Theorem fac1 11091

Description: The factorial of 1. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fac1	⊢ (!‘1) = 1

Proof of Theorem fac1

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9248	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		facnn 11089	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (!‘1) = (seq1( · , I )‘1))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (!‘1) = (seq1( · , I )‘1)
4		1zzd 9604	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
5		fvi 5734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
6	5	eleq1d 2301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)))
7	6	ibir 177	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1))
8		eluzelcn 9865	. . . . . 6 ⊢ (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
10	9	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
11		mulcl 8254	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
12	11	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
13	4, 10, 12	seq3-1 10824	. . 3 ⊢ (⊤ → (seq1( · , I )‘1) = ( I ‘1))
14	13	mptru 1407	. 2 ⊢ (seq1( · , I )‘1) = ( I ‘1)
15		fvi 5734	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → ( I ‘1) = 1)
16	1, 15	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( I ‘1) = 1
17	3, 14, 16	3eqtri 2257	1 ⊢ (!‘1) = 1

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2203   I cid 4409  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  1c1 8128   · cmul 8132  ℕcn 9237  ℤ_≥cuz 9853  seqcseq 10809  !cfa 11087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-seqfrec 10810  df-fac 11088

This theorem is referenced by:  facp1  11092  fac2  11093  bcn1  11120  fprodfac  12301  ege2le3  12357  ef4p  12380  efgt1p2  12381  efgt1p  12382  dveflem  15591