Theorem wrdexg 11171

Description: The set of words over a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by JJ, 18-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wrdexg	⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wrdexg

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdval 11163	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 = ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)))
2		nn0ex 9451	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		fnmap 6867	. . . . 5 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
4		elex 2815	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ V)
5		0z 9533	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		nn0z 9542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → 𝑙 ∈ ℤ)
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑙 ∈ ℤ)
8		fzofig 10738	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → (0..^𝑙) ∈ Fin)
9	5, 7, 8	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (0..^𝑙) ∈ Fin)
10	9	elexd 2817	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (0..^𝑙) ∈ V)
11		fnovex 6061	. . . . 5 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 𝑆 ∈ V ∧ (0..^𝑙) ∈ V) → (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ∈ V)
12	3, 4, 10, 11	mp3an2ani 1381	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ∈ V)
13	12	ralrimiva 2606	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ∈ V)
14		iunexg 6290	. . 3 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ∈ V) → ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ∈ V)
15	2, 13, 14	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ∈ V)
16	1, 15	eqeltrd 2308	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  Vcvv 2803  ∪ ciun 3975   × cxp 4729   Fn wfn 5328  (class class class)co 6028   ↑_𝑚 cmap 6860  Fincfn 6952  0cc0 8075  ℕ₀cn0 9445  ℤcz 9522  ..^cfzo 10420  Word cword 11160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-word 11161

This theorem is referenced by:  wrdexb  11172  wrdexi  11173  elovmpowrd  11202  wksfval  16243  wlkex  16246  clwwlkg  16314  clwwlkex  16319