Theorem eluzelcn 9943

Description: A member of an upper set of integers is a complex number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelcn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Proof of Theorem eluzelcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 9942	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	recnd 8355	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  ℂcc 8178  ℤ_≥cuz 9931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-neg 8502  df-z 9650  df-uz 9932

This theorem is used by:  uzp1  9966  peano2uzr  9995  uzaddcl  9996  eluzgtdifelfzo  10626  fzosplitpr  10663  rebtwn2zlemstep  10698  fldiv4lem1div2uz2  10756  mulp1mod1  10817  seq3m1  10925  facnn  11181  fac0  11182  fac1  11183  facp1  11184  bcval5  11217  bcn2  11218  swrdfv2  11451  shftuz  11598  seq3shft  11619  climshftlemg  12087  climshft  12089  isumshft  12276  dvdsexp  12647  pclem0  13088  gzsumconst  14227  clwwlkext2edg  16829  clwwlknonex2lem1  16844  clwwlknonex2lem2  16845  clwwlknonex2  16846