Theorem eluzle 9632

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9626	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1016	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259   ≤ cle 8081  ℤcz 9345  ℤ_≥cuz 9620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-neg 8219  df-z 9346  df-uz 9621

This theorem is referenced by:  uztrn  9637  uzneg  9639  uzss  9641  uz11  9643  eluzp1l  9645  uzm1  9651  uzin  9653  uzind4  9681  elfz5  10111  elfzle1  10121  elfzle2  10122  elfzle3  10124  uzsplit  10186  uzdisj  10187  uznfz  10197  elfz2nn0  10206  uzsubfz0  10223  nn0disj  10232  fzouzdisj  10275  elfzonelfzo  10325  infssuzex  10342  suprzubdc  10345  fldiv4lem1div2uz2  10415  mulp1mod1  10476  m1modge3gt1  10482  uzennn  10547  seq3split  10599  seq3f1olemqsumk  10623  seq3f1o  10628  seq3coll  10953  seq3shft  11022  cvg1nlemcau  11168  resqrexlemcvg  11203  resqrexlemga  11207  summodclem2a  11565  fsum3  11571  fsum3cvg3  11580  fsumadd  11590  sumsnf  11593  fsummulc2  11632  isumshft  11674  divcnv  11681  geolim2  11696  cvgratnnlemseq  11710  cvgratnnlemsumlt  11712  cvgratz  11716  mertenslemi1  11719  prodmodclem3  11759  prodmodclem2a  11760  fprodntrivap  11768  prodsnf  11776  fprodeq0  11801  efcllemp  11842  dvdsbnd  12150  uzwodc  12231  ncoprmgcdne1b  12284  isprm5  12337  hashdvds  12416  pcmpt2  12540  pcfaclem  12545  pcfac  12546  nninfdclemp1  12694  strext  12810  gsumfzval  13095  znidom  14291  lgslem1  15349  lgsdirprm  15383  lgseisen  15423  cvgcmp2nlemabs  15789