Theorem vtxd0nedgbfi 16058

Description: A vertex has degree 0 iff there is no edge incident with the vertex. (Contributed by AV, 24-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxd0nedgb.v	|- V = (Vtx ` G )
vtxd0nedgb.i	|- I = (iEdg ` G )
vtxd0nedgb.d	|- D = (VtxDeg ` G )
vtxd0nedgbfi.i	|- ( ph -> dom I e. Fin )
vtxd0nedgbfi.v	|- ( ph -> V e. Fin )
vtxd0nedgbfi.u	|- ( ph -> U e. V )
vtxd0nedgbfi.g	|- ( ph -> G e. UPGraph )

Assertion

Ref	Expression
vtxd0nedgbfi	|- ( ph -> ( ( D ` U ) = 0 <-> -. E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )

Distinct variable groups:   i, G   i, I   U, i   i, V

Allowed substitution hints:   ph( i)   D( i)

Proof of Theorem vtxd0nedgbfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxd0nedgb.d	. . . . 5 |- D = (VtxDeg ` G )
2	1	fveq1i 5630	. . . 4 |- ( D ` U ) = ( (VtxDeg ` G ) ` U )
3		vtxd0nedgb.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
4		vtxd0nedgb.i	. . . . 5 |- I = (iEdg ` G )
5		eqid 2229	. . . . 5 |- dom I = dom I
6		vtxd0nedgbfi.i	. . . . 5 |- ( ph -> dom I e. Fin )
7		vtxd0nedgbfi.v	. . . . 5 |- ( ph -> V e. Fin )
8		vtxd0nedgbfi.u	. . . . 5 |- ( ph -> U e. V )
9		vtxd0nedgbfi.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. UPGraph )
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	vtxdgfifival 16050	. . . 4 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) + (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) ) )
11	2, 10	eqtrid 2274	. . 3 |- ( ph -> ( D ` U ) = ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) + (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) ) )
12	11	eqeq1d 2238	. 2 |- ( ph -> ( ( D ` U ) = 0 <-> ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) + (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) ) = 0 ) )
13	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	vtxedgfi 16048	. . . . 5 |- ( ph -> { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } e. Fin )
14		hashcl 11015	. . . . 5 |- ( { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } e. Fin -> (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) e. NN0 )
15	13, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) e. NN0 )
16	15	nn0red 9434	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) e. RR )
17	15	nn0ge0d 9436	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) )
18	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	vtxlpfi 16049	. . . . 5 |- ( ph -> { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } e. Fin )
19		hashcl 11015	. . . . 5 |- ( { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } e. Fin -> (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) e. NN0 )
20	18, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) e. NN0 )
21	20	nn0red 9434	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) e. RR )
22	20	nn0ge0d 9436	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) )
23		add20 8632	. . 3 |- ( ( ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) ) /\ ( (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) ) ) -> ( ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) + (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) ) = 0 <-> ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 /\ (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 ) ) )
24	16, 17, 21, 22, 23	syl22anc 1272	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) + (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) ) = 0 <-> ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 /\ (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 ) ) )
25		fihasheq0 11027	. . . . . 6 |- ( { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } e. Fin -> ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 <-> { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } = (/) ) )
26	13, 25	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 <-> { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } = (/) ) )
27		fihasheq0 11027	. . . . . 6 |- ( { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } e. Fin -> ( (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 <-> { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } = (/) ) )
28	18, 27	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 <-> { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } = (/) ) )
29	26, 28	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ph -> ( ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 /\ (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 ) <-> ( { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } = (/) /\ { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } = (/) ) ) )
30		rabeq0 3521	. . . . . 6 |- ( { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } = (/) <-> A. i e. dom I -. U e. ( I ` i ) )
31		rabeq0 3521	. . . . . 6 |- ( { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } = (/) <-> A. i e. dom I -. ( I ` i ) = { U } )
32	30, 31	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } = (/) /\ { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } = (/) ) <-> ( A. i e. dom I -. U e. ( I ` i ) /\ A. i e. dom I -. ( I ` i ) = { U } ) )
33	32	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( ( { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } = (/) /\ { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } = (/) ) <-> ( A. i e. dom I -. U e. ( I ` i ) /\ A. i e. dom I -. ( I ` i ) = { U } ) ) )
34		ioran 757	. . . . . . 7 |- ( -. ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> ( -. U e. ( I ` i ) /\ -. ( I ` i ) = { U } ) )
35	34	ralbii 2536	. . . . . 6 |- ( A. i e. dom I -. ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> A. i e. dom I ( -. U e. ( I ` i ) /\ -. ( I ` i ) = { U } ) )
36		ralnex 2518	. . . . . 6 |- ( A. i e. dom I -. ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) )
37		r19.26 2657	. . . . . 6 |- ( A. i e. dom I ( -. U e. ( I ` i ) /\ -. ( I ` i ) = { U } ) <-> ( A. i e. dom I -. U e. ( I ` i ) /\ A. i e. dom I -. ( I ` i ) = { U } ) )
38	35, 36, 37	3bitr3ri 211	. . . . 5 |- ( ( A. i e. dom I -. U e. ( I ` i ) /\ A. i e. dom I -. ( I ` i ) = { U } ) <-> -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) )
39	38	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A. i e. dom I -. U e. ( I ` i ) /\ A. i e. dom I -. ( I ` i ) = { U } ) <-> -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) ) )
40	29, 33, 39	3bitrd 214	. . 3 |- ( ph -> ( ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 /\ (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 ) <-> -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) ) )
41		orcom 733	. . . . . . 7 |- ( ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> ( ( I ` i ) = { U } \/ U e. ( I ` i ) ) )
42		snidg 3695	. . . . . . . . 9 |- ( U e. V -> U e. { U } )
43		eleq2 2293	. . . . . . . . 9 |- ( ( I ` i ) = { U } -> ( U e. ( I ` i ) <-> U e. { U } ) )
44	42, 43	syl5ibrcom 157	. . . . . . . 8 |- ( U e. V -> ( ( I ` i ) = { U } -> U e. ( I ` i ) ) )
45		pm4.72 832	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I ` i ) = { U } -> U e. ( I ` i ) ) <-> ( U e. ( I ` i ) <-> ( ( I ` i ) = { U } \/ U e. ( I ` i ) ) ) )
46	44, 45	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( U e. V -> ( U e. ( I ` i ) <-> ( ( I ` i ) = { U } \/ U e. ( I ` i ) ) ) )
47	41, 46	bitr4id 199	. . . . . 6 |- ( U e. V -> ( ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> U e. ( I ` i ) ) )
48	47	rexbidv 2531	. . . . 5 |- ( U e. V -> ( E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
49	48	notbid 671	. . . 4 |- ( U e. V -> ( -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> -. E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
50	8, 49	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> -. E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
51	40, 50	bitrd 188	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 /\ (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 ) <-> -. E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
52	12, 24, 51	3bitrd 214	1 |- ( ph -> ( ( D ` U ) = 0 <-> -. E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   {crab 2512   (/)c0 3491   {csn 3666   class class class wbr 4083   dom cdm 4719   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Fincfn 6895   RRcr 8009   0cc0 8010   + caddc 8013   <_ cle 8193   NN0cn0 9380  ♯chash 11009  Vtxcvtx 15828  iEdgciedg 15829  UPGraphcupgr 15906  VtxDegcvtxdg 16045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-z 9458  df-dec 9590  df-uz 9734  df-xadd 9981  df-fz 10217  df-ihash 11010  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-edgf 15821  df-vtx 15830  df-iedg 15831  df-upgren 15908  df-vtxdg 16046

This theorem is referenced by: (None)