Theorem peano2z 9260

Description: Second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2z	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9228	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		1red 7947	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 7961	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4		elznn0nn 9238	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
5	4	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
6	1	biantrurd 305	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
7	6	orbi2d 790	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ))))
8	5, 7	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
9		peano2nn0 9187	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
10	9	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
11	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
12		1red 7947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
13	11, 12	readdcld 7961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
14	13	renegcld 8311	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) ∈ ℝ)
15	14	recnd 7960	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) ∈ ℂ)
16	11	recnd 7960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
17		1cnd 7948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
18	16, 17	negdid 8255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
19	18	oveq1d 5880	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = ((-𝑁 + -1) + 1))
20	16	negcld 8229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℂ)
21		neg1cn 8995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℂ
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
23	20, 22, 17	addassd 7954	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((-𝑁 + -1) + 1) = (-𝑁 + (-1 + 1)))
24	19, 23	eqtrd 2208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = (-𝑁 + (-1 + 1)))
25		ax-1cn 7879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		1pneg1e0 9001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + -1) = 0
27	25, 21, 26	addcomli 8076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 + 1) = 0
28	27	oveq2i 5876	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑁 + (-1 + 1)) = (-𝑁 + 0)
29	24, 28	eqtrdi 2224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = (-𝑁 + 0))
30	20	addid1d 8080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 + 0) = -𝑁)
31	29, 30	eqtrd 2208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = -𝑁)
32		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ)
33	31, 32	eqeltrd 2252	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ)
34		elnn0nn 9189	. . . . . 6 ⊢ (-(𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ↔ (-(𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (-(𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ))
35	15, 33, 34	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
36	35	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 ∈ ℕ → -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
37	10, 36	orim12d 786	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0)))
38	8, 37	mpd 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
39		elznn0 9239	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0)))
40	3, 38, 39	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708   ∈ wcel 2146  (class class class)co 5865  ℂcc 7784  ℝcr 7785  0cc0 7786  1c1 7787   + caddc 7789  -cneg 8103  ℕcn 8890  ℕ₀cn0 9147  ℤcz 9224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-n0 9148  df-z 9225

This theorem is referenced by:  zaddcllempos  9261  peano2zm  9262  zleltp1  9279  btwnnz  9318  peano2uz2  9331  uzind  9335  uzind2  9336  peano2zd  9349  eluzp1m1  9522  eluzp1p1  9524  peano2uz  9554  zltaddlt1le  9976  fzp1disj  10048  elfzp1b  10065  fzneuz  10069  fzp1nel  10072  fzval3  10172  fzossfzop1  10180  rebtwn2zlemstep  10221  flhalf  10270  frec2uzsucd  10369  zesq  10606  hashfzp1  10770  odd2np1lem  11842  odd2np1  11843  mulsucdiv2z  11855  oddp1d2  11860  zob  11861  ltoddhalfle  11863  fldivp1  12311  lgsdir2lem2  13981