Theorem vtxd0nedgbfi 16540

Description: A vertex has degree 0 iff there is no edge incident with the vertex. (Contributed by AV, 24-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxd0nedgb.v	|- V = (Vtx ` G )
vtxd0nedgb.i	|- I = (iEdg ` G )
vtxd0nedgb.d	|- D = (VtxDeg ` G )
vtxd0nedgbfi.i	|- ( ph -> dom I e. Fin )
vtxd0nedgbfi.v	|- ( ph -> V e. Fin )
vtxd0nedgbfi.u	|- ( ph -> U e. V )
vtxd0nedgbfi.g	|- ( ph -> G e. UPGraph )

Assertion

Ref	Expression
vtxd0nedgbfi	|- ( ph -> ( ( D ` U ) = 0 <-> -. E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )

Distinct variable groups:   i, G   i, I   U, i   i, V

Allowed substitution hints:   ph( i)   D( i)

Proof of Theorem vtxd0nedgbfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxd0nedgb.d	. . . . 5 |- D = (VtxDeg ` G )
2	1	fveq1i 5696	. . . 4 |- ( D ` U ) = ( (VtxDeg ` G ) ` U )
3		vtxd0nedgb.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
4		vtxd0nedgb.i	. . . . 5 |- I = (iEdg ` G )
5		eqid 2238	. . . . 5 |- dom I = dom I
6		vtxd0nedgbfi.i	. . . . 5 |- ( ph -> dom I e. Fin )
7		vtxd0nedgbfi.v	. . . . 5 |- ( ph -> V e. Fin )
8		vtxd0nedgbfi.u	. . . . 5 |- ( ph -> U e. V )
9		vtxd0nedgbfi.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. UPGraph )
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	vtxdgfifival 16532	. . . 4 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) + (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) ) )
11	2, 10	eqtrid 2283	. . 3 |- ( ph -> ( D ` U ) = ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) + (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) ) )
12	11	eqeq1d 2247	. 2 |- ( ph -> ( ( D ` U ) = 0 <-> ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) + (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) ) = 0 ) )
13	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	vtxedgfi 16530	. . . . 5 |- ( ph -> { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } e. Fin )
14		hashcl 11220	. . . . 5 |- ( { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } e. Fin -> (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) e. NN0 )
15	13, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) e. NN0 )
16	15	nn0red 9621	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) e. RR )
17	15	nn0ge0d 9623	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) )
18	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	vtxlpfi 16531	. . . . 5 |- ( ph -> { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } e. Fin )
19		hashcl 11220	. . . . 5 |- ( { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } e. Fin -> (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) e. NN0 )
20	18, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) e. NN0 )
21	20	nn0red 9621	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) e. RR )
22	20	nn0ge0d 9623	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) )
23		add20 8802	. . 3 |- ( ( ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) ) /\ ( (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) ) ) -> ( ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) + (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) ) = 0 <-> ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 /\ (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 ) ) )
24	16, 17, 21, 22, 23	syl22anc 1279	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) + (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) ) = 0 <-> ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 /\ (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 ) ) )
25		fihasheq0 11232	. . . . . 6 |- ( { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } e. Fin -> ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 <-> { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } = (/) ) )
26	13, 25	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 <-> { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } = (/) ) )
27		fihasheq0 11232	. . . . . 6 |- ( { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } e. Fin -> ( (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 <-> { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } = (/) ) )
28	18, 27	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 <-> { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } = (/) ) )
29	26, 28	anbi12d 477	. . . 4 |- ( ph -> ( ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 /\ (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 ) <-> ( { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } = (/) /\ { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } = (/) ) ) )
30		rabeq0 3552	. . . . . 6 |- ( { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } = (/) <-> A. i e. dom I -. U e. ( I ` i ) )
31		rabeq0 3552	. . . . . 6 |- ( { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } = (/) <-> A. i e. dom I -. ( I ` i ) = { U } )
32	30, 31	anbi12i 464	. . . . 5 |- ( ( { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } = (/) /\ { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } = (/) ) <-> ( A. i e. dom I -. U e. ( I ` i ) /\ A. i e. dom I -. ( I ` i ) = { U } ) )
33	32	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( ( { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } = (/) /\ { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } = (/) ) <-> ( A. i e. dom I -. U e. ( I ` i ) /\ A. i e. dom I -. ( I ` i ) = { U } ) ) )
34		ioran 764	. . . . . . 7 |- ( -. ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> ( -. U e. ( I ` i ) /\ -. ( I ` i ) = { U } ) )
35	34	ralbii 2556	. . . . . 6 |- ( A. i e. dom I -. ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> A. i e. dom I ( -. U e. ( I ` i ) /\ -. ( I ` i ) = { U } ) )
36		ralnex 2538	. . . . . 6 |- ( A. i e. dom I -. ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) )
37		r19.26 2677	. . . . . 6 |- ( A. i e. dom I ( -. U e. ( I ` i ) /\ -. ( I ` i ) = { U } ) <-> ( A. i e. dom I -. U e. ( I ` i ) /\ A. i e. dom I -. ( I ` i ) = { U } ) )
38	35, 36, 37	3bitr3ri 211	. . . . 5 |- ( ( A. i e. dom I -. U e. ( I ` i ) /\ A. i e. dom I -. ( I ` i ) = { U } ) <-> -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) )
39	38	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A. i e. dom I -. U e. ( I ` i ) /\ A. i e. dom I -. ( I ` i ) = { U } ) <-> -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) ) )
40	29, 33, 39	3bitrd 214	. . 3 |- ( ph -> ( ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 /\ (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 ) <-> -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) ) )
41		orcom 740	. . . . . . 7 |- ( ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> ( ( I ` i ) = { U } \/ U e. ( I ` i ) ) )
42		snidg 3738	. . . . . . . . 9 |- ( U e. V -> U e. { U } )
43		eleq2 2302	. . . . . . . . 9 |- ( ( I ` i ) = { U } -> ( U e. ( I ` i ) <-> U e. { U } ) )
44	42, 43	syl5ibrcom 157	. . . . . . . 8 |- ( U e. V -> ( ( I ` i ) = { U } -> U e. ( I ` i ) ) )
45		pm4.72 839	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I ` i ) = { U } -> U e. ( I ` i ) ) <-> ( U e. ( I ` i ) <-> ( ( I ` i ) = { U } \/ U e. ( I ` i ) ) ) )
46	44, 45	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( U e. V -> ( U e. ( I ` i ) <-> ( ( I ` i ) = { U } \/ U e. ( I ` i ) ) ) )
47	41, 46	bitr4id 199	. . . . . 6 |- ( U e. V -> ( ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> U e. ( I ` i ) ) )
48	47	rexbidv 2551	. . . . 5 |- ( U e. V -> ( E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
49	48	notbid 677	. . . 4 |- ( U e. V -> ( -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> -. E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
50	8, 49	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> -. E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
51	40, 50	bitrd 188	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 /\ (♯ ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 ) <-> -. E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
52	12, 24, 51	3bitrd 214	1 |- ( ph -> ( ( D ` U ) = 0 <-> -. E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   (/)c0 3520   {csn 3709   class class class wbr 4130   dom cdm 4774   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Fincfn 7022   RRcr 8178   0cc0 8179   + caddc 8182   <_ cle 8361   NN0cn0 9563  ♯chash 11214  Vtxcvtx 16253  iEdgciedg 16254  UPGraphcupgr 16332  VtxDegcvtxdg 16527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-dec 9778  df-uz 9922  df-xadd 10175  df-fz 10412  df-ihash 11215  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-edgf 16246  df-vtx 16255  df-iedg 16256  df-upgren 16334  df-vtxdg 16528

This theorem is used by:  1loopgrvd0fi  16547  1hevtxdg0fi  16548