Theorem tanaddap 12429

Description: Addition formula for tangent. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanaddap	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` ( A + B ) ) = ( ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) / ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) )

Proof of Theorem tanaddap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 8254	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( A + B ) e. CC )
3		simpr3 1032	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` ( A + B ) ) # 0 )
4		tanvalap 12398	. . 3 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) -> ( tan ` ( A + B ) ) = ( ( sin ` ( A + B ) ) / ( cos ` ( A + B ) ) ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` ( A + B ) ) = ( ( sin ` ( A + B ) ) / ( cos ` ( A + B ) ) ) )
6		sinadd 12426	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
8		cosadd 12427	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( A + B ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
9	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` ( A + B ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
10	7, 9	oveq12d 6070	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( sin ` ( A + B ) ) / ( cos ` ( A + B ) ) ) = ( ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) / ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) ) )
11		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> A e. CC )
12	11	coscld 12401	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` A ) e. CC )
13		simplr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> B e. CC )
14	13	coscld 12401	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` B ) e. CC )
15	12, 14	mulcld 8296	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC )
16		simpr1 1030	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` A ) # 0 )
17	11, 16	tanclapd 12402	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` A ) e. CC )
18		simpr2 1031	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` B ) # 0 )
19	13, 18	tanclapd 12402	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` B ) e. CC )
20	15, 17, 19	adddid 8300	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` A ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` B ) ) ) )
21	12, 14, 17	mul32d 8428	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` A ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) x. ( cos ` B ) ) )
22		tanvalap 12398	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
23	11, 16, 22	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
24	23	oveq2d 6068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) = ( ( cos ` A ) x. ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) ) )
25	11	sincld 12400	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( sin ` A ) e. CC )
26	25, 12, 16	divcanap2d 9068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) ) = ( sin ` A ) )
27	24, 26	eqtrd 2267	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) = ( sin ` A ) )
28	27	oveq1d 6067	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) x. ( cos ` B ) ) = ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) )
29	21, 28	eqtrd 2267	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` A ) ) = ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) )
30	12, 14, 19	mulassd 8299	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` B ) ) = ( ( cos ` A ) x. ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) ) )
31		tanvalap 12398	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CC /\ ( cos ` B ) # 0 ) -> ( tan ` B ) = ( ( sin ` B ) / ( cos ` B ) ) )
32	13, 18, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` B ) = ( ( sin ` B ) / ( cos ` B ) ) )
33	32	oveq2d 6068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) = ( ( cos ` B ) x. ( ( sin ` B ) / ( cos ` B ) ) ) )
34	13	sincld 12400	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( sin ` B ) e. CC )
35	34, 14, 18	divcanap2d 9068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` B ) x. ( ( sin ` B ) / ( cos ` B ) ) ) = ( sin ` B ) )
36	33, 35	eqtrd 2267	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) = ( sin ` B ) )
37	36	oveq2d 6068	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) ) = ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
38	30, 37	eqtrd 2267	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` B ) ) = ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
39	29, 38	oveq12d 6070	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` A ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` B ) ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
40	20, 39	eqtrd 2267	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
41		1cnd 8292	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> 1 e. CC )
42	17, 19	mulcld 8296	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) e. CC )
43	15, 41, 42	subdid 8689	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. 1 ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) )
44	15	mulridd 8293	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. 1 ) = ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) )
45	12, 14, 17, 19	mul4d 8430	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) x. ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) ) )
46	27, 36	oveq12d 6070	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) x. ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) ) = ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
47	45, 46	eqtrd 2267	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) = ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
48	44, 47	oveq12d 6070	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. 1 ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
49	43, 48	eqtrd 2267	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
50	40, 49	oveq12d 6070	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) ) / ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) ) = ( ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) / ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) ) )
51	17, 19	addcld 8295	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) e. CC )
52		ax-1cn 8222	. . . . 5 |- 1 e. CC
53		subcl 8474	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) e. CC ) -> ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) e. CC )
54	52, 42, 53	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) e. CC )
55		tanaddaplem 12428	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` ( A + B ) ) # 0 <-> ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) # 1 ) )
56	55	3adantr3 1185	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` ( A + B ) ) # 0 <-> ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) # 1 ) )
57	3, 56	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) # 1 )
58		apsym 8882	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) # 1 <-> 1 # ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) )
59	42, 41, 58	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) # 1 <-> 1 # ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) )
60	57, 59	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> 1 # ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) )
61	41, 42, 60	subap0d 8920	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) # 0 )
62	12, 14, 16, 18	mulap0d 8934	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) # 0 )
63	51, 54, 15, 61, 62	divcanap5d 9093	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) ) / ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) ) = ( ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) / ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) )
64	10, 50, 63	3eqtr2d 2273	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( sin ` ( A + B ) ) / ( cos ` ( A + B ) ) ) = ( ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) / ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) )
65	5, 64	eqtrd 2267	1 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` ( A + B ) ) = ( ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) / ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4111   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   CCcc 8127   0cc0 8129   1c1 8130   + caddc 8132   x. cmul 8134   - cmin 8446   # cap 8857   / cdiv 8948   sincsin 12334   cosccos 12335   tanctan 12336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248  ax-caucvg 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-disj 4088  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-oadd 6653  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-sup 7277  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-q 9955  df-rp 9990  df-ico 10230  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-seqfrec 10814  df-exp 10905  df-fac 11092  df-bc 11114  df-ihash 11143  df-cj 11531  df-re 11532  df-im 11533  df-rsqrt 11687  df-abs 11688  df-clim 11968  df-sumdc 12043  df-ef 12338  df-sin 12340  df-cos 12341  df-tan 12342

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