Theorem eluzle 9730

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9724	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1038	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ‘cfv 5317   ≤ cle 8178  ℤcz 9442  ℤ_≥cuz 9718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-ov 6003  df-neg 8316  df-z 9443  df-uz 9719

This theorem is referenced by:  uztrn  9735  uzneg  9737  uzss  9739  uz11  9741  eluzp1l  9743  uzm1  9749  uzin  9751  uzind4  9779  elfz5  10209  elfzle1  10219  elfzle2  10220  elfzle3  10222  uzsplit  10284  uzdisj  10285  uznfz  10295  elfz2nn0  10304  uzsubfz0  10321  nn0disj  10330  fzouzdisj  10374  fzoun  10375  elfzonelfzo  10431  infssuzex  10448  suprzubdc  10451  fldiv4lem1div2uz2  10521  mulp1mod1  10582  m1modge3gt1  10588  uzennn  10653  seq3split  10705  seq3f1olemqsumk  10729  seq3f1o  10734  seq3coll  11059  swrdlen2  11189  swrdfv2  11190  seq3shft  11344  cvg1nlemcau  11490  resqrexlemcvg  11525  resqrexlemga  11529  summodclem2a  11887  fsum3  11893  fsum3cvg3  11902  fsumadd  11912  sumsnf  11915  fsummulc2  11954  isumshft  11996  divcnv  12003  geolim2  12018  cvgratnnlemseq  12032  cvgratnnlemsumlt  12034  cvgratz  12038  mertenslemi1  12041  prodmodclem3  12081  prodmodclem2a  12082  fprodntrivap  12090  prodsnf  12098  fprodeq0  12123  efcllemp  12164  dvdsbnd  12472  uzwodc  12553  ncoprmgcdne1b  12606  isprm5  12659  hashdvds  12738  pcmpt2  12862  pcfaclem  12867  pcfac  12868  nninfdclemp1  13016  strext  13133  gsumfzval  13419  znidom  14615  lgslem1  15673  lgsdirprm  15707  lgseisen  15747  cvgcmp2nlemabs  16359