Theorem eluzle 9478

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9472	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1004	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188   ≤ cle 7934  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-neg 8072  df-z 9192  df-uz 9467

This theorem is referenced by:  uztrn  9482  uzneg  9484  uzss  9486  uz11  9488  eluzp1l  9490  uzm1  9496  uzin  9498  uzind4  9526  elfz5  9952  elfzle1  9962  elfzle2  9963  elfzle3  9965  uzsplit  10027  uzdisj  10028  uznfz  10038  elfz2nn0  10047  uzsubfz0  10064  nn0disj  10073  fzouzdisj  10115  elfzonelfzo  10165  mulp1mod1  10300  m1modge3gt1  10306  uzennn  10371  seq3split  10414  seq3f1olemqsumk  10434  seq3f1o  10439  seq3coll  10755  seq3shft  10780  cvg1nlemcau  10926  resqrexlemcvg  10961  resqrexlemga  10965  summodclem2a  11322  fsum3  11328  fsum3cvg3  11337  fsumadd  11347  sumsnf  11350  fsummulc2  11389  isumshft  11431  divcnv  11438  geolim2  11453  cvgratnnlemseq  11467  cvgratnnlemsumlt  11469  cvgratz  11473  mertenslemi1  11476  prodmodclem3  11516  prodmodclem2a  11517  fprodntrivap  11525  prodsnf  11533  fprodeq0  11558  efcllemp  11599  infssuzex  11882  suprzubdc  11885  dvdsbnd  11889  uzwodc  11970  ncoprmgcdne1b  12021  isprm5  12074  hashdvds  12153  pcmpt2  12274  pcfaclem  12279  pcfac  12280  nninfdclemp1  12383  lgslem1  13541  lgsdirprm  13575  cvgcmp2nlemabs  13911