Theorem zrhpropd 14432

Description: The ℤ ring homomorphism depends only on the ring attributes of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
zrhpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
zrhpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
zrhpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
zrhpropd	⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐾) = (ℤRHom‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem zrhpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring))
2		zrhpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
3		zrhpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
4		eqidd 2207	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘ℤring))) → (𝑥(+g‘ℤring)𝑦) = (𝑥(+g‘ℤring)𝑦))
5		zrhpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
6		eqidd 2207	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘ℤring))) → (𝑥(.r‘ℤring)𝑦) = (𝑥(.r‘ℤring)𝑦))
7		zrhpropd.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
8	1, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 7	rhmpropd 14060	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤring RingHom 𝐾) = (ℤring RingHom 𝐿))
9	8	unieqd 3863	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ (ℤring RingHom 𝐾) = ∪ (ℤring RingHom 𝐿))
10		eqid 2206	. . 3 ⊢ (ℤRHom‘𝐾) = (ℤRHom‘𝐾)
11	10	zrhval 14423	. 2 ⊢ (ℤRHom‘𝐾) = ∪ (ℤring RingHom 𝐾)
12		eqid 2206	. . 3 ⊢ (ℤRHom‘𝐿) = (ℤRHom‘𝐿)
13	12	zrhval 14423	. 2 ⊢ (ℤRHom‘𝐿) = ∪ (ℤring RingHom 𝐿)
14	9, 11, 13	3eqtr4g 2264	1 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐾) = (ℤRHom‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∪ cuni 3852  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  Basecbs 12876  +_gcplusg 12953  ._rcmulr 12954   RingHom crh 13956  ℤ_ringczring 14396  ℤRHomczrh 14417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-addf 8054  ax-mulf 8055

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-tp 3642  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-map 6744  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-z 9380  df-dec 9512  df-uz 9656  df-rp 9783  df-fz 10138  df-cj 11197  df-abs 11354  df-struct 12878  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-iress 12884  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-starv 12968  df-tset 12972  df-ple 12973  df-ds 12975  df-unif 12976  df-0g 13134  df-topgen 13136  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-mhm 13335  df-grp 13379  df-minusg 13380  df-subg 13550  df-ghm 13621  df-cmn 13666  df-mgp 13727  df-ur 13766  df-ring 13804  df-cring 13805  df-rhm 13958  df-subrg 14025  df-bl 14352  df-mopn 14353  df-fg 14355  df-metu 14356  df-cnfld 14363  df-zring 14397  df-zrh 14420

This theorem is referenced by:  znzrh  14449