Theorem zrhpropd 14611

Description: The ZZ ring homomorphism depends only on the ring attributes of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhpropd.1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
zrhpropd.2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
zrhpropd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
zrhpropd.4	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
zrhpropd	|- ( ph -> ( ZRHom ` K ) = ( ZRHom ` L ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   x, L, y   ph, x, y

Proof of Theorem zrhpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2230	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` ℤring ) = ( Base ` ℤring ) )
2		zrhpropd.1	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
3		zrhpropd.2	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
4		eqidd 2230	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` ℤring ) /\ y e. ( Base ` ℤring ) ) ) -> ( x ( +g ` ℤring ) y ) = ( x ( +g ` ℤring ) y ) )
5		zrhpropd.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
6		eqidd 2230	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` ℤring ) /\ y e. ( Base ` ℤring ) ) ) -> ( x ( .r ` ℤring ) y ) = ( x ( .r ` ℤring ) y ) )
7		zrhpropd.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )
8	1, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 7	rhmpropd 14239	. . 3 |- ( ph -> (ℤring RingHom K ) = (ℤring RingHom L ) )
9	8	unieqd 3899	. 2 |- ( ph -> U. (ℤring RingHom K ) = U. (ℤring RingHom L ) )
10		eqid 2229	. . 3 |- ( ZRHom ` K ) = ( ZRHom ` K )
11	10	zrhval 14602	. 2 |- ( ZRHom ` K ) = U. (ℤring RingHom K )
12		eqid 2229	. . 3 |- ( ZRHom ` L ) = ( ZRHom ` L )
13	12	zrhval 14602	. 2 |- ( ZRHom ` L ) = U. (ℤring RingHom L )
14	9, 11, 13	3eqtr4g 2287	1 |- ( ph -> ( ZRHom ` K ) = ( ZRHom ` L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   U.cuni 3888   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   Basecbs 13053   +g cplusg 13131   .rcmulr 13132   RingHom crh 14135  ℤ_ringczring 14575   ZRHomczrh 14596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-addf 8137  ax-mulf 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-map 6810  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-z 9463  df-dec 9595  df-uz 9739  df-rp 9867  df-fz 10222  df-cj 11374  df-abs 11531  df-struct 13055  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-iress 13061  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-starv 13146  df-tset 13150  df-ple 13151  df-ds 13153  df-unif 13154  df-0g 13312  df-topgen 13314  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-mhm 13513  df-grp 13557  df-minusg 13558  df-subg 13728  df-ghm 13799  df-cmn 13844  df-mgp 13905  df-ur 13944  df-ring 13982  df-cring 13983  df-rhm 14137  df-subrg 14204  df-bl 14531  df-mopn 14532  df-fg 14534  df-metu 14535  df-cnfld 14542  df-zring 14576  df-zrh 14599

This theorem is referenced by:  znzrh  14628