Theorem zrhpropd 14963

Description: The ℤ ring homomorphism depends only on the ring attributes of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
zrhpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
zrhpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
zrhpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
zrhpropd	⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐾) = (ℤRHom‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem zrhpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring))
2		zrhpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
3		zrhpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
4		eqidd 2239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘ℤring))) → (𝑥(+g‘ℤring)𝑦) = (𝑥(+g‘ℤring)𝑦))
5		zrhpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
6		eqidd 2239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘ℤring))) → (𝑥(.r‘ℤring)𝑦) = (𝑥(.r‘ℤring)𝑦))
7		zrhpropd.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
8	1, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 7	rhmpropd 14564	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤring RingHom 𝐾) = (ℤring RingHom 𝐿))
9	8	unieqd 3946	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ (ℤring RingHom 𝐾) = ∪ (ℤring RingHom 𝐿))
10		eqid 2238	. . 3 ⊢ (ℤRHom‘𝐾) = (ℤRHom‘𝐾)
11	10	zrhval 14954	. 2 ⊢ (ℤRHom‘𝐾) = ∪ (ℤring RingHom 𝐾)
12		eqid 2238	. . 3 ⊢ (ℤRHom‘𝐿) = (ℤRHom‘𝐿)
13	12	zrhval 14954	. 2 ⊢ (ℤRHom‘𝐿) = ∪ (ℤring RingHom 𝐿)
14	9, 11, 13	3eqtr4g 2296	1 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐾) = (ℤRHom‘𝐿))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∪ cuni 3935  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13354  +_gcplusg 13433  ._rcmulr 13434   RingHom crh 14459  ℤ_ringczring 14927  ℤRHomczrh 14948

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-uz 9924  df-rp 10057  df-fz 10414  df-cj 11609  df-abs 11767  df-struct 13356  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-iress 13362  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-starv 13448  df-tset 13452  df-ple 13453  df-ds 13455  df-unif 13456  df-0g 13614  df-topgen 13616  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-mhm 13768  df-grp 13810  df-minusg 13811  df-subg 13975  df-ghm 14046  df-cmn 14091  df-mgp 14220  df-ur 14265  df-ring 14304  df-cring 14305  df-rhm 14461  df-subrg 14529  df-bl 14885  df-mopn 14886  df-fg 14888  df-metu 14889  df-cnfld 14896  df-zring 14928  df-zrh 14951

This theorem is used by:  znzrh  14980