Theorem eluzle 9949

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9942	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1045	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380   ≤ cle 8367  ℤcz 9653  ℤ_≥cuz 9936

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-neg 8507  df-z 9654  df-uz 9937

This theorem is used by:  uztrn  9954  uzneg  9956  uzss  9958  uz11  9960  eluzp1l  9962  uzm1  9968  uzin  9970  uzind4  10003  elfz5  10436  elfzle1  10447  elfzle2  10448  elfzle3  10450  uzsplit  10515  uzdisj  10516  uznfz  10526  elfz2nn0  10535  uzsubfz0  10552  nn0disj  10561  fzouzdisj  10605  fzoun  10606  elfzonelfzo  10664  infssuzex  10682  suprzubdc  10687  fldiv4lem1div2uz2  10761  mulp1mod1  10822  m1modge3gt1  10828  uzennn  10893  seq3split  10945  seq3f1olemqsumk  10969  seq3f1o  10974  seq3coll  11315  swrdlen2  11455  swrdfv2  11456  seq3shft  11624  cvg1nlemcau  11771  resqrexlemcvg  11806  resqrexlemga  11810  summodclem2a  12172  fsum3  12178  fsum3cvg3  12187  fsumadd  12197  sumsnf  12200  fsummulc2  12239  isumshft  12281  divcnv  12288  geolim2  12303  cvgratnnlemseq  12317  cvgratnnlemsumlt  12319  cvgratz  12323  mertenslemi1  12326  prodmodclem3  12366  prodmodclem2a  12367  fprodntrivap  12375  prodsnf  12383  fprodeq0  12408  efcllemp  12449  dvdsbnd  12757  uzwodc  12838  ncoprmgcdne1b  12891  isprm5  12945  hashdvds  13027  pcmpt2  13151  pcfaclem  13156  pcfac  13157  prmlem1  13250  prmlem2  13262  nninfdclemp1  13398  strext  13517  gzsumfzval  13769  gzsumshift  14238  znidom  15100  log2tlbndlog2  16237  chtqub  16313  bcmax  16322  bpos1lem  16326  bpos1  16327  bposlem3  16330  bposlem4  16331  bposlem5  16332  bposlem6  16333  lgslem1  16341  lgsdirprm  16375  lgseisen  16415  cvgcmp2nlemabs  17304