Theorem eluzle 9943

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9936	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1045	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377   ≤ cle 8361  ℤcz 9648  ℤ_≥cuz 9930

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-neg 8501  df-z 9649  df-uz 9931

This theorem is used by:  uztrn  9948  uzneg  9950  uzss  9952  uz11  9954  eluzp1l  9956  uzm1  9962  uzin  9964  uzind4  9997  elfz5  10430  elfzle1  10441  elfzle2  10442  elfzle3  10444  uzsplit  10509  uzdisj  10510  uznfz  10520  elfz2nn0  10529  uzsubfz0  10546  nn0disj  10555  fzouzdisj  10599  fzoun  10600  elfzonelfzo  10658  infssuzex  10676  suprzubdc  10681  fldiv4lem1div2uz2  10754  mulp1mod1  10815  m1modge3gt1  10821  uzennn  10886  seq3split  10938  seq3f1olemqsumk  10962  seq3f1o  10967  seq3coll  11308  swrdlen2  11448  swrdfv2  11449  seq3shft  11617  cvg1nlemcau  11764  resqrexlemcvg  11799  resqrexlemga  11803  summodclem2a  12164  fsum3  12170  fsum3cvg3  12179  fsumadd  12189  sumsnf  12192  fsummulc2  12231  isumshft  12273  divcnv  12280  geolim2  12295  cvgratnnlemseq  12309  cvgratnnlemsumlt  12311  cvgratz  12315  mertenslemi1  12318  prodmodclem3  12358  prodmodclem2a  12359  fprodntrivap  12367  prodsnf  12375  fprodeq0  12400  efcllemp  12441  dvdsbnd  12749  uzwodc  12830  ncoprmgcdne1b  12883  isprm5  12937  hashdvds  13019  pcmpt2  13143  pcfaclem  13148  pcfac  13149  prmlem1  13242  prmlem2  13254  nninfdclemp1  13390  strext  13508  gzsumfzval  13760  gzsumshift  14198  znidom  15041  log2tlbndlog2  16139  bcmax  16203  bpos1lem  16207  bpos1  16208  bposlem3  16211  bposlem4  16212  bposlem5  16213  lgslem1  16217  lgsdirprm  16251  lgseisen  16291  cvgcmp2nlemabs  17179