Theorem eluzle 9539

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9533	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1014	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4003  ‘cfv 5216   ≤ cle 7992  ℤcz 9252  ℤ_≥cuz 9527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-neg 8130  df-z 9253  df-uz 9528

This theorem is referenced by:  uztrn  9543  uzneg  9545  uzss  9547  uz11  9549  eluzp1l  9551  uzm1  9557  uzin  9559  uzind4  9587  elfz5  10016  elfzle1  10026  elfzle2  10027  elfzle3  10029  uzsplit  10091  uzdisj  10092  uznfz  10102  elfz2nn0  10111  uzsubfz0  10128  nn0disj  10137  fzouzdisj  10179  elfzonelfzo  10229  mulp1mod1  10364  m1modge3gt1  10370  uzennn  10435  seq3split  10478  seq3f1olemqsumk  10498  seq3f1o  10503  seq3coll  10821  seq3shft  10846  cvg1nlemcau  10992  resqrexlemcvg  11027  resqrexlemga  11031  summodclem2a  11388  fsum3  11394  fsum3cvg3  11403  fsumadd  11413  sumsnf  11416  fsummulc2  11455  isumshft  11497  divcnv  11504  geolim2  11519  cvgratnnlemseq  11533  cvgratnnlemsumlt  11535  cvgratz  11539  mertenslemi1  11542  prodmodclem3  11582  prodmodclem2a  11583  fprodntrivap  11591  prodsnf  11599  fprodeq0  11624  efcllemp  11665  infssuzex  11949  suprzubdc  11952  dvdsbnd  11956  uzwodc  12037  ncoprmgcdne1b  12088  isprm5  12141  hashdvds  12220  pcmpt2  12341  pcfaclem  12346  pcfac  12347  nninfdclemp1  12450  strext  12563  lgslem1  14371  lgsdirprm  14405  cvgcmp2nlemabs  14750