Theorem eluzle 9630

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9624	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1016	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259   ≤ cle 8079  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-neg 8217  df-z 9344  df-uz 9619

This theorem is referenced by:  uztrn  9635  uzneg  9637  uzss  9639  uz11  9641  eluzp1l  9643  uzm1  9649  uzin  9651  uzind4  9679  elfz5  10109  elfzle1  10119  elfzle2  10120  elfzle3  10122  uzsplit  10184  uzdisj  10185  uznfz  10195  elfz2nn0  10204  uzsubfz0  10221  nn0disj  10230  fzouzdisj  10273  elfzonelfzo  10323  infssuzex  10340  suprzubdc  10343  fldiv4lem1div2uz2  10413  mulp1mod1  10474  m1modge3gt1  10480  uzennn  10545  seq3split  10597  seq3f1olemqsumk  10621  seq3f1o  10626  seq3coll  10951  seq3shft  11020  cvg1nlemcau  11166  resqrexlemcvg  11201  resqrexlemga  11205  summodclem2a  11563  fsum3  11569  fsum3cvg3  11578  fsumadd  11588  sumsnf  11591  fsummulc2  11630  isumshft  11672  divcnv  11679  geolim2  11694  cvgratnnlemseq  11708  cvgratnnlemsumlt  11710  cvgratz  11714  mertenslemi1  11717  prodmodclem3  11757  prodmodclem2a  11758  fprodntrivap  11766  prodsnf  11774  fprodeq0  11799  efcllemp  11840  dvdsbnd  12148  uzwodc  12229  ncoprmgcdne1b  12282  isprm5  12335  hashdvds  12414  pcmpt2  12538  pcfaclem  12543  pcfac  12544  nninfdclemp1  12692  strext  12808  gsumfzval  13093  znidom  14289  lgslem1  15325  lgsdirprm  15359  lgseisen  15399  cvgcmp2nlemabs  15763