Theorem unitinvcl 14413

Description: The inverse of a unit exists and is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitinvcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitinvcl.2	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitinvcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem unitinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitinvcl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
3		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
4	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
5		ringsrg 14335	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
6	2, 4, 5	unitgrpbasd 14405	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
7	6	eleq2d 2308	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
8	7	pm5.32i 458	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
9	1, 3	unitgrp 14406	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
10		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
11		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
12	10, 11	grpinvcl 13836	. . . 4 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))) → ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
13	9, 12	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))) → ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
14	8, 13	sylbi 121	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
15		unitinvcl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
16	15	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐼 = (invr‘𝑅))
17		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
18	2, 4, 16, 17	invrfvald 14412	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
19	18	fveq1d 5695	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼‘𝑋) = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋))
20	19, 6	eleq12d 2309	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐼‘𝑋) ∈ 𝑈 ↔ ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
21	20	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑋) ∈ 𝑈 ↔ ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
22	14, 21	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Basecbs 13335   ↾_s cress 13336  Grpcgrp 13788  inv_gcminusg 13789  mulGrpcmgp 14200  Ringcrg 14283  Unitcui 14376  inv_rcinvr 14410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-tpos 6510  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-minusg 13792  df-cmn 14072  df-abl 14073  df-mgp 14201  df-ur 14246  df-srg 14251  df-ring 14285  df-oppr 14356  df-dvdsr 14378  df-unit 14379  df-invr 14411

This theorem is referenced by:  ringinvcl  14415  dvrvald  14424  unitdvcl  14426  dvrdir  14433  rdivmuldivd  14434  rhmunitinv  14468  subrguss  14527  subrgugrp  14531