ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tanaddap Unicode version

Theorem tanaddap 11480
Description: Addition formula for tangent. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanaddap  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( tan `  ( A  +  B ) )  =  ( ( ( tan `  A )  +  ( tan `  B ) )  /  ( 1  -  ( ( tan `  A )  x.  ( tan `  B ) ) ) ) )

Proof of Theorem tanaddap
StepHypRef Expression
1 addcl 7768 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
21adantr 274 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( A  +  B )  e.  CC )
3 simpr3 990 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 )
4 tanvalap 11449 . . 3  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 )  ->  ( tan `  ( A  +  B ) )  =  ( ( sin `  ( A  +  B )
)  /  ( cos `  ( A  +  B
) ) ) )
52, 3, 4syl2anc 409 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( tan `  ( A  +  B ) )  =  ( ( sin `  ( A  +  B )
)  /  ( cos `  ( A  +  B
) ) ) )
6 sinadd 11477 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
76adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( sin `  ( A  +  B ) )  =  ( ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) ) ) )
8 cosadd 11478 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  -  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
98adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( cos `  ( A  +  B ) )  =  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) ) )
107, 9oveq12d 5799 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( sin `  ( A  +  B )
)  /  ( cos `  ( A  +  B
) ) )  =  ( ( ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B
) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) )  /  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B
) )  -  (
( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) ) )
11 simpll 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  A  e.  CC )
1211coscld 11452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
13 simplr 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  B  e.  CC )
1413coscld 11452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( cos `  B )  e.  CC )
1512, 14mulcld 7809 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC )
16 simpr1 988 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( cos `  A ) #  0 )
1711, 16tanclapd 11453 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( tan `  A )  e.  CC )
18 simpr2 989 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( cos `  B ) #  0 )
1913, 18tanclapd 11453 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( tan `  B )  e.  CC )
2015, 17, 19adddid 7813 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( ( tan `  A
)  +  ( tan `  B ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( tan `  A
) )  +  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( tan `  B
) ) ) )
2112, 14, 17mul32d 7938 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( tan `  A
) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( tan `  A ) )  x.  ( cos `  B
) ) )
22 tanvalap 11449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A ) #  0 )  ->  ( tan `  A )  =  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) )
2311, 16, 22syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( tan `  A )  =  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) )
2423oveq2d 5797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( cos `  A
)  x.  ( tan `  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  x.  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) ) )
2511sincld 11451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
2625, 12, 16divcanap2d 8575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( cos `  A
)  x.  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) )  =  ( sin `  A
) )
2724, 26eqtrd 2173 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( cos `  A
)  x.  ( tan `  A ) )  =  ( sin `  A
) )
2827oveq1d 5796 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( tan `  A ) )  x.  ( cos `  B
) )  =  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )
2921, 28eqtrd 2173 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( tan `  A
) )  =  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )
3012, 14, 19mulassd 7812 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( tan `  B
) )  =  ( ( cos `  A
)  x.  ( ( cos `  B )  x.  ( tan `  B
) ) ) )
31 tanvalap 11449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( cos `  B ) #  0 )  ->  ( tan `  B )  =  ( ( sin `  B
)  /  ( cos `  B ) ) )
3213, 18, 31syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( tan `  B )  =  ( ( sin `  B
)  /  ( cos `  B ) ) )
3332oveq2d 5797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( cos `  B
)  x.  ( tan `  B ) )  =  ( ( cos `  B
)  x.  ( ( sin `  B )  /  ( cos `  B
) ) ) )
3413sincld 11451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( sin `  B )  e.  CC )
3534, 14, 18divcanap2d 8575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( cos `  B
)  x.  ( ( sin `  B )  /  ( cos `  B
) ) )  =  ( sin `  B
) )
3633, 35eqtrd 2173 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( cos `  B
)  x.  ( tan `  B ) )  =  ( sin `  B
) )
3736oveq2d 5797 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( cos `  A
)  x.  ( ( cos `  B )  x.  ( tan `  B
) ) )  =  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) )
3830, 37eqtrd 2173 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( tan `  B
) )  =  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) )
3929, 38oveq12d 5799 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( tan `  A
) )  +  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( tan `  B
) ) )  =  ( ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) ) ) )
4020, 39eqtrd 2173 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( ( tan `  A
)  +  ( tan `  B ) ) )  =  ( ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B
) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
41 1cnd 7805 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  1  e.  CC )
4217, 19mulcld 7809 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) )  e.  CC )
4315, 41, 42subdid 8199 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( 1  -  (
( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  1 )  -  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( ( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) ) ) )
4415mulid1d 7806 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  1 )  =  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )
4512, 14, 17, 19mul4d 7940 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( ( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  x.  ( tan `  A
) )  x.  (
( cos `  B
)  x.  ( tan `  B ) ) ) )
4627, 36oveq12d 5799 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( tan `  A ) )  x.  ( ( cos `  B
)  x.  ( tan `  B ) ) )  =  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )
4745, 46eqtrd 2173 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( ( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) )  =  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )
4844, 47oveq12d 5799 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  x.  1 )  -  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( ( tan `  A )  x.  ( tan `  B ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  -  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
4943, 48eqtrd 2173 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( 1  -  (
( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  -  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
5040, 49oveq12d 5799 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( ( tan `  A )  +  ( tan `  B ) ) )  /  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( 1  -  (
( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )  /  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  -  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) ) )
5117, 19addcld 7808 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( tan `  A
)  +  ( tan `  B ) )  e.  CC )
52 ax-1cn 7736 . . . . 5  |-  1  e.  CC
53 subcl 7984 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) )  e.  CC )  ->  (
1  -  ( ( tan `  A )  x.  ( tan `  B
) ) )  e.  CC )
5452, 42, 53sylancr 411 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
1  -  ( ( tan `  A )  x.  ( tan `  B
) ) )  e.  CC )
55 tanaddaplem 11479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0 ) )  ->  ( ( cos `  ( A  +  B
) ) #  0  <->  (
( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) #  1 ) )
56553adantr3 1143 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( cos `  ( A  +  B )
) #  0  <->  ( ( tan `  A )  x.  ( tan `  B
) ) #  1 ) )
573, 56mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) #  1 )
58 apsym 8391 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) #  1  <->  1 #  ( ( tan `  A )  x.  ( tan `  B ) ) ) )
5942, 41, 58syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) #  1  <->  1 #  ( ( tan `  A )  x.  ( tan `  B ) ) ) )
6057, 59mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  1 #  ( ( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) )
6141, 42, 60subap0d 8429 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
1  -  ( ( tan `  A )  x.  ( tan `  B
) ) ) #  0 )
6212, 14, 16, 18mulap0d 8442 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) #  0 )
6351, 54, 15, 61, 62divcanap5d 8600 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( ( tan `  A )  +  ( tan `  B ) ) )  /  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  x.  ( 1  -  (
( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) ) ) )  =  ( ( ( tan `  A
)  +  ( tan `  B ) )  / 
( 1  -  (
( tan `  A
)  x.  ( tan `  B ) ) ) ) )
6410, 50, 633eqtr2d 2179 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  (
( sin `  ( A  +  B )
)  /  ( cos `  ( A  +  B
) ) )  =  ( ( ( tan `  A )  +  ( tan `  B ) )  /  ( 1  -  ( ( tan `  A )  x.  ( tan `  B ) ) ) ) )
655, 64eqtrd 2173 1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A ) #  0  /\  ( cos `  B
) #  0  /\  ( cos `  ( A  +  B ) ) #  0 ) )  ->  ( tan `  ( A  +  B ) )  =  ( ( ( tan `  A )  +  ( tan `  B ) )  /  ( 1  -  ( ( tan `  A )  x.  ( tan `  B ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481   class class class wbr 3936   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   CCcc 7641   0cc0 7643   1c1 7644    + caddc 7646    x. cmul 7648    - cmin 7956   # cap 8366    / cdiv 8455   sincsin 11385   cosccos 11386   tanctan 11387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-disj 3914  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-isom 5139  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-irdg 6274  df-frec 6295  df-1o 6320  df-oadd 6324  df-er 6436  df-en 6642  df-dom 6643  df-fin 6644  df-sup 6878  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-ico 9706  df-fz 9821  df-fzo 9950  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-fac 10503  df-bc 10525  df-ihash 10553  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-clim 11079  df-sumdc 11154  df-ef 11389  df-sin 11391  df-cos 11392  df-tan 11393
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator