ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsmod GIF version

Theorem dvdsmod 11870
Description: Any number ๐พ whose mod base ๐‘ is divisible by a divisor ๐‘ƒ of the base is also divisible by ๐‘ƒ. This means that primes will also be relatively prime to the base when reduced mod ๐‘ for any base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmod (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐พ mod ๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐พ))

Proof of Theorem dvdsmod
StepHypRef Expression
1 simpl3 1002 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
2 zq 9628 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„š)
31, 2syl 14 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„š)
4 simpl2 1001 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
5 nnq 9635 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
64, 5syl 14 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
74nngt0d 8965 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ 0 < ๐‘)
8 modqval 10326 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ (๐พ mod ๐‘) = (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘)))))
93, 6, 7, 8syl3anc 1238 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐พ mod ๐‘) = (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘)))))
109breq2d 4017 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐พ mod ๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))))))
11 simpl1 1000 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
1211nnzd 9376 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
134nnzd 9376 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
14 znq 9626 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ / ๐‘) โˆˆ โ„š)
151, 4, 14syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐พ / ๐‘) โˆˆ โ„š)
1615flqcld 10279 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
17 simpr 110 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)
1812, 13, 16, 17dvdsmultr1d 11841 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))))
1913, 16zmulcld 9383 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆˆ โ„ค)
2019zcnd 9378 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆˆ โ„‚)
2120subid1d 8259 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆ’ 0) = (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))))
2218, 21breqtrrd 4033 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆ’ 0))
23 0zd 9267 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
24 moddvds 11808 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆ’ 0)))
2511, 19, 23, 24syl3anc 1238 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆ’ 0)))
2622, 25mpbird 167 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ))
2726eqeq2d 2189 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐พ mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) โ†” (๐พ mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ)))
28 moddvds 11808 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))))))
2911, 1, 19, 28syl3anc 1238 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐พ mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))))))
30 moddvds 11808 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 0)))
3111, 1, 23, 30syl3anc 1238 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐พ mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 0)))
3227, 29, 313bitr3d 218 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘)))) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 0)))
331zcnd 9378 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
3433subid1d 8259 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐พ โˆ’ 0) = ๐พ)
3534breq2d 4017 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 0) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐พ))
3610, 32, 353bitrd 214 1 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐พ mod ๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐พ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  0cc0 7813   ยท cmul 7818   < clt 7994   โˆ’ cmin 8130   / cdiv 8631  โ„•cn 8921  โ„คcz 9255  โ„šcq 9621  โŒŠcfl 10270   mod cmo 10324   โˆฅ cdvds 11796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-q 9622  df-rp 9656  df-fl 10272  df-mod 10325  df-dvds 11797
This theorem is referenced by:  lgsdir2lem2  14515
  Copyright terms: Public domain W3C validator