mulgcddvds - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mulgcddvds		GIF version

Theorem mulgcddvds 12287

Description: One half of rpmulgcd2 12288, which does not need the coprimality assumption. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
mulgcddvds	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))

**Proof of Theorem mulgcddvds**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		simp2 1000	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simp3 1001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zmulcld 9471	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
5	1, 4	gcdcld 12160	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ₀)
6	5	nn0zd 9463	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ)
7		dvds0 11988	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 0)
8	6, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 0)
9	8	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) = 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 0)
10		oveq2 5933	. . . 4 ⊢ ((𝐾 gcd 𝑁) = 0 → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · 0))
11	1, 2	gcdcld 12160	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℕ₀)
12	11	nn0cnd 9321	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℂ)
13	12	mul01d 8436	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) · 0) = 0)
14	10, 13	sylan9eqr 2251	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) = 0) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) = 0)
15	9, 14	breqtrrd 4062	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) = 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
16	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ)
17	16	zcnd 9466	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℂ)
18	1, 3	gcdcld 12160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℕ₀)
19	18	nn0zd 9463	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
20	19	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
21	20	zcnd 9466	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
22		0zd 9355	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
23		zapne 9417	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) # 0 ↔ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0))
24	19, 22, 23	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) # 0 ↔ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0))
25	24	biimpar 297	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd 𝑁) # 0)
26	17, 21, 25	divcanap1d 8835	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) = (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))
27		gcddvds 12155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
28	1, 4, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
29	28	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 𝐾)
30	6, 1, 19, 29	dvdsmultr1d 12014	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝐾 gcd 𝑁)))
31	30	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝐾 gcd 𝑁)))
32	26, 31	eqbrtrd 4056	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝐾 gcd 𝑁)))
33		gcddvds 12155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
34	1, 3, 33	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
35	34	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾)
36	34	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
37		dvdsmultr2 12015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
38	19, 2, 3, 37	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
39	36, 38	mpd 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
40		dvdsgcd 12204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁))))
41	19, 1, 4, 40	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁))))
42	35, 39, 41	mp2and 433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))
43	42	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))
44		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0)
45		dvdsval2 11972	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0 ∧ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
46	20, 44, 16, 45	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
47	43, 46	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
48	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℤ)
49		dvdsmulcr 12003	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0)) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾))
50	47, 48, 20, 44, 49	syl112anc 1253	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾))
51	32, 50	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾)
52		nn0abscl 11267	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℕ₀)
53	2, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ₀)
54	53	nn0zd 9463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
55		dvdsmultr2 12015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 𝐾 → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝐾)))
56	6, 54, 1, 55	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 𝐾 → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝐾)))
57	29, 56	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝐾))
58	28	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
59		iddvds 11986	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∥ 𝑀)
60	2, 59	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ 𝑀)
61		dvdsabsb 11992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝑀)))
62	2, 2, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝑀)))
63	60, 62	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (abs‘𝑀))
64		dvdsmulc 12001	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘𝑀) → (𝑀 · 𝑁) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)))
65	2, 54, 3, 64	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘𝑀) → (𝑀 · 𝑁) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)))
66	63, 65	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁))
67	54, 3	zmulcld 9471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · 𝑁) ∈ ℤ)
68		dvdstr 12010	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((abs‘𝑀) · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝑀 · 𝑁) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)))
69	6, 4, 67, 68	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝑀 · 𝑁) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)))
70	58, 66, 69	mp2and 433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁))
71	54, 1	zmulcld 9471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · 𝐾) ∈ ℤ)
72		dvdsgcd 12204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((abs‘𝑀) · 𝐾) ∈ ℤ ∧ ((abs‘𝑀) · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝐾) ∧ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁))))
73	6, 71, 67, 72	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝐾) ∧ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁))))
74	57, 70, 73	mp2and 433	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁)))
75	18	nn0red 9320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
76	18	nn0ge0d 9322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝐾 gcd 𝑁))
77	75, 76	absidd 11349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐾 gcd 𝑁)) = (𝐾 gcd 𝑁))
78	77	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · (abs‘(𝐾 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
79	2	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
80	18	nn0cnd 9321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
81	79, 80	absmuld 11376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝑀) · (abs‘(𝐾 gcd 𝑁))))
82		mulgcd 12208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
83	53, 1, 3, 82	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
84	78, 81, 83	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁))) = (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁)))
85	74, 84	breqtrrd 4062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (abs‘(𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁))))
86	2, 19	zmulcld 9471	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
87		dvdsabsb 11992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (abs‘(𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)))))
88	6, 86, 87	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (abs‘(𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)))))
89	85, 88	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)))
90	89	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)))
91	26, 90	eqbrtrd 4056	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)))
92	2	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
93		dvdsmulcr 12003	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0)) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀))
94	47, 92, 20, 44, 93	syl112anc 1253	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀))
95	91, 94	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀)
96		dvdsgcd 12204	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀)))
97	47, 48, 92, 96	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀)))
98	51, 95, 97	mp2and 433	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀))
99	11	nn0zd 9463	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ)
100	99	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ)
101		dvdsmulc 12001	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁))))
102	47, 100, 20, 101	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁))))
103	98, 102	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
104	26, 103	eqbrtrrd 4058	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
105		zdceq 9418	. . . 4 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (𝐾 gcd 𝑁) = 0)
106	19, 22, 105	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝐾 gcd 𝑁) = 0)
107		exmiddc 837	. . . 4 ⊢ (DECID (𝐾 gcd 𝑁) = 0 → ((𝐾 gcd 𝑁) = 0 ∨ ¬ (𝐾 gcd 𝑁) = 0))
108		df-ne 2368	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐾 gcd 𝑁) = 0)
109	108	orbi2i 763	. . . 4 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑁) = 0 ∨ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) ↔ ((𝐾 gcd 𝑁) = 0 ∨ ¬ (𝐾 gcd 𝑁) = 0))
110	107, 109	sylibr 134	. . 3 ⊢ (DECID (𝐾 gcd 𝑁) = 0 → ((𝐾 gcd 𝑁) = 0 ∨ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0))
111	106, 110	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) = 0 ∨ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0))
112	15, 104, 111	mpjaodan 799	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 709 DECID wdc 835 ∧ w3a 980 = wceq 1364 ∈ wcel 2167 ≠ wne 2367 class class class wbr 4034 ‘cfv 5259 (class class class)co 5925 0cc0 7896 · cmul 7901 # cap 8625 / cdiv 8716 ℕ₀cn0 9266 ℤcz 9343 abscabs 11179 ∥ cdvds 11969 gcd cgcd 12145

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7987 ax-resscn 7988 ax-1cn 7989 ax-1re 7990 ax-icn 7991 ax-addcl 7992 ax-addrcl 7993 ax-mulcl 7994 ax-mulrcl 7995 ax-addcom 7996 ax-mulcom 7997 ax-addass 7998 ax-mulass 7999 ax-distr 8000 ax-i2m1 8001 ax-0lt1 8002 ax-1rid 8003 ax-0id 8004 ax-rnegex 8005 ax-precex 8006 ax-cnre 8007 ax-pre-ltirr 8008 ax-pre-ltwlin 8009 ax-pre-lttrn 8010 ax-pre-apti 8011 ax-pre-ltadd 8012 ax-pre-mulgt0 8013 ax-pre-mulext 8014 ax-arch 8015 ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-frec 6458 df-sup 7059 df-pnf 8080 df-mnf 8081 df-xr 8082 df-ltxr 8083 df-le 8084 df-sub 8216 df-neg 8217 df-reap 8619 df-ap 8626 df-div 8717 df-inn 9008 df-2 9066 df-3 9067 df-4 9068 df-n0 9267 df-z 9344 df-uz 9619 df-q 9711 df-rp 9746 df-fz 10101 df-fzo 10235 df-fl 10377 df-mod 10432 df-seqfrec 10557 df-exp 10648 df-cj 11024 df-re 11025 df-im 11026 df-rsqrt 11180 df-abs 11181 df-dvds 11970 df-gcd 12146

This theorem is referenced by: rpmulgcd2 12288 rpmul 12291

W3C validator