Theorem eluzle 9690

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9684	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1017	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4054  ‘cfv 5285   ≤ cle 8138  ℤcz 9402  ℤ_≥cuz 9678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-fv 5293  df-ov 5965  df-neg 8276  df-z 9403  df-uz 9679

This theorem is referenced by:  uztrn  9695  uzneg  9697  uzss  9699  uz11  9701  eluzp1l  9703  uzm1  9709  uzin  9711  uzind4  9739  elfz5  10169  elfzle1  10179  elfzle2  10180  elfzle3  10182  uzsplit  10244  uzdisj  10245  uznfz  10255  elfz2nn0  10264  uzsubfz0  10281  nn0disj  10290  fzouzdisj  10334  fzoun  10335  elfzonelfzo  10391  infssuzex  10408  suprzubdc  10411  fldiv4lem1div2uz2  10481  mulp1mod1  10542  m1modge3gt1  10548  uzennn  10613  seq3split  10665  seq3f1olemqsumk  10689  seq3f1o  10694  seq3coll  11019  swrdlen2  11148  swrdfv2  11149  seq3shft  11234  cvg1nlemcau  11380  resqrexlemcvg  11415  resqrexlemga  11419  summodclem2a  11777  fsum3  11783  fsum3cvg3  11792  fsumadd  11802  sumsnf  11805  fsummulc2  11844  isumshft  11886  divcnv  11893  geolim2  11908  cvgratnnlemseq  11922  cvgratnnlemsumlt  11924  cvgratz  11928  mertenslemi1  11931  prodmodclem3  11971  prodmodclem2a  11972  fprodntrivap  11980  prodsnf  11988  fprodeq0  12013  efcllemp  12054  dvdsbnd  12362  uzwodc  12443  ncoprmgcdne1b  12496  isprm5  12549  hashdvds  12628  pcmpt2  12752  pcfaclem  12757  pcfac  12758  nninfdclemp1  12906  strext  13022  gsumfzval  13308  znidom  14504  lgslem1  15562  lgsdirprm  15596  lgseisen  15636  cvgcmp2nlemabs  16143