ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2z GIF version

Theorem peano2z 9113
Description: Second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2z (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2z
StepHypRef Expression
1 zre 9081 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 1red 7804 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 7818 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4 elznn0nn 9091 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
54biimpi 119 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
61biantrurd 303 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
76orbi2d 780 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ))))
85, 7mpbird 166 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
9 peano2nn0 9040 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
109a1i 9 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
111adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
12 1red 7804 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
1311, 12readdcld 7818 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
1413renegcld 8165 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) ∈ ℝ)
1514recnd 7817 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) ∈ ℂ)
1611recnd 7817 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
17 1cnd 7805 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
1816, 17negdid 8109 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
1918oveq1d 5796 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = ((-𝑁 + -1) + 1))
2016negcld 8083 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℂ)
21 neg1cn 8848 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℂ
2221a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
2320, 22, 17addassd 7811 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((-𝑁 + -1) + 1) = (-𝑁 + (-1 + 1)))
2419, 23eqtrd 2173 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = (-𝑁 + (-1 + 1)))
25 ax-1cn 7736 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
26 1pneg1e0 8854 . . . . . . . . . . 11 (1 + -1) = 0
2725, 21, 26addcomli 7930 . . . . . . . . . 10 (-1 + 1) = 0
2827oveq2i 5792 . . . . . . . . 9 (-𝑁 + (-1 + 1)) = (-𝑁 + 0)
2924, 28eqtrdi 2189 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = (-𝑁 + 0))
3020addid1d 7934 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 + 0) = -𝑁)
3129, 30eqtrd 2173 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = -𝑁)
32 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ)
3331, 32eqeltrd 2217 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ)
34 elnn0nn 9042 . . . . . 6 (-(𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ↔ (-(𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (-(𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ))
3515, 33, 34sylanbrc 414 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3635ex 114 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 ∈ ℕ → -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
3710, 36orim12d 776 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0)))
388, 37mpd 13 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
39 elznn0 9092 . 2 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0)))
403, 38, 39sylanbrc 414 1 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 698  wcel 1481  (class class class)co 5781  cc 7641  cr 7642  0cc0 7643  1c1 7644   + caddc 7646  -cneg 7957  cn 8743  0cn0 9000  cz 9077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078
This theorem is referenced by:  zaddcllempos  9114  peano2zm  9115  zleltp1  9132  btwnnz  9168  peano2uz2  9181  uzind  9185  uzind2  9186  peano2zd  9199  eluzp1m1  9372  eluzp1p1  9374  peano2uz  9404  zltaddlt1le  9819  fzp1disj  9890  elfzp1b  9907  fzneuz  9911  fzp1nel  9914  fzval3  10011  fzossfzop1  10019  rebtwn2zlemstep  10060  flhalf  10105  frec2uzsucd  10204  zesq  10440  hashfzp1  10601  odd2np1lem  11603  odd2np1  11604  mulsucdiv2z  11616  oddp1d2  11621  zob  11622  ltoddhalfle  11624
  Copyright terms: Public domain W3C validator