Theorem eluzle 9534

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9528	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1014	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4001  ‘cfv 5213   ≤ cle 7987  ℤcz 9247  ℤ_≥cuz 9522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-id 4291  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-fv 5221  df-ov 5873  df-neg 8125  df-z 9248  df-uz 9523

This theorem is referenced by:  uztrn  9538  uzneg  9540  uzss  9542  uz11  9544  eluzp1l  9546  uzm1  9552  uzin  9554  uzind4  9582  elfz5  10010  elfzle1  10020  elfzle2  10021  elfzle3  10023  uzsplit  10085  uzdisj  10086  uznfz  10096  elfz2nn0  10105  uzsubfz0  10122  nn0disj  10131  fzouzdisj  10173  elfzonelfzo  10223  mulp1mod1  10358  m1modge3gt1  10364  uzennn  10429  seq3split  10472  seq3f1olemqsumk  10492  seq3f1o  10497  seq3coll  10813  seq3shft  10838  cvg1nlemcau  10984  resqrexlemcvg  11019  resqrexlemga  11023  summodclem2a  11380  fsum3  11386  fsum3cvg3  11395  fsumadd  11405  sumsnf  11408  fsummulc2  11447  isumshft  11489  divcnv  11496  geolim2  11511  cvgratnnlemseq  11525  cvgratnnlemsumlt  11527  cvgratz  11531  mertenslemi1  11534  prodmodclem3  11574  prodmodclem2a  11575  fprodntrivap  11583  prodsnf  11591  fprodeq0  11616  efcllemp  11657  infssuzex  11940  suprzubdc  11943  dvdsbnd  11947  uzwodc  12028  ncoprmgcdne1b  12079  isprm5  12132  hashdvds  12211  pcmpt2  12332  pcfaclem  12337  pcfac  12338  nninfdclemp1  12441  strext  12554  lgslem1  14183  lgsdirprm  14217  cvgcmp2nlemabs  14551