Theorem dvdsmod 12612

Description: Any number 𝐾 whose mod base 𝑁 is divisible by a divisor 𝑃 of the base is also divisible by 𝑃. This means that primes will also be relatively prime to the base when reduced mod 𝑁 for any base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmod	⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 mod 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐾))

Proof of Theorem dvdsmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1033	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		zq 10009	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℚ)
4		simpl2 1032	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		nnq 10016	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℚ)
7	4	nngt0d 9331	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 0 < 𝑁)
8		modqval 10744	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (𝐾 mod 𝑁) = (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))))
9	3, 6, 7, 8	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝐾 mod 𝑁) = (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))))
10	9	breq2d 4140	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 mod 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))))
11		simpl1 1031	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∈ ℕ)
12	11	nnzd 9750	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∈ ℤ)
13	4	nnzd 9750	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
14		znq 10007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑁) ∈ ℚ)
15	1, 4, 14	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝐾 / 𝑁) ∈ ℚ)
16	15	flqcld 10695	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℤ)
17		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ 𝑁)
18	12, 13, 16, 17	dvdsmultr1d 12582	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))
19	13, 16	zmulcld 9757	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) ∈ ℤ)
20	19	zcnd 9752	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) ∈ ℂ)
21	20	subid1d 8620	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) − 0) = (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))
22	18, 21	breqtrrd 4156	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) − 0))
23		0zd 9639	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 0 ∈ ℤ)
24		moddvds 12549	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) − 0)))
25	11, 19, 23, 24	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) − 0)))
26	22, 25	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
27	26	eqeq2d 2250	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝐾 mod 𝑃) = ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) ↔ (𝐾 mod 𝑃) = (0 mod 𝑃)))
28		moddvds 12549	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) ∈ ℤ) → ((𝐾 mod 𝑃) = ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))))
29	11, 1, 19, 28	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝐾 mod 𝑃) = ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))))
30		moddvds 12549	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐾 mod 𝑃) = (0 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − 0)))
31	11, 1, 23, 30	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝐾 mod 𝑃) = (0 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − 0)))
32	27, 29, 31	3bitr3d 218	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − 0)))
33	1	zcnd 9752	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
34	33	subid1d 8620	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝐾 − 0) = 𝐾)
35	34	breq2d 4140	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 0) ↔ 𝑃 ∥ 𝐾))
36	10, 32, 35	3bitrd 214	1 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 mod 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  0cc0 8173   · cmul 8178   < clt 8354   − cmin 8491   / cdiv 8996  ℕcn 9287  ℤcz 9627  ℚcq 10002  ⌊cfl 10686   mod cmo 10742   ∥ cdvds 12537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-q 10003  df-rp 10038  df-fl 10688  df-mod 10743  df-dvds 12538

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem2  16131