Theorem eluzle 9542

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9536	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1014	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218   ≤ cle 7995  ℤcz 9255  ℤ_≥cuz 9530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-neg 8133  df-z 9256  df-uz 9531

This theorem is referenced by:  uztrn  9546  uzneg  9548  uzss  9550  uz11  9552  eluzp1l  9554  uzm1  9560  uzin  9562  uzind4  9590  elfz5  10019  elfzle1  10029  elfzle2  10030  elfzle3  10032  uzsplit  10094  uzdisj  10095  uznfz  10105  elfz2nn0  10114  uzsubfz0  10131  nn0disj  10140  fzouzdisj  10182  elfzonelfzo  10232  mulp1mod1  10367  m1modge3gt1  10373  uzennn  10438  seq3split  10481  seq3f1olemqsumk  10501  seq3f1o  10506  seq3coll  10824  seq3shft  10849  cvg1nlemcau  10995  resqrexlemcvg  11030  resqrexlemga  11034  summodclem2a  11391  fsum3  11397  fsum3cvg3  11406  fsumadd  11416  sumsnf  11419  fsummulc2  11458  isumshft  11500  divcnv  11507  geolim2  11522  cvgratnnlemseq  11536  cvgratnnlemsumlt  11538  cvgratz  11542  mertenslemi1  11545  prodmodclem3  11585  prodmodclem2a  11586  fprodntrivap  11594  prodsnf  11602  fprodeq0  11627  efcllemp  11668  infssuzex  11952  suprzubdc  11955  dvdsbnd  11959  uzwodc  12040  ncoprmgcdne1b  12091  isprm5  12144  hashdvds  12223  pcmpt2  12344  pcfaclem  12349  pcfac  12350  nninfdclemp1  12453  strext  12566  lgslem1  14486  lgsdirprm  14520  cvgcmp2nlemabs  14865