Theorem wrdexg 11298

Description: The set of words over a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by JJ, 18-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wrdexg	⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wrdexg

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdval 11290	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 = ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)))
2		nn0ex 9552	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		fnmap 6923	. . . . 5 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
4		elex 2833	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ V)
5		0z 9638	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		nn0z 9647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → 𝑙 ∈ ℤ)
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑙 ∈ ℤ)
8		fzofig 10852	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → (0..^𝑙) ∈ Fin)
9	5, 7, 8	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (0..^𝑙) ∈ Fin)
10	9	elexd 2835	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (0..^𝑙) ∈ V)
11		fnovex 6112	. . . . 5 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 𝑆 ∈ V ∧ (0..^𝑙) ∈ V) → (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ∈ V)
12	3, 4, 10, 11	mp3an2ani 1385	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ∈ V)
13	12	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ∈ V)
14		iunexg 6342	. . 3 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ∈ V) → ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ∈ V)
15	2, 13, 14	sylancr 418	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ∈ V)
16	1, 15	eqeltrd 2315	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  Vcvv 2821  ∪ ciun 4010   × cxp 4770   Fn wfn 5370  (class class class)co 6079   ↑_𝑚 cmap 6916  Fincfn 7016  0cc0 8173  ℕ₀cn0 9546  ℤcz 9627  ..^cfzo 10532  Word cword 11287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-er 6801  df-map 6918  df-en 7017  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-word 11288

This theorem is referenced by:  wrdexb  11299  wrdexi  11300  elovmpowrd  11329  wksfval  16546  wlkex  16549  clwwlkg  16617  clwwlkex  16622