Theorem zringinvg 14441

Description: The additive inverse of an element of the ring of integers. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringinvg	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 = ((invg‘ℤring)‘𝐴))

Proof of Theorem zringinvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9397	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	negidd 8393	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
3		zringgrp 14432	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Grp
4		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
5		znegcl 9423	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
6		zringbas 14433	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
7		zringplusg 14434	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℤring)
8		zring0 14437	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
9		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
10	6, 7, 8, 9	grpinvid1 13459	. . . 4 ⊢ ((ℤring ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℤ) → (((invg‘ℤring)‘𝐴) = -𝐴 ↔ (𝐴 + -𝐴) = 0))
11	3, 4, 5, 10	mp3an2i 1355	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (((invg‘ℤring)‘𝐴) = -𝐴 ↔ (𝐴 + -𝐴) = 0))
12	2, 11	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((invg‘ℤring)‘𝐴) = -𝐴)
13	12	eqcomd 2212	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 = ((invg‘ℤring)‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  0cc0 7945   + caddc 7948  -cneg 8264  ℤcz 9392  Grpcgrp 13407  inv_gcminusg 13408  ℤ_ringczring 14427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-addf 8067  ax-mulf 8068

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-tp 3646  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-9 9122  df-n0 9316  df-z 9393  df-dec 9525  df-uz 9669  df-rp 9796  df-fz 10151  df-cj 11228  df-abs 11385  df-struct 12909  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-iress 12915  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-starv 12999  df-tset 13003  df-ple 13004  df-ds 13006  df-unif 13007  df-0g 13165  df-topgen 13167  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-grp 13410  df-minusg 13411  df-subg 13581  df-cmn 13697  df-mgp 13758  df-ur 13797  df-ring 13835  df-cring 13836  df-subrg 14056  df-bl 14383  df-mopn 14384  df-fg 14386  df-metu 14387  df-cnfld 14394  df-zring 14428

This theorem is referenced by: (None)