Theorem dvdsrzring 13578

Description: Ring divisibility in the ring of integers corresponds to ordinary divisibility in ZZ. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrzring	|- || = ( ||r ` ℤring )

Proof of Theorem dvdsrzring

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> x e. ZZ )
2	1	anim1i 340	. . . 4 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) -> ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) )
3		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) -> x e. ZZ )
4		zmulcl 9308	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( z x. x ) e. ZZ )
5	4	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( z x. x ) e. ZZ )
6		eleq1 2240	. . . . . . . 8 |- ( ( z x. x ) = y -> ( ( z x. x ) e. ZZ <-> y e. ZZ ) )
7	5, 6	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( z x. x ) = y -> y e. ZZ ) )
8	7	rexlimdva 2594	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> ( E. z e. ZZ ( z x. x ) = y -> y e. ZZ ) )
9	8	imp 124	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) -> y e. ZZ )
10		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) -> E. z e. ZZ ( z x. x ) = y )
11	3, 9, 10	jca31 309	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) -> ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) )
12	2, 11	impbii 126	. . 3 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) <-> ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) )
13	12	opabbii 4072	. 2 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) } = { <. x , y >. | ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) }
14		df-dvds 11797	. 2 |- || = { <. x , y >. | ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) }
15		zringbas 13571	. . . . 5 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
16	15	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> ZZ = ( Base ` ℤring ) )
17		eqidd 2178	. . . 4 |- ( T. -> ( ||r ` ℤring ) = ( ||r ` ℤring ) )
18		zringring 13568	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
19		ringsrg 13229	. . . . 5 |- (ℤring e. Ring -> ℤring e. SRing )
20	18, 19	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> ℤring e. SRing )
21		zringmulr 13574	. . . . 5 |- x. = ( .r ` ℤring )
22	21	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> x. = ( .r ` ℤring ) )
23	16, 17, 20, 22	dvdsrvald 13267	. . 3 |- ( T. -> ( ||r ` ℤring ) = { <. x , y >. | ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) } )
24	23	mptru 1362	. 2 |- ( ||r ` ℤring ) = { <. x , y >. | ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) }
25	13, 14, 24	3eqtr4i 2208	1 |- || = ( ||r ` ℤring )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   T. wtru 1354   e. wcel 2148   E.wrex 2456   {copab 4065   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   x. cmul 7818   ZZcz 9255   || cdvds 11796   Basecbs 12464   .rcmulr 12539  SRingcsrg 13151   Ringcrg 13184   ||_rcdsr 13260  ℤ_ringczring 13565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-addf 7935  ax-mulf 7936

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-tp 3602  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-9 8987  df-n0 9179  df-z 9256  df-dec 9387  df-uz 9531  df-fz 10011  df-cj 10853  df-dvds 11797  df-struct 12466  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-iress 12472  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-starv 12553  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-subg 13035  df-cmn 13095  df-abl 13096  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-srg 13152  df-ring 13186  df-cring 13187  df-dvdsr 13263  df-subrg 13345  df-icnfld 13541  df-zring 13566

This theorem is referenced by: (None)