Theorem dvdsrzring 15022

Description: Ring divisibility in the ring of integers corresponds to ordinary divisibility in ZZ. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrzring	|- || = ( ||r ` ℤring )

Proof of Theorem dvdsrzring

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> x e. ZZ )
2	1	anim1i 340	. . . 4 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) -> ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) )
3		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) -> x e. ZZ )
4		zmulcl 9703	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( z x. x ) e. ZZ )
5	4	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( z x. x ) e. ZZ )
6		eleq1 2301	. . . . . . . 8 |- ( ( z x. x ) = y -> ( ( z x. x ) e. ZZ <-> y e. ZZ ) )
7	5, 6	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( z x. x ) = y -> y e. ZZ ) )
8	7	rexlimdva 2668	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> ( E. z e. ZZ ( z x. x ) = y -> y e. ZZ ) )
9	8	imp 124	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) -> y e. ZZ )
10		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) -> E. z e. ZZ ( z x. x ) = y )
11	3, 9, 10	jca31 309	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) -> ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) )
12	2, 11	impbii 126	. . 3 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) <-> ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) )
13	12	opabbii 4198	. 2 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) } = { <. x , y >. | ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) }
14		df-dvds 12574	. 2 |- || = { <. x , y >. | ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) }
15		zringbas 15015	. . . . 5 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
16	15	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> ZZ = ( Base ` ℤring ) )
17		eqidd 2239	. . . 4 |- ( T. -> ( ||r ` ℤring ) = ( ||r ` ℤring ) )
18		zringring 15012	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
19		ringsrg 14436	. . . . 5 |- (ℤring e. Ring -> ℤring e. SRing )
20	18, 19	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> ℤring e. SRing )
21		zringmulr 15018	. . . . 5 |- x. = ( .r ` ℤring )
22	21	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> x. = ( .r ` ℤring ) )
23	16, 17, 20, 22	dvdsrvald 14484	. . 3 |- ( T. -> ( ||r ` ℤring ) = { <. x , y >. | ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) } )
24	23	mptru 1411	. 2 |- ( ||r ` ℤring ) = { <. x , y >. | ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) }
25	13, 14, 24	3eqtr4i 2269	1 |- || = ( ||r ` ℤring )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   E.wrex 2529   {copab 4191   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   x. cmul 8185   ZZcz 9649   || cdvds 12573   Basecbs 13404   .rcmulr 13485  SRingcsrg 14351   Ringcrg 14384   ||_rcdsr 14476  ℤ_ringczring 15009

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-addf 8302  ax-mulf 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-dec 9783  df-uz 9932  df-rp 10066  df-fz 10423  df-cj 11623  df-abs 11781  df-dvds 12574  df-struct 13406  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-iress 13412  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13665  df-topgen 13667  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-minusg 13862  df-subg 14026  df-cmn 14173  df-abl 14174  df-mgp 14302  df-ur 14347  df-srg 14352  df-ring 14386  df-cring 14387  df-dvdsr 14479  df-subrg 14611  df-bl 14967  df-mopn 14968  df-fg 14970  df-metu 14971  df-cnfld 14978  df-zring 15010

This theorem is used by:  zndvds  15068