Theorem eluzle 9768

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9761	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1040	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326   ≤ cle 8215  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6021  df-neg 8353  df-z 9480  df-uz 9756

This theorem is referenced by:  uztrn  9773  uzneg  9775  uzss  9777  uz11  9779  eluzp1l  9781  uzm1  9787  uzin  9789  uzind4  9822  elfz5  10252  elfzle1  10262  elfzle2  10263  elfzle3  10265  uzsplit  10327  uzdisj  10328  uznfz  10338  elfz2nn0  10347  uzsubfz0  10364  nn0disj  10373  fzouzdisj  10417  fzoun  10418  elfzonelfzo  10476  infssuzex  10494  suprzubdc  10497  fldiv4lem1div2uz2  10567  mulp1mod1  10628  m1modge3gt1  10634  uzennn  10699  seq3split  10751  seq3f1olemqsumk  10775  seq3f1o  10780  seq3coll  11107  swrdlen2  11247  swrdfv2  11248  seq3shft  11416  cvg1nlemcau  11562  resqrexlemcvg  11597  resqrexlemga  11601  summodclem2a  11960  fsum3  11966  fsum3cvg3  11975  fsumadd  11985  sumsnf  11988  fsummulc2  12027  isumshft  12069  divcnv  12076  geolim2  12091  cvgratnnlemseq  12105  cvgratnnlemsumlt  12107  cvgratz  12111  mertenslemi1  12114  prodmodclem3  12154  prodmodclem2a  12155  fprodntrivap  12163  prodsnf  12171  fprodeq0  12196  efcllemp  12237  dvdsbnd  12545  uzwodc  12626  ncoprmgcdne1b  12679  isprm5  12732  hashdvds  12811  pcmpt2  12935  pcfaclem  12940  pcfac  12941  nninfdclemp1  13089  strext  13206  gsumfzval  13492  znidom  14690  lgslem1  15748  lgsdirprm  15782  lgseisen  15822  cvgcmp2nlemabs  16687  gsumgfsumlem  16735