B ) ) = ( ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) / ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   CCcc 7958   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   x. cmul 7965   - cmin 8278   # cap 8689   / cdiv 8780   sincsin 12070   cosccos 12071   tanctan 12072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-disj 4036  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-sup 7112  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-ico 10051  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-fac 10908  df-bc 10930  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-sumdc 11780  df-ef 12074  df-sin 12076  df-cos 12077  df-tan 12078

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