Theorem eluzle 9884

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9877	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1041	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357   ≤ cle 8325  ℤcz 9594  ℤ_≥cuz 9871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-neg 8463  df-z 9595  df-uz 9872

This theorem is referenced by:  uztrn  9889  uzneg  9891  uzss  9893  uz11  9895  eluzp1l  9897  uzm1  9903  uzin  9905  uzind4  9938  elfz5  10370  elfzle1  10381  elfzle2  10382  elfzle3  10384  uzsplit  10448  uzdisj  10449  uznfz  10459  elfz2nn0  10468  uzsubfz0  10485  nn0disj  10494  fzouzdisj  10538  fzoun  10539  elfzonelfzo  10597  infssuzex  10615  suprzubdc  10620  fldiv4lem1div2uz2  10690  mulp1mod1  10751  m1modge3gt1  10757  uzennn  10822  seq3split  10874  seq3f1olemqsumk  10898  seq3f1o  10903  seq3coll  11239  swrdlen2  11379  swrdfv2  11380  seq3shft  11548  cvg1nlemcau  11694  resqrexlemcvg  11729  resqrexlemga  11733  summodclem2a  12092  fsum3  12098  fsum3cvg3  12107  fsumadd  12117  sumsnf  12120  fsummulc2  12159  isumshft  12201  divcnv  12208  geolim2  12223  cvgratnnlemseq  12237  cvgratnnlemsumlt  12239  cvgratz  12243  mertenslemi1  12246  prodmodclem3  12286  prodmodclem2a  12287  fprodntrivap  12295  prodsnf  12303  fprodeq0  12328  efcllemp  12369  dvdsbnd  12677  uzwodc  12758  ncoprmgcdne1b  12811  isprm5  12864  hashdvds  12943  pcmpt2  13067  pcfaclem  13072  pcfac  13073  nninfdclemp1  13285  strext  13402  gsumfzval  13654  gsumshift  14105  znidom  14931  lgslem1  15999  lgsdirprm  16033  lgseisen  16073  cvgcmp2nlemabs  16942