Theorem peano2z 8942

Description: Second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2z	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 8910	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		1red 7653	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 7667	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4		elznn0nn 8920	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
5	4	biimpi 119	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
6	1	biantrurd 301	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
7	6	orbi2d 745	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ))))
8	5, 7	mpbird 166	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
9		peano2nn0 8869	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
10	9	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
11	1	adantr 272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
12		1red 7653	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
13	11, 12	readdcld 7667	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
14	13	renegcld 8009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) ∈ ℝ)
15	14	recnd 7666	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) ∈ ℂ)
16	11	recnd 7666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
17		1cnd 7654	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
18	16, 17	negdid 7957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
19	18	oveq1d 5721	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = ((-𝑁 + -1) + 1))
20	16	negcld 7931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℂ)
21		neg1cn 8683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℂ
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
23	20, 22, 17	addassd 7660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((-𝑁 + -1) + 1) = (-𝑁 + (-1 + 1)))
24	19, 23	eqtrd 2132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = (-𝑁 + (-1 + 1)))
25		ax-1cn 7588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		1pneg1e0 8689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + -1) = 0
27	25, 21, 26	addcomli 7778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 + 1) = 0
28	27	oveq2i 5717	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑁 + (-1 + 1)) = (-𝑁 + 0)
29	24, 28	syl6eq 2148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = (-𝑁 + 0))
30	20	addid1d 7782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 + 0) = -𝑁)
31	29, 30	eqtrd 2132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = -𝑁)
32		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ)
33	31, 32	eqeltrd 2176	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ)
34		elnn0nn 8871	. . . . . 6 ⊢ (-(𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ↔ (-(𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (-(𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ))
35	15, 33, 34	sylanbrc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
36	35	ex 114	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 ∈ ℕ → -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
37	10, 36	orim12d 741	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0)))
38	8, 37	mpd 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
39		elznn0 8921	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0)))
40	3, 38, 39	sylanbrc 411	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 670   ∈ wcel 1448  (class class class)co 5706  ℂcc 7498  ℝcr 7499  0cc0 7500  1c1 7501   + caddc 7503  -cneg 7805  ℕcn 8578  ℕ₀cn0 8829  ℤcz 8906

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907

This theorem is referenced by:  zaddcllempos  8943  peano2zm  8944  zleltp1  8961  btwnnz  8997  peano2uz2  9010  uzind  9014  uzind2  9015  peano2zd  9028  eluzp1m1  9199  eluzp1p1  9201  peano2uz  9228  zltaddlt1le  9630  fzp1disj  9701  elfzp1b  9718  fzneuz  9722  fzp1nel  9725  fzval3  9822  fzossfzop1  9830  rebtwn2zlemstep  9871  flhalf  9916  frec2uzsucd  10015  zesq  10251  hashfzp1  10411  odd2np1lem  11364  odd2np1  11365  mulsucdiv2z  11377  oddp1d2  11382  zob  11383  ltoddhalfle  11385