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Theorem tanaddap 11718
Description: Addition formula for tangent. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanaddap  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( tan `  ( A  +  B ) )  =  ( ( ( tan `  A )  +  ( tan `  B ) )  /  ( 1  -  ( ( tan `  A )  x.  ( tan `  B ) ) ) ) )

Proof of Theorem tanaddap
StepHypRef Expression
1 addcl 7914 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
21adantr 276 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( A  +  B )  e.  CC )
3 simpr3 1005 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 )
4 tanvalap 11687 . . 3  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 )  ->  ( tan `  ( A  +  B ) )  =  ( ( sin `  ( A  +  B )
)  /  ( cos `  ( A  +  B
) ) ) )
52, 3, 4syl2anc 411 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( tan `  ( A  +  B ) )  =  ( ( sin `  ( A  +  B )
)  /  ( cos `  ( A  +  B
) ) ) )
6 sinadd 11715 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
76adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( sin `  ( A  +  B ) )  =  ( ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) ) ) )
8 cosadd 11716 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  -  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
98adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( cos `  ( A  +  B ) )  =  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) ) )
107, 9oveq12d 5886 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( sin `  ( A  +  B )
)  /  ( cos `  ( A  +  B
) ) )  =  ( ( ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B
) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) )  /  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B
) )  -  (
( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) ) )
11 simpll 527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  A  e.  CC )
1211coscld 11690 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
13 simplr 528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  B  e.  CC )
1413coscld 11690 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( cos `  B )  e.  CC )
1512, 14mulcld 7955 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC )
16 simpr1 1003 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( cos `  A ) #  0 )
1711, 16tanclapd 11691 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( tan `  A )  e.  CC )
18 simpr2 1004 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( cos `  B ) #  0 )
1913, 18tanclapd 11691 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( tan `  B )  e.  CC )
2015, 17, 19adddid 7959 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( ( tan `  A
)  +  ( tan `  B ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( tan `  A
) )  +  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( tan `  B
) ) ) )
2112, 14, 17mul32d 8087 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( tan `  A
) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( tan `  A ) )  x.  ( cos `  B
) ) )
22 tanvalap 11687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A ) #  0 )  ->  ( tan `  A )  =  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) )
2311, 16, 22syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( tan `  A )  =  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) )
2423oveq2d 5884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( cos `  A
)  x.  ( tan `  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  x.  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) ) )
2511sincld 11689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
2625, 12, 16divcanap2d 8725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( cos `  A
)  x.  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) )  =  ( sin `  A
) )
2724, 26eqtrd 2210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( cos `  A
)  x.  ( tan `  A ) )  =  ( sin `  A
) )
2827oveq1d 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( tan `  A ) )  x.  ( cos `  B
) )  =  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )
2921, 28eqtrd 2210 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( tan `  A
) )  =  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )
3012, 14, 19mulassd 7958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( tan `  B
) )  =  ( ( cos `  A
)  x.  ( ( cos `  B )  x.  ( tan `  B
) ) ) )
31 tanvalap 11687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( cos `  B ) #  0 )  ->  ( tan `  B )  =  ( ( sin `  B
)  /  ( cos `  B ) ) )
3213, 18, 31syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( tan `  B )  =  ( ( sin `  B
)  /  ( cos `  B ) ) )
3332oveq2d 5884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( cos `  B
)  x.  ( tan `  B ) )  =  ( ( cos `  B
)  x.  ( ( sin `  B )  /  ( cos `  B
) ) ) )
3413sincld 11689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( sin `  B )  e.  CC )
3534, 14, 18divcanap2d 8725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( cos `  B
)  x.  ( ( sin `  B )  /  ( cos `  B
) ) )  =  ( sin `  B
) )
3633, 35eqtrd 2210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( cos `  B
)  x.  ( tan `  B ) )  =  ( sin `  B
) )
3736oveq2d 5884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( cos `  A
)  x.  ( ( cos `  B )  x.  ( tan `  B
) ) )  =  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) )
3830, 37eqtrd 2210 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( tan `  B
) )  =  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) )
3929, 38oveq12d 5886 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( tan `  A
) )  +  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( tan `  B
) ) )  =  ( ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) ) ) )
4020, 39eqtrd 2210 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( ( tan `  A
)  +  ( tan `  B ) ) )  =  ( ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B
) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
41 1cnd 7951 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  1  e.  CC )
4217, 19mulcld 7955 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) )  e.  CC )
4315, 41, 42subdid 8348 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( 1  -  (
( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  1 )  -  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( ( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) ) ) )
4415mulid1d 7952 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  1 )  =  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )
4512, 14, 17, 19mul4d 8089 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( ( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  x.  ( tan `  A
) )  x.  (
( cos `  B
)  x.  ( tan `  B ) ) ) )
4627, 36oveq12d 5886 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( tan `  A ) )  x.  ( ( cos `  B
)  x.  ( tan `  B ) ) )  =  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )
4745, 46eqtrd 2210 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( ( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) )  =  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )
4844, 47oveq12d 5886 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  x.  1 )  -  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( ( tan `  A )  x.  ( tan `  B ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  -  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
4943, 48eqtrd 2210 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( 1  -  (
( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  -  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
5040, 49oveq12d 5886 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( ( tan `  A )  +  ( tan `  B ) ) )  /  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( 1  -  (
( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )  /  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  -  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) ) )
5117, 19addcld 7954 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( tan `  A
)  +  ( tan `  B ) )  e.  CC )
52 ax-1cn 7882 . . . . 5  |-  1  e.  CC
53 subcl 8133 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) )  e.  CC )  ->  (
1  -  ( ( tan `  A )  x.  ( tan `  B
) ) )  e.  CC )
5452, 42, 53sylancr 414 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
1  -  ( ( tan `  A )  x.  ( tan `  B
) ) )  e.  CC )
55 tanaddaplem 11717 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0 ) )  ->  ( ( cos `  ( A  +  B
) ) #  0  <->  (
( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) #  1 ) )
56553adantr3 1158 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( cos `  ( A  +  B )
) #  0  <->  ( ( tan `  A )  x.  ( tan `  B
) ) #  1 ) )
573, 56mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) #  1 )
58 apsym 8540 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) #  1  <->  1 #  ( ( tan `  A )  x.  ( tan `  B ) ) ) )
5942, 41, 58syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) #  1  <->  1 #  ( ( tan `  A )  x.  ( tan `  B ) ) ) )
6057, 59mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  1 #  ( ( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) )
6141, 42, 60subap0d 8578 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
1  -  ( ( tan `  A )  x.  ( tan `  B
) ) ) #  0 )
6212, 14, 16, 18mulap0d 8591 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) #  0 )
6351, 54, 15, 61, 62divcanap5d 8750 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( ( tan `  A )  +  ( tan `  B ) ) )  /  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( 1  -  (
( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) ) ) )  =  ( ( ( tan `  A
)  +  ( tan `  B ) )  / 
( 1  -  (
( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) ) ) )
6410, 50, 633eqtr2d 2216 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( sin `  ( A  +  B )
)  /  ( cos `  ( A  +  B
) ) )  =  ( ( ( tan `  A )  +  ( tan `  B ) )  /  ( 1  -  ( ( tan `  A )  x.  ( tan `  B ) ) ) ) )
655, 64eqtrd 2210 1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( tan `  ( A  +  B ) )  =  ( ( ( tan `  A )  +  ( tan `  B ) )  /  ( 1  -  ( ( tan `  A )  x.  ( tan `  B ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4000   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   CCcc 7787   0cc0 7789   1c1 7790    + caddc 7792    x. cmul 7794    - cmin 8105   # cap 8515    / cdiv 8605   sincsin 11623   cosccos 11624   tanctan 11625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-disj 3978  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-isom 5220  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-irdg 6364  df-frec 6385  df-1o 6410  df-oadd 6414  df-er 6528  df-en 6734  df-dom 6735  df-fin 6736  df-sup 6976  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-q 9596  df-rp 9628  df-ico 9868  df-fz 9983  df-fzo 10116  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-fac 10677  df-bc 10699  df-ihash 10727  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979  df-clim 11258  df-sumdc 11333  df-ef 11627  df-sin 11629  df-cos 11630  df-tan 11631
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