Theorem facp1 10056

Description: The factorial of a successor. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
facp1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem facp1

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 8611	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnuz 8990	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
3	2	biimpi 118	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
4		fvi 5326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
5		eluzelcn 8965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑓 ∈ ℂ)
6	4, 5	eqeltrd 2161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
7	6	adantl 271	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
8		mulcl 7416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
9	8	adantl 271	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
10	3, 7, 9	iseqp1 9812	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I , ℂ)‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I , ℂ)‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))))
11		peano2nn 8372	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
12		fvi 5326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1))
13	11, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1))
14	13	oveq2d 5631	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((seq1( · , I , ℂ)‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( · , I , ℂ)‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
15	10, 14	eqtrd 2117	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I , ℂ)‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I , ℂ)‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
16		facnn 10053	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I , ℂ)‘(𝑁 + 1)))
17	11, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I , ℂ)‘(𝑁 + 1)))
18		facnn 10053	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I , ℂ)‘𝑁))
19	18	oveq1d 5630	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I , ℂ)‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
20	15, 17, 19	3eqtr4d 2127	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
21		0p1e1 8474	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
22	21	fveq2i 5273	. . . . 5 ⊢ (!‘(0 + 1)) = (!‘1)
23		fac1 10055	. . . . 5 ⊢ (!‘1) = 1
24	22, 23	eqtri 2105	. . . 4 ⊢ (!‘(0 + 1)) = 1
25		oveq1 5622	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
26	25	fveq2d 5274	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = (!‘(0 + 1)))
27		fveq2 5270	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
28	27, 25	oveq12d 5633	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((!‘0) · (0 + 1)))
29		fac0 10054	. . . . . . 7 ⊢ (!‘0) = 1
30	29, 21	oveq12i 5627	. . . . . 6 ⊢ ((!‘0) · (0 + 1)) = (1 · 1)
31		1t1e1 8505	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
32	30, 31	eqtri 2105	. . . . 5 ⊢ ((!‘0) · (0 + 1)) = 1
33	28, 32	syl6eq 2133	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = 1)
34	24, 26, 33	3eqtr4a 2143	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
35	20, 34	jaoi 669	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
36	1, 35	sylbi 119	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∨ wo 662   = wceq 1287   ∈ wcel 1436   I cid 4091  ‘cfv 4983  (class class class)co 5615  ℂcc 7295  0cc0 7297  1c1 7298   + caddc 7300   · cmul 7302  ℕcn 8360  ℕ₀cn0 8609  ℤ_≥cuz 8954  seqcseq4 9782  !cfa 10051

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-ltadd 7408

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-iord 4169  df-on 4171  df-ilim 4172  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-frec 6112  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-inn 8361  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-iseq 9784  df-fac 10052

This theorem is referenced by:  fac2  10057  fac3  10058  fac4  10059  facnn2  10060  faccl  10061  facdiv  10064  facwordi  10066  faclbnd  10067  faclbnd6  10070  facubnd  10071  bcm1k  10086  bcp1n  10087  4bc2eq6  10100  dvdsfac  10786  prmfac1  11056  ex-fac  11143