Theorem vtxd0nedgbfi 16294

Description: A vertex has degree 0 iff there is no edge incident with the vertex. (Contributed by AV, 24-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxd0nedgb.v	|- V = (Vtx ` G )
vtxd0nedgb.i	|- I = (iEdg ` G )
vtxd0nedgb.d	|- D = (VtxDeg ` G )
vtxd0nedgbfi.i	|- ( ph -> dom I e. Fin )
vtxd0nedgbfi.v	|- ( ph -> V e. Fin )
vtxd0nedgbfi.u	|- ( ph -> U e. V )
vtxd0nedgbfi.g	|- ( ph -> G e. UPGraph )

Assertion

Ref	Expression
vtxd0nedgbfi	|- ( ph -> ( ( D ` U ) = 0 <-> -. E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )

Distinct variable groups:   i, G   i, I   U, i   i, V

Allowed substitution hints:   ph( i)   D( i)

Proof of Theorem vtxd0nedgbfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxd0nedgb.d	. . . . 5 |- D = (VtxDeg ` G )
2	1	fveq1i 5671	. . . 4 |- ( D ` U ) = ( (VtxDeg ` G ) ` U )
3		vtxd0nedgb.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
4		vtxd0nedgb.i	. . . . 5 |- I = (iEdg ` G )
5		eqid 2232	. . . . 5 |- dom I = dom I
6		vtxd0nedgbfi.i	. . . . 5 |- ( ph -> dom I e. Fin )
7		vtxd0nedgbfi.v	. . . . 5 |- ( ph -> V e. Fin )
8		vtxd0nedgbfi.u	. . . . 5 |- ( ph -> U e. V )
9		vtxd0nedgbfi.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. UPGraph )
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	vtxdgfifival 16286	. . . 4 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) + (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) ) )
11	2, 10	eqtrid 2277	. . 3 |- ( ph -> ( D ` U ) = ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) + (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) ) )
12	11	eqeq1d 2241	. 2 |- ( ph -> ( ( D ` U ) = 0 <-> ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) + (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) ) = 0 ) )
13	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	vtxedgfi 16284	. . . . 5 |- ( ph -> { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } e. Fin )
14		hashcl 11144	. . . . 5 |- ( { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } e. Fin -> (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) e. NN0 )
15	13, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) e. NN0 )
16	15	nn0red 9554	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) e. RR )
17	15	nn0ge0d 9556	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) )
18	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	vtxlpfi 16285	. . . . 5 |- ( ph -> { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } e. Fin )
19		hashcl 11144	. . . . 5 |- ( { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } e. Fin -> (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) e. NN0 )
20	18, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) e. NN0 )
21	20	nn0red 9554	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) e. RR )
22	20	nn0ge0d 9556	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) )
23		add20 8748	. . 3 |- ( ( ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) ) /\ ( (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) ) ) -> ( ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) + (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) ) = 0 <-> ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 /\ (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 ) ) )
24	16, 17, 21, 22, 23	syl22anc 1275	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) + (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) ) = 0 <-> ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 /\ (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 ) ) )
25		fihasheq0 11156	. . . . . 6 |- ( { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } e. Fin -> ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 <-> { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } = (/) ) )
26	13, 25	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 <-> { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } = (/) ) )
27		fihasheq0 11156	. . . . . 6 |- ( { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } e. Fin -> ( (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 <-> { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } = (/) ) )
28	18, 27	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 <-> { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } = (/) ) )
29	26, 28	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ph -> ( ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 /\ (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 ) <-> ( { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } = (/) /\ { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } = (/) ) ) )
30		rabeq0 3538	. . . . . 6 |- ( { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } = (/) <-> A. i e. dom I -. U e. ( I ` i ) )
31		rabeq0 3538	. . . . . 6 |- ( { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } = (/) <-> A. i e. dom I -. ( I ` i ) = { U } )
32	30, 31	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } = (/) /\ { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } = (/) ) <-> ( A. i e. dom I -. U e. ( I ` i ) /\ A. i e. dom I -. ( I ` i ) = { U } ) )
33	32	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( ( { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } = (/) /\ { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } = (/) ) <-> ( A. i e. dom I -. U e. ( I ` i ) /\ A. i e. dom I -. ( I ` i ) = { U } ) ) )
34		ioran 760	. . . . . . 7 |- ( -. ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> ( -. U e. ( I ` i ) /\ -. ( I ` i ) = { U } ) )
35	34	ralbii 2548	. . . . . 6 |- ( A. i e. dom I -. ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> A. i e. dom I ( -. U e. ( I ` i ) /\ -. ( I ` i ) = { U } ) )
36		ralnex 2530	. . . . . 6 |- ( A. i e. dom I -. ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) )
37		r19.26 2669	. . . . . 6 |- ( A. i e. dom I ( -. U e. ( I ` i ) /\ -. ( I ` i ) = { U } ) <-> ( A. i e. dom I -. U e. ( I ` i ) /\ A. i e. dom I -. ( I ` i ) = { U } ) )
38	35, 36, 37	3bitr3ri 211	. . . . 5 |- ( ( A. i e. dom I -. U e. ( I ` i ) /\ A. i e. dom I -. ( I ` i ) = { U } ) <-> -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) )
39	38	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A. i e. dom I -. U e. ( I ` i ) /\ A. i e. dom I -. ( I ` i ) = { U } ) <-> -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) ) )
40	29, 33, 39	3bitrd 214	. . 3 |- ( ph -> ( ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 /\ (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 ) <-> -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) ) )
41		orcom 736	. . . . . . 7 |- ( ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> ( ( I ` i ) = { U } \/ U e. ( I ` i ) ) )
42		snidg 3718	. . . . . . . . 9 |- ( U e. V -> U e. { U } )
43		eleq2 2296	. . . . . . . . 9 |- ( ( I ` i ) = { U } -> ( U e. ( I ` i ) <-> U e. { U } ) )
44	42, 43	syl5ibrcom 157	. . . . . . . 8 |- ( U e. V -> ( ( I ` i ) = { U } -> U e. ( I ` i ) ) )
45		pm4.72 835	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I ` i ) = { U } -> U e. ( I ` i ) ) <-> ( U e. ( I ` i ) <-> ( ( I ` i ) = { U } \/ U e. ( I ` i ) ) ) )
46	44, 45	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( U e. V -> ( U e. ( I ` i ) <-> ( ( I ` i ) = { U } \/ U e. ( I ` i ) ) ) )
47	41, 46	bitr4id 199	. . . . . 6 |- ( U e. V -> ( ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> U e. ( I ` i ) ) )
48	47	rexbidv 2543	. . . . 5 |- ( U e. V -> ( E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
49	48	notbid 673	. . . 4 |- ( U e. V -> ( -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> -. E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
50	8, 49	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> -. E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
51	40, 50	bitrd 188	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 /\ (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 ) <-> -. E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
52	12, 24, 51	3bitrd 214	1 |- ( ph -> ( ( D ` U ) = 0 <-> -. E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   {crab 2524   (/)c0 3508   {csn 3689   class class class wbr 4109   dom cdm 4749   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Fincfn 6975   RRcr 8126   0cc0 8127   + caddc 8130   <_ cle 8309   NN0cn0 9496  ♯chash 11138  Vtxcvtx 16007  iEdgciedg 16008  UPGraphcupgr 16086  VtxDegcvtxdg 16281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-dec 9710  df-uz 9854  df-xadd 10106  df-fz 10343  df-ihash 11139  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-edgf 16000  df-vtx 16009  df-iedg 16010  df-upgren 16088  df-vtxdg 16282

This theorem is referenced by:  1loopgrvd0fi  16301  1hevtxdg0fi  16302