Theorem dvdsrzring 14365

Description: Ring divisibility in the ring of integers corresponds to ordinary divisibility in ZZ. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrzring	|- || = ( ||r ` ℤring )

Proof of Theorem dvdsrzring

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> x e. ZZ )
2	1	anim1i 340	. . . 4 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) -> ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) )
3		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) -> x e. ZZ )
4		zmulcl 9426	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( z x. x ) e. ZZ )
5	4	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( z x. x ) e. ZZ )
6		eleq1 2268	. . . . . . . 8 |- ( ( z x. x ) = y -> ( ( z x. x ) e. ZZ <-> y e. ZZ ) )
7	5, 6	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( z x. x ) = y -> y e. ZZ ) )
8	7	rexlimdva 2623	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> ( E. z e. ZZ ( z x. x ) = y -> y e. ZZ ) )
9	8	imp 124	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) -> y e. ZZ )
10		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) -> E. z e. ZZ ( z x. x ) = y )
11	3, 9, 10	jca31 309	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) -> ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) )
12	2, 11	impbii 126	. . 3 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) <-> ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) )
13	12	opabbii 4111	. 2 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) } = { <. x , y >. | ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) }
14		df-dvds 12099	. 2 |- || = { <. x , y >. | ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) }
15		zringbas 14358	. . . . 5 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
16	15	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> ZZ = ( Base ` ℤring ) )
17		eqidd 2206	. . . 4 |- ( T. -> ( ||r ` ℤring ) = ( ||r ` ℤring ) )
18		zringring 14355	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
19		ringsrg 13809	. . . . 5 |- (ℤring e. Ring -> ℤring e. SRing )
20	18, 19	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> ℤring e. SRing )
21		zringmulr 14361	. . . . 5 |- x. = ( .r ` ℤring )
22	21	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> x. = ( .r ` ℤring ) )
23	16, 17, 20, 22	dvdsrvald 13855	. . 3 |- ( T. -> ( ||r ` ℤring ) = { <. x , y >. | ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) } )
24	23	mptru 1382	. 2 |- ( ||r ` ℤring ) = { <. x , y >. | ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) }
25	13, 14, 24	3eqtr4i 2236	1 |- || = ( ||r ` ℤring )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   T. wtru 1374   e. wcel 2176   E.wrex 2485   {copab 4104   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   x. cmul 7930   ZZcz 9372   || cdvds 12098   Basecbs 12832   .rcmulr 12910  SRingcsrg 13725   Ringcrg 13758   ||_rcdsr 13848  ℤ_ringczring 14352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-addf 8047  ax-mulf 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-tp 3641  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-9 9102  df-n0 9296  df-z 9373  df-dec 9505  df-uz 9649  df-rp 9776  df-fz 10131  df-cj 11153  df-abs 11310  df-dvds 12099  df-struct 12834  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-iress 12840  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-starv 12924  df-tset 12928  df-ple 12929  df-ds 12931  df-unif 12932  df-0g 13090  df-topgen 13092  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-subg 13506  df-cmn 13622  df-abl 13623  df-mgp 13683  df-ur 13722  df-srg 13726  df-ring 13760  df-cring 13761  df-dvdsr 13851  df-subrg 13981  df-bl 14308  df-mopn 14309  df-fg 14311  df-metu 14312  df-cnfld 14319  df-zring 14353

This theorem is referenced by:  zndvds  14411