Theorem eluzle 9604

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9598	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1016	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254   ≤ cle 8055  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-neg 8193  df-z 9318  df-uz 9593

This theorem is referenced by:  uztrn  9609  uzneg  9611  uzss  9613  uz11  9615  eluzp1l  9617  uzm1  9623  uzin  9625  uzind4  9653  elfz5  10083  elfzle1  10093  elfzle2  10094  elfzle3  10096  uzsplit  10158  uzdisj  10159  uznfz  10169  elfz2nn0  10178  uzsubfz0  10195  nn0disj  10204  fzouzdisj  10247  elfzonelfzo  10297  fldiv4lem1div2uz2  10375  mulp1mod1  10436  m1modge3gt1  10442  uzennn  10507  seq3split  10559  seq3f1olemqsumk  10583  seq3f1o  10588  seq3coll  10913  seq3shft  10982  cvg1nlemcau  11128  resqrexlemcvg  11163  resqrexlemga  11167  summodclem2a  11524  fsum3  11530  fsum3cvg3  11539  fsumadd  11549  sumsnf  11552  fsummulc2  11591  isumshft  11633  divcnv  11640  geolim2  11655  cvgratnnlemseq  11669  cvgratnnlemsumlt  11671  cvgratz  11675  mertenslemi1  11678  prodmodclem3  11718  prodmodclem2a  11719  fprodntrivap  11727  prodsnf  11735  fprodeq0  11760  efcllemp  11801  infssuzex  12086  suprzubdc  12089  dvdsbnd  12093  uzwodc  12174  ncoprmgcdne1b  12227  isprm5  12280  hashdvds  12359  pcmpt2  12482  pcfaclem  12487  pcfac  12488  nninfdclemp1  12607  strext  12723  gsumfzval  12974  znidom  14145  lgslem1  15116  lgsdirprm  15150  lgseisen  15190  cvgcmp2nlemabs  15522