Theorem znzrh 14656

Description: The ZZ ring homomorphism of ℤ/nℤ is inherited from the quotient ring it is based on. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval2.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znval2.u	|- U = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
znval2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )

Assertion

Ref	Expression
znzrh	|- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` U ) = ( ZRHom ` Y ) )

Proof of Theorem znzrh

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2232	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( Base ` U ) = ( Base ` U ) )
2		znval2.s	. . 3 |- S = (RSpan ` ℤring )
3		znval2.u	. . 3 |- U = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
4		znval2.y	. . 3 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
5	2, 3, 4	znbas2 14653	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( Base ` U ) = ( Base ` Y ) )
6	2, 3, 4	znadd 14654	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( +g ` U ) = ( +g ` Y ) )
7	6	oveqdr 6045	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. ( Base ` U ) /\ y e. ( Base ` U ) ) ) -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( x ( +g ` Y ) y ) )
8	2, 3, 4	znmul 14655	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( .r ` U ) = ( .r ` Y ) )
9	8	oveqdr 6045	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. ( Base ` U ) /\ y e. ( Base ` U ) ) ) -> ( x ( .r ` U ) y ) = ( x ( .r ` Y ) y ) )
10	1, 5, 7, 9	zrhpropd 14639	1 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` U ) = ( ZRHom ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   {csn 3669   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   NN0cn0 9401   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   .rcmulr 13160   /._s cqus 13382   ~_QG cqg 13755  RSpancrsp 14481  ℤ_ringczring 14603   ZRHomczrh 14624  ℤ/nℤczn 14626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-addf 8153  ax-mulf 8154

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-ec 6703  df-map 6818  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-dec 9611  df-uz 9755  df-rp 9888  df-fz 10243  df-cj 11402  df-abs 11559  df-struct 13083  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-starv 13174  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-ip 13177  df-tset 13178  df-ple 13179  df-ds 13181  df-unif 13182  df-0g 13340  df-topgen 13342  df-iimas 13384  df-qus 13385  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-mhm 13541  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-subg 13756  df-eqg 13758  df-ghm 13827  df-cmn 13872  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-ring 14010  df-cring 14011  df-rhm 14165  df-subrg 14232  df-lsp 14400  df-sra 14448  df-rgmod 14449  df-rsp 14483  df-bl 14559  df-mopn 14560  df-fg 14562  df-metu 14563  df-cnfld 14570  df-zring 14604  df-zrh 14627  df-zn 14629

This theorem is referenced by:  znzrh2  14659  znle2  14665