Theorem vtxduspgrfvedgfilem 16224

Description: Lemma for vtxduspgrfvedgfi 16225 and vtxdusgrfvedgfi 16226. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 5-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdushgrfvedg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
vtxduspgrfvedgfi.fi	⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin)
vtxduspgrfvedgfi.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
vtxduspgrfvedgfi.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
vtxduspgrfvedgfi.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)

Assertion

Ref	Expression
vtxduspgrfvedgfilem	⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) = (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸,𝑖   𝑒,𝐺,𝑖   𝑈,𝑒,𝑖   𝑒,𝑉,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑖)

Proof of Theorem vtxduspgrfvedgfilem

Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdushgrfvedg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2231	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3		eqid 2231	. . 3 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
4		vtxduspgrfvedgfi.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin)
5		vtxduspgrfvedgfi.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
6		vtxduspgrfvedgfi.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
7		vtxduspgrfvedgfi.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
8		uspgrupgr 16105	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	vtxedgfi 16213	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)} ∈ Fin)
11		uspgrushgr 16104	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ USHGraph)
12	7, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USHGraph)
13		vtxdushgrfvedg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
14		eqid 2231	. . . 4 ⊢ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)} = {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}
15		eleq2w 2293	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝑐 → (𝑈 ∈ 𝑒 ↔ 𝑈 ∈ 𝑐))
16	15	cbvrabv 2802	. . . 4 ⊢ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} = {𝑐 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑐}
17		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
18	13, 2, 1, 14, 16, 17	ushgredgedg 16150	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)):{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒})
19	12, 6, 18	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)):{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒})
20	10, 19	fihasheqf1od 11097	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) = (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {crab 2515   ↦ cmpt 4155  dom cdm 4731  –1-1-onto→wf1o 5332  ‘cfv 5333  Fincfn 6952  ♯chash 11083  Vtxcvtx 15936  iEdgciedg 15937  Edgcedg 15981  USHGraphcushgr 15992  UPGraphcupgr 16015  USPGraphcuspgr 16077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-dec 9656  df-uz 9800  df-ihash 11084  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-edgf 15929  df-vtx 15938  df-iedg 15939  df-edg 15982  df-uhgrm 15993  df-ushgrm 15994  df-upgren 16017  df-uspgren 16079

This theorem is referenced by:  vtxduspgrfvedgfi  16225  vtxdusgrfvedgfi  16226