Theorem peano2z 9390

Description: Second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2z	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9358	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		1red 8069	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 8084	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4		elznn0nn 9368	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
5	4	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
6	1	biantrurd 305	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
7	6	orbi2d 791	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ))))
8	5, 7	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
9		peano2nn0 9317	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
10	9	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
11	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
12		1red 8069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
13	11, 12	readdcld 8084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
14	13	renegcld 8434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) ∈ ℝ)
15	14	recnd 8083	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) ∈ ℂ)
16	11	recnd 8083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
17		1cnd 8070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
18	16, 17	negdid 8378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
19	18	oveq1d 5949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = ((-𝑁 + -1) + 1))
20	16	negcld 8352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℂ)
21		neg1cn 9123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℂ
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
23	20, 22, 17	addassd 8077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((-𝑁 + -1) + 1) = (-𝑁 + (-1 + 1)))
24	19, 23	eqtrd 2237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = (-𝑁 + (-1 + 1)))
25		ax-1cn 8000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		1pneg1e0 9129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + -1) = 0
27	25, 21, 26	addcomli 8199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 + 1) = 0
28	27	oveq2i 5945	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑁 + (-1 + 1)) = (-𝑁 + 0)
29	24, 28	eqtrdi 2253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = (-𝑁 + 0))
30	20	addridd 8203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 + 0) = -𝑁)
31	29, 30	eqtrd 2237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = -𝑁)
32		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ)
33	31, 32	eqeltrd 2281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ)
34		elnn0nn 9319	. . . . . 6 ⊢ (-(𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ↔ (-(𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (-(𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ))
35	15, 33, 34	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
36	35	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 ∈ ℕ → -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
37	10, 36	orim12d 787	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0)))
38	8, 37	mpd 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
39		elznn0 9369	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0)))
40	3, 38, 39	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   ∈ wcel 2175  (class class class)co 5934  ℂcc 7905  ℝcr 7906  0cc0 7907  1c1 7908   + caddc 7910  -cneg 8226  ℕcn 9018  ℕ₀cn0 9277  ℤcz 9354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-sub 8227  df-neg 8228  df-inn 9019  df-n0 9278  df-z 9355

This theorem is referenced by:  zaddcllempos  9391  peano2zm  9392  zleltp1  9410  btwnnz  9449  peano2uz2  9462  uzind  9466  uzind2  9467  peano2zd  9480  eluzp1m1  9654  eluzp1p1  9656  peano2uz  9686  zltaddlt1le  10111  fzp1disj  10184  elfzp1b  10201  fzneuz  10205  fzp1nel  10208  fzval3  10314  fzossfzop1  10322  rebtwn2zlemstep  10376  flhalf  10426  frec2uzsucd  10527  zesq  10784  hashfzp1  10950  odd2np1lem  12102  odd2np1  12103  mulsucdiv2z  12115  oddp1d2  12120  zob  12121  ltoddhalfle  12123  fldivp1  12590  lgsdir2lem2  15424