Theorem eluzle 9540

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9534	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1014	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  ‘cfv 5217   ≤ cle 7993  ℤcz 9253  ℤ_≥cuz 9528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-ov 5878  df-neg 8131  df-z 9254  df-uz 9529

This theorem is referenced by:  uztrn  9544  uzneg  9546  uzss  9548  uz11  9550  eluzp1l  9552  uzm1  9558  uzin  9560  uzind4  9588  elfz5  10017  elfzle1  10027  elfzle2  10028  elfzle3  10030  uzsplit  10092  uzdisj  10093  uznfz  10103  elfz2nn0  10112  uzsubfz0  10129  nn0disj  10138  fzouzdisj  10180  elfzonelfzo  10230  mulp1mod1  10365  m1modge3gt1  10371  uzennn  10436  seq3split  10479  seq3f1olemqsumk  10499  seq3f1o  10504  seq3coll  10822  seq3shft  10847  cvg1nlemcau  10993  resqrexlemcvg  11028  resqrexlemga  11032  summodclem2a  11389  fsum3  11395  fsum3cvg3  11404  fsumadd  11414  sumsnf  11417  fsummulc2  11456  isumshft  11498  divcnv  11505  geolim2  11520  cvgratnnlemseq  11534  cvgratnnlemsumlt  11536  cvgratz  11540  mertenslemi1  11543  prodmodclem3  11583  prodmodclem2a  11584  fprodntrivap  11592  prodsnf  11600  fprodeq0  11625  efcllemp  11666  infssuzex  11950  suprzubdc  11953  dvdsbnd  11957  uzwodc  12038  ncoprmgcdne1b  12089  isprm5  12142  hashdvds  12221  pcmpt2  12342  pcfaclem  12347  pcfac  12348  nninfdclemp1  12451  strext  12564  lgslem1  14404  lgsdirprm  14438  cvgcmp2nlemabs  14783