ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  facp1 GIF version

Theorem facp1 10362
Description: The factorial of a successor. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
facp1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem facp1
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 8876 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 elnnuz 9257 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
32biimpi 119 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
4 fvi 5430 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
5 eluzelcn 9232 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → 𝑓 ∈ ℂ)
64, 5eqeltrd 2189 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
76adantl 273 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ‘1)) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
8 mulcl 7664 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
98adantl 273 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
103, 7, 9seq3p1 10121 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))))
11 peano2nn 8635 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
12 fvi 5430 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1))
1311, 12syl 14 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1))
1413oveq2d 5742 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
1510, 14eqtrd 2145 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
16 facnn 10359 . . . . 5 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)))
1711, 16syl 14 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)))
18 facnn 10359 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
1918oveq1d 5741 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
2015, 17, 193eqtr4d 2155 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
21 0p1e1 8737 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2221fveq2i 5376 . . . . 5 (!‘(0 + 1)) = (!‘1)
23 fac1 10361 . . . . 5 (!‘1) = 1
2422, 23eqtri 2133 . . . 4 (!‘(0 + 1)) = 1
25 fvoveq1 5749 . . . 4 (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = (!‘(0 + 1)))
26 fveq2 5373 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
27 oveq1 5733 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
2826, 27oveq12d 5744 . . . . 5 (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((!‘0) · (0 + 1)))
29 fac0 10360 . . . . . . 7 (!‘0) = 1
3029, 21oveq12i 5738 . . . . . 6 ((!‘0) · (0 + 1)) = (1 · 1)
31 1t1e1 8769 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
3230, 31eqtri 2133 . . . . 5 ((!‘0) · (0 + 1)) = 1
3328, 32syl6eq 2161 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = 1)
3424, 25, 333eqtr4a 2171 . . 3 (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
3520, 34jaoi 688 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
361, 35sylbi 120 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 680   = wceq 1312  wcel 1461   I cid 4168  cfv 5079  (class class class)co 5726  cc 7538  0cc0 7540  1c1 7541   + caddc 7543   · cmul 7545  cn 8623  0cn0 8874  cuz 9221  seqcseq 10104  !cfa 10357
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-addcom 7638  ax-mulcom 7639  ax-addass 7640  ax-mulass 7641  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-1rid 7645  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-ltadd 7654
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5989  df-2nd 5990  df-recs 6153  df-frec 6239  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-inn 8624  df-n0 8875  df-z 8952  df-uz 9222  df-seqfrec 10105  df-fac 10358
This theorem is referenced by:  fac2  10363  fac3  10364  fac4  10365  facnn2  10366  faccl  10367  facdiv  10370  facwordi  10372  faclbnd  10373  faclbnd6  10376  facubnd  10377  bcm1k  10392  bcp1n  10393  4bc2eq6  10406  efcllemp  11208  ef01bndlem  11307  eirraplem  11324  dvdsfac  11399  prmfac1  11669  ex-fac  12620
  Copyright terms: Public domain W3C validator