Theorem eluzle 9746

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9739	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1038	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318   ≤ cle 8193  ℤcz 9457  ℤ_≥cuz 9733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6010  df-neg 8331  df-z 9458  df-uz 9734

This theorem is referenced by:  uztrn  9751  uzneg  9753  uzss  9755  uz11  9757  eluzp1l  9759  uzm1  9765  uzin  9767  uzind4  9795  elfz5  10225  elfzle1  10235  elfzle2  10236  elfzle3  10238  uzsplit  10300  uzdisj  10301  uznfz  10311  elfz2nn0  10320  uzsubfz0  10337  nn0disj  10346  fzouzdisj  10390  fzoun  10391  elfzonelfzo  10448  infssuzex  10465  suprzubdc  10468  fldiv4lem1div2uz2  10538  mulp1mod1  10599  m1modge3gt1  10605  uzennn  10670  seq3split  10722  seq3f1olemqsumk  10746  seq3f1o  10751  seq3coll  11077  swrdlen2  11209  swrdfv2  11210  seq3shft  11364  cvg1nlemcau  11510  resqrexlemcvg  11545  resqrexlemga  11549  summodclem2a  11907  fsum3  11913  fsum3cvg3  11922  fsumadd  11932  sumsnf  11935  fsummulc2  11974  isumshft  12016  divcnv  12023  geolim2  12038  cvgratnnlemseq  12052  cvgratnnlemsumlt  12054  cvgratz  12058  mertenslemi1  12061  prodmodclem3  12101  prodmodclem2a  12102  fprodntrivap  12110  prodsnf  12118  fprodeq0  12143  efcllemp  12184  dvdsbnd  12492  uzwodc  12573  ncoprmgcdne1b  12626  isprm5  12679  hashdvds  12758  pcmpt2  12882  pcfaclem  12887  pcfac  12888  nninfdclemp1  13036  strext  13153  gsumfzval  13439  znidom  14636  lgslem1  15694  lgsdirprm  15728  lgseisen  15768  cvgcmp2nlemabs  16460