Theorem eluzle 9613

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9607	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1016	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258   ≤ cle 8062  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-neg 8200  df-z 9327  df-uz 9602

This theorem is referenced by:  uztrn  9618  uzneg  9620  uzss  9622  uz11  9624  eluzp1l  9626  uzm1  9632  uzin  9634  uzind4  9662  elfz5  10092  elfzle1  10102  elfzle2  10103  elfzle3  10105  uzsplit  10167  uzdisj  10168  uznfz  10178  elfz2nn0  10187  uzsubfz0  10204  nn0disj  10213  fzouzdisj  10256  elfzonelfzo  10306  infssuzex  10323  suprzubdc  10326  fldiv4lem1div2uz2  10396  mulp1mod1  10457  m1modge3gt1  10463  uzennn  10528  seq3split  10580  seq3f1olemqsumk  10604  seq3f1o  10609  seq3coll  10934  seq3shft  11003  cvg1nlemcau  11149  resqrexlemcvg  11184  resqrexlemga  11188  summodclem2a  11546  fsum3  11552  fsum3cvg3  11561  fsumadd  11571  sumsnf  11574  fsummulc2  11613  isumshft  11655  divcnv  11662  geolim2  11677  cvgratnnlemseq  11691  cvgratnnlemsumlt  11693  cvgratz  11697  mertenslemi1  11700  prodmodclem3  11740  prodmodclem2a  11741  fprodntrivap  11749  prodsnf  11757  fprodeq0  11782  efcllemp  11823  dvdsbnd  12123  uzwodc  12204  ncoprmgcdne1b  12257  isprm5  12310  hashdvds  12389  pcmpt2  12513  pcfaclem  12518  pcfac  12519  nninfdclemp1  12667  strext  12783  gsumfzval  13034  znidom  14213  lgslem1  15241  lgsdirprm  15275  lgseisen  15315  cvgcmp2nlemabs  15676