Theorem fac1 10826

Description: The factorial of 1. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fac1	⊢ (!‘1) = 1

Proof of Theorem fac1

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9006	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		facnn 10824	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (!‘1) = (seq1( · , I )‘1))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (!‘1) = (seq1( · , I )‘1)
4		1zzd 9358	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
5		fvi 5621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
6	5	eleq1d 2265	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)))
7	6	ibir 177	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1))
8		eluzelcn 9617	. . . . . 6 ⊢ (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
10	9	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
11		mulcl 8011	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
12	11	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
13	4, 10, 12	seq3-1 10559	. . 3 ⊢ (⊤ → (seq1( · , I )‘1) = ( I ‘1))
14	13	mptru 1373	. 2 ⊢ (seq1( · , I )‘1) = ( I ‘1)
15		fvi 5621	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → ( I ‘1) = 1)
16	1, 15	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( I ‘1) = 1
17	3, 14, 16	3eqtri 2221	1 ⊢ (!‘1) = 1

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2167   I cid 4324  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℂcc 7882  1c1 7885   · cmul 7889  ℕcn 8995  ℤ_≥cuz 9606  seqcseq 10544  !cfa 10822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7975  ax-resscn 7976  ax-1cn 7977  ax-1re 7978  ax-icn 7979  ax-addcl 7980  ax-addrcl 7981  ax-mulcl 7982  ax-addcom 7984  ax-addass 7986  ax-distr 7988  ax-i2m1 7989  ax-0lt1 7990  ax-0id 7992  ax-rnegex 7993  ax-cnre 7995  ax-pre-ltirr 7996  ax-pre-ltwlin 7997  ax-pre-lttrn 7998  ax-pre-ltadd 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6202  df-2nd 6203  df-recs 6367  df-frec 6453  df-pnf 8068  df-mnf 8069  df-xr 8070  df-ltxr 8071  df-le 8072  df-sub 8204  df-neg 8205  df-inn 8996  df-n0 9255  df-z 9332  df-uz 9607  df-seqfrec 10545  df-fac 10823

This theorem is referenced by:  facp1  10827  fac2  10828  bcn1  10855  fprodfac  11785  ege2le3  11841  ef4p  11864  efgt1p2  11865  efgt1p  11866  dveflem  15009