Theorem peano2z 9381

Description: Second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2z	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9349	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		1red 8060	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 8075	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4		elznn0nn 9359	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
5	4	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
6	1	biantrurd 305	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
7	6	orbi2d 791	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ))))
8	5, 7	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
9		peano2nn0 9308	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
10	9	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
11	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
12		1red 8060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
13	11, 12	readdcld 8075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
14	13	renegcld 8425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) ∈ ℝ)
15	14	recnd 8074	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) ∈ ℂ)
16	11	recnd 8074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
17		1cnd 8061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
18	16, 17	negdid 8369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
19	18	oveq1d 5940	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = ((-𝑁 + -1) + 1))
20	16	negcld 8343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℂ)
21		neg1cn 9114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℂ
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
23	20, 22, 17	addassd 8068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((-𝑁 + -1) + 1) = (-𝑁 + (-1 + 1)))
24	19, 23	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = (-𝑁 + (-1 + 1)))
25		ax-1cn 7991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		1pneg1e0 9120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + -1) = 0
27	25, 21, 26	addcomli 8190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 + 1) = 0
28	27	oveq2i 5936	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑁 + (-1 + 1)) = (-𝑁 + 0)
29	24, 28	eqtrdi 2245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = (-𝑁 + 0))
30	20	addridd 8194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 + 0) = -𝑁)
31	29, 30	eqtrd 2229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = -𝑁)
32		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ)
33	31, 32	eqeltrd 2273	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ)
34		elnn0nn 9310	. . . . . 6 ⊢ (-(𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ↔ (-(𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (-(𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ))
35	15, 33, 34	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
36	35	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 ∈ ℕ → -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
37	10, 36	orim12d 787	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0)))
38	8, 37	mpd 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
39		elznn0 9360	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0)))
40	3, 38, 39	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  ℂcc 7896  ℝcr 7897  0cc0 7898  1c1 7899   + caddc 7901  -cneg 8217  ℕcn 9009  ℕ₀cn0 9268  ℤcz 9345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-n0 9269  df-z 9346

This theorem is referenced by:  zaddcllempos  9382  peano2zm  9383  zleltp1  9400  btwnnz  9439  peano2uz2  9452  uzind  9456  uzind2  9457  peano2zd  9470  eluzp1m1  9644  eluzp1p1  9646  peano2uz  9676  zltaddlt1le  10101  fzp1disj  10174  elfzp1b  10191  fzneuz  10195  fzp1nel  10198  fzval3  10299  fzossfzop1  10307  rebtwn2zlemstep  10361  flhalf  10411  frec2uzsucd  10512  zesq  10769  hashfzp1  10935  odd2np1lem  12056  odd2np1  12057  mulsucdiv2z  12069  oddp1d2  12074  zob  12075  ltoddhalfle  12077  fldivp1  12544  lgsdir2lem2  15378