Theorem eluzle 9486

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9480	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1009	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3987  ‘cfv 5196   ≤ cle 7942  ℤcz 9199  ℤ_≥cuz 9474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-ov 5853  df-neg 8080  df-z 9200  df-uz 9475

This theorem is referenced by:  uztrn  9490  uzneg  9492  uzss  9494  uz11  9496  eluzp1l  9498  uzm1  9504  uzin  9506  uzind4  9534  elfz5  9960  elfzle1  9970  elfzle2  9971  elfzle3  9973  uzsplit  10035  uzdisj  10036  uznfz  10046  elfz2nn0  10055  uzsubfz0  10072  nn0disj  10081  fzouzdisj  10123  elfzonelfzo  10173  mulp1mod1  10308  m1modge3gt1  10314  uzennn  10379  seq3split  10422  seq3f1olemqsumk  10442  seq3f1o  10447  seq3coll  10764  seq3shft  10789  cvg1nlemcau  10935  resqrexlemcvg  10970  resqrexlemga  10974  summodclem2a  11331  fsum3  11337  fsum3cvg3  11346  fsumadd  11356  sumsnf  11359  fsummulc2  11398  isumshft  11440  divcnv  11447  geolim2  11462  cvgratnnlemseq  11476  cvgratnnlemsumlt  11478  cvgratz  11482  mertenslemi1  11485  prodmodclem3  11525  prodmodclem2a  11526  fprodntrivap  11534  prodsnf  11542  fprodeq0  11567  efcllemp  11608  infssuzex  11891  suprzubdc  11894  dvdsbnd  11898  uzwodc  11979  ncoprmgcdne1b  12030  isprm5  12083  hashdvds  12162  pcmpt2  12283  pcfaclem  12288  pcfac  12289  nninfdclemp1  12392  lgslem1  13616  lgsdirprm  13650  cvgcmp2nlemabs  13986