Theorem eluzle 9660

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9654	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1017	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2176   class class class wbr 4044  ‘cfv 5271   ≤ cle 8108  ℤcz 9372  ℤ_≥cuz 9648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-neg 8246  df-z 9373  df-uz 9649

This theorem is referenced by:  uztrn  9665  uzneg  9667  uzss  9669  uz11  9671  eluzp1l  9673  uzm1  9679  uzin  9681  uzind4  9709  elfz5  10139  elfzle1  10149  elfzle2  10150  elfzle3  10152  uzsplit  10214  uzdisj  10215  uznfz  10225  elfz2nn0  10234  uzsubfz0  10251  nn0disj  10260  fzouzdisj  10304  elfzonelfzo  10359  infssuzex  10376  suprzubdc  10379  fldiv4lem1div2uz2  10449  mulp1mod1  10510  m1modge3gt1  10516  uzennn  10581  seq3split  10633  seq3f1olemqsumk  10657  seq3f1o  10662  seq3coll  10987  swrdlen2  11115  swrdfv2  11116  seq3shft  11149  cvg1nlemcau  11295  resqrexlemcvg  11330  resqrexlemga  11334  summodclem2a  11692  fsum3  11698  fsum3cvg3  11707  fsumadd  11717  sumsnf  11720  fsummulc2  11759  isumshft  11801  divcnv  11808  geolim2  11823  cvgratnnlemseq  11837  cvgratnnlemsumlt  11839  cvgratz  11843  mertenslemi1  11846  prodmodclem3  11886  prodmodclem2a  11887  fprodntrivap  11895  prodsnf  11903  fprodeq0  11928  efcllemp  11969  dvdsbnd  12277  uzwodc  12358  ncoprmgcdne1b  12411  isprm5  12464  hashdvds  12543  pcmpt2  12667  pcfaclem  12672  pcfac  12673  nninfdclemp1  12821  strext  12937  gsumfzval  13223  znidom  14419  lgslem1  15477  lgsdirprm  15511  lgseisen  15551  cvgcmp2nlemabs  15971