Theorem facp1 10741

Description: The factorial of a successor. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
facp1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem facp1

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9207	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnuz 9593	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
3	2	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
4		fvi 5593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
5		eluzelcn 9568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑓 ∈ ℂ)
6	4, 5	eqeltrd 2266	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
7	6	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
8		mulcl 7967	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
9	8	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
10	3, 7, 9	seq3p1 10492	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))))
11		peano2nn 8960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
12		fvi 5593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1))
13	11, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1))
14	13	oveq2d 5911	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
15	10, 14	eqtrd 2222	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
16		facnn 10738	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)))
17	11, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)))
18		facnn 10738	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
19	18	oveq1d 5910	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
20	15, 17, 19	3eqtr4d 2232	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
21		0p1e1 9062	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
22	21	fveq2i 5537	. . . . 5 ⊢ (!‘(0 + 1)) = (!‘1)
23		fac1 10740	. . . . 5 ⊢ (!‘1) = 1
24	22, 23	eqtri 2210	. . . 4 ⊢ (!‘(0 + 1)) = 1
25		fvoveq1 5918	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = (!‘(0 + 1)))
26		fveq2 5534	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
27		oveq1 5902	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
28	26, 27	oveq12d 5913	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((!‘0) · (0 + 1)))
29		fac0 10739	. . . . . . 7 ⊢ (!‘0) = 1
30	29, 21	oveq12i 5907	. . . . . 6 ⊢ ((!‘0) · (0 + 1)) = (1 · 1)
31		1t1e1 9100	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
32	30, 31	eqtri 2210	. . . . 5 ⊢ ((!‘0) · (0 + 1)) = 1
33	28, 32	eqtrdi 2238	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = 1)
34	24, 25, 33	3eqtr4a 2248	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
35	20, 34	jaoi 717	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
36	1, 35	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   I cid 4306  ‘cfv 5235  (class class class)co 5895  ℂcc 7838  0cc0 7840  1c1 7841   + caddc 7843   · cmul 7845  ℕcn 8948  ℕ₀cn0 9205  ℤ_≥cuz 9557  seqcseq 10475  !cfa 10736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-ltadd 7956

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-frec 6415  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-inn 8949  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-seqfrec 10476  df-fac 10737

This theorem is referenced by:  fac2  10742  fac3  10743  fac4  10744  facnn2  10745  faccl  10746  facdiv  10749  facwordi  10751  faclbnd  10752  faclbnd6  10755  facubnd  10756  bcm1k  10771  bcp1n  10772  4bc2eq6  10785  fprodfac  11654  efcllemp  11697  ef01bndlem  11795  eirraplem  11815  dvdsfac  11897  prmfac1  12183  pcfac  12381  ex-fac  14933