Theorem eluzle 9758

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9751	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1038	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324   ≤ cle 8205  ℤcz 9469  ℤ_≥cuz 9745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-ov 6016  df-neg 8343  df-z 9470  df-uz 9746

This theorem is referenced by:  uztrn  9763  uzneg  9765  uzss  9767  uz11  9769  eluzp1l  9771  uzm1  9777  uzin  9779  uzind4  9812  elfz5  10242  elfzle1  10252  elfzle2  10253  elfzle3  10255  uzsplit  10317  uzdisj  10318  uznfz  10328  elfz2nn0  10337  uzsubfz0  10354  nn0disj  10363  fzouzdisj  10407  fzoun  10408  elfzonelfzo  10465  infssuzex  10483  suprzubdc  10486  fldiv4lem1div2uz2  10556  mulp1mod1  10617  m1modge3gt1  10623  uzennn  10688  seq3split  10740  seq3f1olemqsumk  10764  seq3f1o  10769  seq3coll  11096  swrdlen2  11233  swrdfv2  11234  seq3shft  11389  cvg1nlemcau  11535  resqrexlemcvg  11570  resqrexlemga  11574  summodclem2a  11932  fsum3  11938  fsum3cvg3  11947  fsumadd  11957  sumsnf  11960  fsummulc2  11999  isumshft  12041  divcnv  12048  geolim2  12063  cvgratnnlemseq  12077  cvgratnnlemsumlt  12079  cvgratz  12083  mertenslemi1  12086  prodmodclem3  12126  prodmodclem2a  12127  fprodntrivap  12135  prodsnf  12143  fprodeq0  12168  efcllemp  12209  dvdsbnd  12517  uzwodc  12598  ncoprmgcdne1b  12651  isprm5  12704  hashdvds  12783  pcmpt2  12907  pcfaclem  12912  pcfac  12913  nninfdclemp1  13061  strext  13178  gsumfzval  13464  znidom  14661  lgslem1  15719  lgsdirprm  15753  lgseisen  15793  cvgcmp2nlemabs  16572