Theorem peano2z 9559

Description: Second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2z	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9527	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		1red 8237	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 8251	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4		elznn0nn 9537	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
5	4	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
6	1	biantrurd 305	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
7	6	orbi2d 798	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ))))
8	5, 7	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
9		peano2nn0 9484	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
10	9	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
11	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
12		1red 8237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
13	11, 12	readdcld 8251	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
14	13	renegcld 8601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) ∈ ℝ)
15	14	recnd 8250	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) ∈ ℂ)
16	11	recnd 8250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
17		1cnd 8238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
18	16, 17	negdid 8545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
19	18	oveq1d 6043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = ((-𝑁 + -1) + 1))
20	16	negcld 8519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℂ)
21		neg1cn 9290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℂ
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
23	20, 22, 17	addassd 8244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((-𝑁 + -1) + 1) = (-𝑁 + (-1 + 1)))
24	19, 23	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = (-𝑁 + (-1 + 1)))
25		ax-1cn 8168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		1pneg1e0 9296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + -1) = 0
27	25, 21, 26	addcomli 8366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 + 1) = 0
28	27	oveq2i 6039	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑁 + (-1 + 1)) = (-𝑁 + 0)
29	24, 28	eqtrdi 2280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = (-𝑁 + 0))
30	20	addridd 8370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 + 0) = -𝑁)
31	29, 30	eqtrd 2264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = -𝑁)
32		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ)
33	31, 32	eqeltrd 2308	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ)
34		elnn0nn 9486	. . . . . 6 ⊢ (-(𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ↔ (-(𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (-(𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ))
35	15, 33, 34	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
36	35	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 ∈ ℕ → -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
37	10, 36	orim12d 794	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0)))
38	8, 37	mpd 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
39		elznn0 9538	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0)))
40	3, 38, 39	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   + caddc 8078  -cneg 8393  ℕcn 9185  ℕ₀cn0 9444  ℤcz 9523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524

This theorem is referenced by:  zaddcllempos  9560  peano2zm  9561  zleltp1  9579  btwnnz  9618  peano2uz2  9631  uzind  9635  uzind2  9636  peano2zd  9649  eluzp1m1  9824  eluzp1p1  9826  peano2uz  9861  zltaddlt1le  10287  fzp1disj  10360  elfzp1b  10377  fzneuz  10381  fzp1nel  10384  fzval3  10495  fzossfzop1  10503  rebtwn2zlemstep  10558  flhalf  10608  frec2uzsucd  10709  zesq  10966  hashfzp1  11134  odd2np1lem  12496  odd2np1  12497  mulsucdiv2z  12509  oddp1d2  12514  zob  12515  ltoddhalfle  12517  fldivp1  12984  lgsdir2lem2  15831