Theorem zringinvg 14284

Description: The additive inverse of an element of the ring of integers. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringinvg	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 = ((invg‘ℤring)‘𝐴))

Proof of Theorem zringinvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9359	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	negidd 8355	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
3		zringgrp 14275	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Grp
4		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
5		znegcl 9385	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
6		zringbas 14276	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
7		zringplusg 14277	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℤring)
8		zring0 14280	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
9		eqid 2204	. . . . 5 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
10	6, 7, 8, 9	grpinvid1 13302	. . . 4 ⊢ ((ℤring ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℤ) → (((invg‘ℤring)‘𝐴) = -𝐴 ↔ (𝐴 + -𝐴) = 0))
11	3, 4, 5, 10	mp3an2i 1354	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (((invg‘ℤring)‘𝐴) = -𝐴 ↔ (𝐴 + -𝐴) = 0))
12	2, 11	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((invg‘ℤring)‘𝐴) = -𝐴)
13	12	eqcomd 2210	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 = ((invg‘ℤring)‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  0cc0 7907   + caddc 7910  -cneg 8226  ℤcz 9354  Grpcgrp 13250  inv_gcminusg 13251  ℤ_ringczring 14270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-addf 8029  ax-mulf 8030

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-tp 3640  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-5 9080  df-6 9081  df-7 9082  df-8 9083  df-9 9084  df-n0 9278  df-z 9355  df-dec 9487  df-uz 9631  df-rp 9758  df-fz 10113  df-cj 11072  df-abs 11229  df-struct 12753  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-sets 12758  df-iress 12759  df-plusg 12841  df-mulr 12842  df-starv 12843  df-tset 12847  df-ple 12848  df-ds 12850  df-unif 12851  df-0g 13008  df-topgen 13010  df-mgm 13106  df-sgrp 13152  df-mnd 13167  df-grp 13253  df-minusg 13254  df-subg 13424  df-cmn 13540  df-mgp 13601  df-ur 13640  df-ring 13678  df-cring 13679  df-subrg 13899  df-bl 14226  df-mopn 14227  df-fg 14229  df-metu 14230  df-cnfld 14237  df-zring 14271

This theorem is referenced by: (None)