Theorem dvdsrzring 14682

Description: Ring divisibility in the ring of integers corresponds to ordinary divisibility in ZZ. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrzring	|- || = ( ||r ` ℤring )

Proof of Theorem dvdsrzring

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> x e. ZZ )
2	1	anim1i 340	. . . 4 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) -> ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) )
3		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) -> x e. ZZ )
4		zmulcl 9577	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( z x. x ) e. ZZ )
5	4	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( z x. x ) e. ZZ )
6		eleq1 2294	. . . . . . . 8 |- ( ( z x. x ) = y -> ( ( z x. x ) e. ZZ <-> y e. ZZ ) )
7	5, 6	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( z x. x ) = y -> y e. ZZ ) )
8	7	rexlimdva 2651	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> ( E. z e. ZZ ( z x. x ) = y -> y e. ZZ ) )
9	8	imp 124	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) -> y e. ZZ )
10		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) -> E. z e. ZZ ( z x. x ) = y )
11	3, 9, 10	jca31 309	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) -> ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) )
12	2, 11	impbii 126	. . 3 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) <-> ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) )
13	12	opabbii 4161	. 2 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) } = { <. x , y >. | ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) }
14		df-dvds 12412	. 2 |- || = { <. x , y >. | ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) }
15		zringbas 14675	. . . . 5 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
16	15	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> ZZ = ( Base ` ℤring ) )
17		eqidd 2232	. . . 4 |- ( T. -> ( ||r ` ℤring ) = ( ||r ` ℤring ) )
18		zringring 14672	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
19		ringsrg 14124	. . . . 5 |- (ℤring e. Ring -> ℤring e. SRing )
20	18, 19	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> ℤring e. SRing )
21		zringmulr 14678	. . . . 5 |- x. = ( .r ` ℤring )
22	21	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> x. = ( .r ` ℤring ) )
23	16, 17, 20, 22	dvdsrvald 14171	. . 3 |- ( T. -> ( ||r ` ℤring ) = { <. x , y >. | ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) } )
24	23	mptru 1407	. 2 |- ( ||r ` ℤring ) = { <. x , y >. | ( x e. ZZ /\ E. z e. ZZ ( z x. x ) = y ) }
25	13, 14, 24	3eqtr4i 2262	1 |- || = ( ||r ` ℤring )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2202   E.wrex 2512   {copab 4154   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   x. cmul 8080   ZZcz 9523   || cdvds 12411   Basecbs 13145   .rcmulr 13224  SRingcsrg 14040   Ringcrg 14073   ||_rcdsr 14163  ℤ_ringczring 14669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-addf 8197  ax-mulf 8198

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-dec 9656  df-uz 9800  df-rp 9933  df-fz 10289  df-cj 11465  df-abs 11622  df-dvds 12412  df-struct 13147  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-iress 13153  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-starv 13238  df-tset 13242  df-ple 13243  df-ds 13245  df-unif 13246  df-0g 13404  df-topgen 13406  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649  df-minusg 13650  df-subg 13820  df-cmn 13936  df-abl 13937  df-mgp 13998  df-ur 14037  df-srg 14041  df-ring 14075  df-cring 14076  df-dvdsr 14166  df-subrg 14297  df-bl 14625  df-mopn 14626  df-fg 14628  df-metu 14629  df-cnfld 14636  df-zring 14670

This theorem is referenced by:  zndvds  14728