Theorem vtxduspgrfvedgfilem 16170

Description: Lemma for vtxduspgrfvedgfi 16171 and vtxdusgrfvedgfi 16172. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 5-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdushgrfvedg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
vtxduspgrfvedgfi.fi	⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin)
vtxduspgrfvedgfi.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
vtxduspgrfvedgfi.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
vtxduspgrfvedgfi.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)

Assertion

Ref	Expression
vtxduspgrfvedgfilem	⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) = (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸,𝑖   𝑒,𝐺,𝑖   𝑈,𝑒,𝑖   𝑒,𝑉,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑖)

Proof of Theorem vtxduspgrfvedgfilem

Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdushgrfvedg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2231	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3		eqid 2231	. . 3 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
4		vtxduspgrfvedgfi.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin)
5		vtxduspgrfvedgfi.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
6		vtxduspgrfvedgfi.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
7		vtxduspgrfvedgfi.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
8		uspgrupgr 16051	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	vtxedgfi 16159	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)} ∈ Fin)
11		uspgrushgr 16050	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ USHGraph)
12	7, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USHGraph)
13		vtxdushgrfvedg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
14		eqid 2231	. . . 4 ⊢ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)} = {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}
15		eleq2w 2293	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝑐 → (𝑈 ∈ 𝑒 ↔ 𝑈 ∈ 𝑐))
16	15	cbvrabv 2801	. . . 4 ⊢ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} = {𝑐 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑐}
17		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
18	13, 2, 1, 14, 16, 17	ushgredgedg 16096	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)):{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒})
19	12, 6, 18	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)):{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒})
20	10, 19	fihasheqf1od 11052	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) = (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {crab 2514   ↦ cmpt 4150  dom cdm 4725  –1-1-onto→wf1o 5325  ‘cfv 5326  Fincfn 6909  ♯chash 11038  Vtxcvtx 15882  iEdgciedg 15883  Edgcedg 15927  USHGraphcushgr 15938  UPGraphcupgr 15961  USPGraphcuspgr 16023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-ihash 11039  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-edgf 15875  df-vtx 15884  df-iedg 15885  df-edg 15928  df-uhgrm 15939  df-ushgrm 15940  df-upgren 15963  df-uspgren 16025

This theorem is referenced by:  vtxduspgrfvedgfi  16171  vtxdusgrfvedgfi  16172