Theorem facp1 11092

Description: The factorial of a successor. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
facp1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem facp1

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9498	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnuz 9891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
3	2	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
4		fvi 5734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
5		eluzelcn 9865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑓 ∈ ℂ)
6	4, 5	eqeltrd 2309	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
7	6	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
8		mulcl 8254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
9	8	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
10	3, 7, 9	seq3p1 10827	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))))
11		peano2nn 9249	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
12		fvi 5734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1))
13	11, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1))
14	13	oveq2d 6066	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
15	10, 14	eqtrd 2265	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
16		facnn 11089	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)))
17	11, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)))
18		facnn 11089	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
19	18	oveq1d 6065	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
20	15, 17, 19	3eqtr4d 2275	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
21		0p1e1 9351	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
22	21	fveq2i 5673	. . . . 5 ⊢ (!‘(0 + 1)) = (!‘1)
23		fac1 11091	. . . . 5 ⊢ (!‘1) = 1
24	22, 23	eqtri 2253	. . . 4 ⊢ (!‘(0 + 1)) = 1
25		fvoveq1 6073	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = (!‘(0 + 1)))
26		fveq2 5670	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
27		oveq1 6057	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
28	26, 27	oveq12d 6068	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((!‘0) · (0 + 1)))
29		fac0 11090	. . . . . . 7 ⊢ (!‘0) = 1
30	29, 21	oveq12i 6062	. . . . . 6 ⊢ ((!‘0) · (0 + 1)) = (1 · 1)
31		1t1e1 9390	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
32	30, 31	eqtri 2253	. . . . 5 ⊢ ((!‘0) · (0 + 1)) = 1
33	28, 32	eqtrdi 2281	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = 1)
34	24, 25, 33	3eqtr4a 2291	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
35	20, 34	jaoi 724	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
36	1, 35	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   I cid 4409  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  0cc0 8127  1c1 8128   + caddc 8130   · cmul 8132  ℕcn 9237  ℕ₀cn0 9496  ℤ_≥cuz 9853  seqcseq 10809  !cfa 11087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-seqfrec 10810  df-fac 11088

This theorem is referenced by:  fac2  11093  fac3  11094  fac4  11095  facnn2  11096  faccl  11097  facdiv  11100  facwordi  11102  faclbnd  11103  faclbnd6  11106  facubnd  11107  bcm1k  11122  bcp1n  11123  4bc2eq6  11137  fprodfac  12301  efcllemp  12344  ef01bndlem  12442  eirraplem  12463  dvdsfac  12546  prmfac1  12849  pcfac  13048  2expltfac  13137  ex-fac  16496