Theorem telfsum2 11830

Description: Sum of a telescoping series. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
telfsum.1	⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = 𝐵)
telfsum.2	⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telfsum.3	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
telfsum.4	⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐸)
telfsum.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
telfsum.6	⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
telfsum.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
telfsum2	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐶 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)

Proof of Theorem telfsum2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		telfsum.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		fzval3 10346	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = (𝑀..^(𝑁 + 1)))
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = (𝑀..^(𝑁 + 1)))
4	3	sumeq1d 11727	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐶 − 𝐵) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^(𝑁 + 1))(𝐶 − 𝐵))
5		telfsum.1	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = 𝐵)
6		telfsum.2	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
7		telfsum.3	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
8		telfsum.4	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐸)
9		telfsum.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		telfsum.7	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
11	5, 6, 7, 8, 9, 10	telfsumo2 11828	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^(𝑁 + 1))(𝐶 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐷))
12	4, 11	eqtrd 2239	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐶 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5277  (class class class)co 5954  ℂcc 7936  1c1 7939   + caddc 7941   − cmin 8256  ℤcz 9385  ℤ_≥cuz 9661  ...cfz 10143  ..^cfzo 10277  Σcsu 11714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056  ax-arch 8057  ax-caucvg 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-isom 5286  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-irdg 6466  df-frec 6487  df-1o 6512  df-oadd 6516  df-er 6630  df-en 6838  df-dom 6839  df-fin 6840  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-n0 9309  df-z 9386  df-uz 9662  df-q 9754  df-rp 9789  df-fz 10144  df-fzo 10278  df-seqfrec 10606  df-exp 10697  df-ihash 10934  df-cj 11203  df-re 11204  df-im 11205  df-rsqrt 11359  df-abs 11360  df-clim 11640  df-sumdc 11715

This theorem is referenced by: (None)