Theorem zringinvg 14988

Description: The additive inverse of an element of the ring of integers. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringinvg	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 = ((invg‘ℤring)‘𝐴))

Proof of Theorem zringinvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9653	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	negidd 8628	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
3		zringgrp 14979	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Grp
4		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
5		znegcl 9679	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
6		zringbas 14980	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
7		zringplusg 14981	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℤring)
8		zring0 14984	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
9		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
10	6, 7, 8, 9	grpinvid1 13906	. . . 4 ⊢ ((ℤring ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℤ) → (((invg‘ℤring)‘𝐴) = -𝐴 ↔ (𝐴 + -𝐴) = 0))
11	3, 4, 5, 10	mp3an2i 1383	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (((invg‘ℤring)‘𝐴) = -𝐴 ↔ (𝐴 + -𝐴) = 0))
12	2, 11	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((invg‘ℤring)‘𝐴) = -𝐴)
13	12	eqcomd 2244	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 = ((invg‘ℤring)‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  0cc0 8179   + caddc 8182  -cneg 8499  ℤcz 9648  Grpcgrp 13854  inv_gcminusg 13855  ℤ_ringczring 14974

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367  df-5 9368  df-6 9369  df-7 9370  df-8 9371  df-9 9372  df-n0 9568  df-z 9649  df-dec 9782  df-uz 9931  df-rp 10065  df-fz 10422  df-cj 11621  df-abs 11779  df-struct 13403  df-ndx 13404  df-slot 13405  df-base 13407  df-sets 13408  df-iress 13409  df-plusg 13493  df-mulr 13494  df-starv 13495  df-tset 13499  df-ple 13500  df-ds 13502  df-unif 13503  df-0g 13661  df-topgen 13663  df-mgm 13725  df-sgrp 13766  df-mnd 13779  df-grp 13857  df-minusg 13858  df-subg 14022  df-cmn 14138  df-mgp 14267  df-ur 14312  df-ring 14351  df-cring 14352  df-subrg 14576  df-bl 14932  df-mopn 14933  df-fg 14935  df-metu 14936  df-cnfld 14943  df-zring 14975

This theorem is used by: (None)