Theorem dvdsmod 12446

Description: Any number 𝐾 whose mod base 𝑁 is divisible by a divisor 𝑃 of the base is also divisible by 𝑃. This means that primes will also be relatively prime to the base when reduced mod 𝑁 for any base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmod	⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 mod 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐾))

Proof of Theorem dvdsmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1028	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		zq 9865	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℚ)
4		simpl2 1027	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		nnq 9872	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℚ)
7	4	nngt0d 9192	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 0 < 𝑁)
8		modqval 10592	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (𝐾 mod 𝑁) = (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))))
9	3, 6, 7, 8	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝐾 mod 𝑁) = (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))))
10	9	breq2d 4101	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 mod 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))))
11		simpl1 1026	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∈ ℕ)
12	11	nnzd 9606	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∈ ℤ)
13	4	nnzd 9606	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
14		znq 9863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑁) ∈ ℚ)
15	1, 4, 14	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝐾 / 𝑁) ∈ ℚ)
16	15	flqcld 10543	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℤ)
17		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ 𝑁)
18	12, 13, 16, 17	dvdsmultr1d 12416	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))
19	13, 16	zmulcld 9613	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) ∈ ℤ)
20	19	zcnd 9608	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) ∈ ℂ)
21	20	subid1d 8484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) − 0) = (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))
22	18, 21	breqtrrd 4117	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) − 0))
23		0zd 9496	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 0 ∈ ℤ)
24		moddvds 12383	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) − 0)))
25	11, 19, 23, 24	syl3anc 1273	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) − 0)))
26	22, 25	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
27	26	eqeq2d 2242	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝐾 mod 𝑃) = ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) ↔ (𝐾 mod 𝑃) = (0 mod 𝑃)))
28		moddvds 12383	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) ∈ ℤ) → ((𝐾 mod 𝑃) = ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))))
29	11, 1, 19, 28	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝐾 mod 𝑃) = ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))))
30		moddvds 12383	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐾 mod 𝑃) = (0 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − 0)))
31	11, 1, 23, 30	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝐾 mod 𝑃) = (0 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − 0)))
32	27, 29, 31	3bitr3d 218	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − 0)))
33	1	zcnd 9608	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
34	33	subid1d 8484	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝐾 − 0) = 𝐾)
35	34	breq2d 4101	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 0) ↔ 𝑃 ∥ 𝐾))
36	10, 32, 35	3bitrd 214	1 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 mod 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  0cc0 8037   · cmul 8042   < clt 8219   − cmin 8355   / cdiv 8857  ℕcn 9148  ℤcz 9484  ℚcq 9858  ⌊cfl 10534   mod cmo 10590   ∥ cdvds 12371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-n0 9408  df-z 9485  df-q 9859  df-rp 9894  df-fl 10536  df-mod 10591  df-dvds 12372

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem2  15787