Theorem tanaddap 12484

Description: Addition formula for tangent. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanaddap	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` ( A + B ) ) = ( ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) / ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) )

Proof of Theorem tanaddap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 8294	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( A + B ) e. CC )
3		simpr3 1036	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` ( A + B ) ) # 0 )
4		tanvalap 12453	. . 3 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) -> ( tan ` ( A + B ) ) = ( ( sin ` ( A + B ) ) / ( cos ` ( A + B ) ) ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 415	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` ( A + B ) ) = ( ( sin ` ( A + B ) ) / ( cos ` ( A + B ) ) ) )
6		sinadd 12481	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
8		cosadd 12482	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( A + B ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
9	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` ( A + B ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
10	7, 9	oveq12d 6093	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( sin ` ( A + B ) ) / ( cos ` ( A + B ) ) ) = ( ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) / ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) ) )
11		simpll 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> A e. CC )
12	11	coscld 12456	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` A ) e. CC )
13		simplr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> B e. CC )
14	13	coscld 12456	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` B ) e. CC )
15	12, 14	mulcld 8336	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC )
16		simpr1 1034	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` A ) # 0 )
17	11, 16	tanclapd 12457	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` A ) e. CC )
18		simpr2 1035	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( cos ` B ) # 0 )
19	13, 18	tanclapd 12457	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` B ) e. CC )
20	15, 17, 19	adddid 8340	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` A ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` B ) ) ) )
21	12, 14, 17	mul32d 8469	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` A ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) x. ( cos ` B ) ) )
22		tanvalap 12453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
23	11, 16, 22	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
24	23	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) = ( ( cos ` A ) x. ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) ) )
25	11	sincld 12455	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( sin ` A ) e. CC )
26	25, 12, 16	divcanap2d 9112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) ) = ( sin ` A ) )
27	24, 26	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) = ( sin ` A ) )
28	27	oveq1d 6090	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) x. ( cos ` B ) ) = ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) )
29	21, 28	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` A ) ) = ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) )
30	12, 14, 19	mulassd 8339	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` B ) ) = ( ( cos ` A ) x. ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) ) )
31		tanvalap 12453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CC /\ ( cos ` B ) # 0 ) -> ( tan ` B ) = ( ( sin ` B ) / ( cos ` B ) ) )
32	13, 18, 31	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` B ) = ( ( sin ` B ) / ( cos ` B ) ) )
33	32	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) = ( ( cos ` B ) x. ( ( sin ` B ) / ( cos ` B ) ) ) )
34	13	sincld 12455	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( sin ` B ) e. CC )
35	34, 14, 18	divcanap2d 9112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` B ) x. ( ( sin ` B ) / ( cos ` B ) ) ) = ( sin ` B ) )
36	33, 35	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) = ( sin ` B ) )
37	36	oveq2d 6091	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) ) = ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
38	30, 37	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` B ) ) = ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
39	29, 38	oveq12d 6093	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` A ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( tan ` B ) ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
40	20, 39	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
41		1cnd 8332	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> 1 e. CC )
42	17, 19	mulcld 8336	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) e. CC )
43	15, 41, 42	subdid 8731	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. 1 ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) )
44	15	mulridd 8333	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. 1 ) = ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) )
45	12, 14, 17, 19	mul4d 8471	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) x. ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) ) )
46	27, 36	oveq12d 6093	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( tan ` A ) ) x. ( ( cos ` B ) x. ( tan ` B ) ) ) = ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
47	45, 46	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) = ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
48	44, 47	oveq12d 6093	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. 1 ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
49	43, 48	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
50	40, 49	oveq12d 6093	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) ) / ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) ) = ( ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) / ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) ) )
51	17, 19	addcld 8335	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) e. CC )
52		ax-1cn 8262	. . . . 5 |- 1 e. CC
53		subcl 8515	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) e. CC ) -> ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) e. CC )
54	52, 42, 53	sylancr 418	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) e. CC )
55		tanaddaplem 12483	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` ( A + B ) ) # 0 <-> ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) # 1 ) )
56	55	3adantr3 1189	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` ( A + B ) ) # 0 <-> ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) # 1 ) )
57	3, 56	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) # 1 )
58		apsym 8924	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) # 1 <-> 1 # ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) )
59	42, 41, 58	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) # 1 <-> 1 # ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) )
60	57, 59	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> 1 # ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) )
61	41, 42, 60	subap0d 8962	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) # 0 )
62	12, 14, 16, 18	mulap0d 8976	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) # 0 )
63	51, 54, 15, 61, 62	divcanap5d 9137	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) ) / ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) x. ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) ) = ( ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) / ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) )
64	10, 50, 63	3eqtr2d 2277	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( ( sin ` ( A + B ) ) / ( cos ` ( A + B ) ) ) = ( ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) / ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) )
65	5, 64	eqtrd 2271	1 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( cos ` A ) # 0 /\ ( cos ` B ) # 0 /\ ( cos ` ( A + B ) ) # 0 ) ) -> ( tan ` ( A + B ) ) = ( ( ( tan ` A ) + ( tan ` B ) ) / ( 1 - ( ( tan ` A ) x. ( tan ` B ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   - cmin 8487   # cap 8899   / cdiv 8992   sincsin 12389   cosccos 12390   tanctan 12391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-disj 4102  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-sup 7314  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-ico 10275  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-fac 11142  df-bc 11164  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098  df-ef 12393  df-sin 12395  df-cos 12396  df-tan 12397

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