Theorem eluzle 9607

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9601	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1016	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  ‘cfv 5255   ≤ cle 8057  ℤcz 9320  ℤ_≥cuz 9595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-neg 8195  df-z 9321  df-uz 9596

This theorem is referenced by:  uztrn  9612  uzneg  9614  uzss  9616  uz11  9618  eluzp1l  9620  uzm1  9626  uzin  9628  uzind4  9656  elfz5  10086  elfzle1  10096  elfzle2  10097  elfzle3  10099  uzsplit  10161  uzdisj  10162  uznfz  10172  elfz2nn0  10181  uzsubfz0  10198  nn0disj  10207  fzouzdisj  10250  elfzonelfzo  10300  fldiv4lem1div2uz2  10378  mulp1mod1  10439  m1modge3gt1  10445  uzennn  10510  seq3split  10562  seq3f1olemqsumk  10586  seq3f1o  10591  seq3coll  10916  seq3shft  10985  cvg1nlemcau  11131  resqrexlemcvg  11166  resqrexlemga  11170  summodclem2a  11527  fsum3  11533  fsum3cvg3  11542  fsumadd  11552  sumsnf  11555  fsummulc2  11594  isumshft  11636  divcnv  11643  geolim2  11658  cvgratnnlemseq  11672  cvgratnnlemsumlt  11674  cvgratz  11678  mertenslemi1  11681  prodmodclem3  11721  prodmodclem2a  11722  fprodntrivap  11730  prodsnf  11738  fprodeq0  11763  efcllemp  11804  infssuzex  12089  suprzubdc  12092  dvdsbnd  12096  uzwodc  12177  ncoprmgcdne1b  12230  isprm5  12283  hashdvds  12362  pcmpt2  12485  pcfaclem  12490  pcfac  12491  nninfdclemp1  12610  strext  12726  gsumfzval  12977  znidom  14156  lgslem1  15157  lgsdirprm  15191  lgseisen  15231  cvgcmp2nlemabs  15592