Theorem fac1 10200

Description: The factorial of 1. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fac1	⊢ (!‘1) = 1

Proof of Theorem fac1

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 8496	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		facnn 10198	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (!‘1) = (seq1( · , I , ℂ)‘1))
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 ⊢ (!‘1) = (seq1( · , I , ℂ)‘1)
4		1zzd 8840	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
5		fvi 5376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
6	5	eleq1d 2157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)))
7	6	ibir 176	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1))
8		eluzelcn 9093	. . . . . 6 ⊢ (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
10	9	adantl 272	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
11		mulcl 7532	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
12	11	adantl 272	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
13	4, 10, 12	iseq1 9938	. . 3 ⊢ (⊤ → (seq1( · , I , ℂ)‘1) = ( I ‘1))
14	13	mptru 1299	. 2 ⊢ (seq1( · , I , ℂ)‘1) = ( I ‘1)
15		fvi 5376	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → ( I ‘1) = 1)
16	1, 15	ax-mp 7	. 2 ⊢ ( I ‘1) = 1
17	3, 14, 16	3eqtri 2113	1 ⊢ (!‘1) = 1

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1290  ⊤wtru 1291   ∈ wcel 1439   I cid 4126  ‘cfv 5030  (class class class)co 5668  ℂcc 7411  1c1 7414   · cmul 7418  ℕcn 8485  ℤ_≥cuz 9082  seqcseq4 9914  !cfa 10196

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-addcom 7508  ax-addass 7510  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-ltadd 7524

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-frec 6172  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-iseq 9916  df-fac 10197

This theorem is referenced by:  facp1  10201  fac2  10202  bcn1  10229  ege2le3  11024  ef4p  11047  efgt1p2  11048  efgt1p  11049