Theorem eluzle 9499

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9493	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1009	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198   ≤ cle 7955  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-neg 8093  df-z 9213  df-uz 9488

This theorem is referenced by:  uztrn  9503  uzneg  9505  uzss  9507  uz11  9509  eluzp1l  9511  uzm1  9517  uzin  9519  uzind4  9547  elfz5  9973  elfzle1  9983  elfzle2  9984  elfzle3  9986  uzsplit  10048  uzdisj  10049  uznfz  10059  elfz2nn0  10068  uzsubfz0  10085  nn0disj  10094  fzouzdisj  10136  elfzonelfzo  10186  mulp1mod1  10321  m1modge3gt1  10327  uzennn  10392  seq3split  10435  seq3f1olemqsumk  10455  seq3f1o  10460  seq3coll  10777  seq3shft  10802  cvg1nlemcau  10948  resqrexlemcvg  10983  resqrexlemga  10987  summodclem2a  11344  fsum3  11350  fsum3cvg3  11359  fsumadd  11369  sumsnf  11372  fsummulc2  11411  isumshft  11453  divcnv  11460  geolim2  11475  cvgratnnlemseq  11489  cvgratnnlemsumlt  11491  cvgratz  11495  mertenslemi1  11498  prodmodclem3  11538  prodmodclem2a  11539  fprodntrivap  11547  prodsnf  11555  fprodeq0  11580  efcllemp  11621  infssuzex  11904  suprzubdc  11907  dvdsbnd  11911  uzwodc  11992  ncoprmgcdne1b  12043  isprm5  12096  hashdvds  12175  pcmpt2  12296  pcfaclem  12301  pcfac  12302  nninfdclemp1  12405  lgslem1  13695  lgsdirprm  13729  cvgcmp2nlemabs  14064