Theorem facp1 10676

Description: The factorial of a successor. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
facp1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem facp1

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9149	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnuz 9535	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
3	2	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
4		fvi 5565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
5		eluzelcn 9510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑓 ∈ ℂ)
6	4, 5	eqeltrd 2252	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
7	6	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
8		mulcl 7913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
9	8	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
10	3, 7, 9	seq3p1 10430	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))))
11		peano2nn 8902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
12		fvi 5565	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1))
13	11, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1))
14	13	oveq2d 5881	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
15	10, 14	eqtrd 2208	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
16		facnn 10673	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)))
17	11, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)))
18		facnn 10673	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
19	18	oveq1d 5880	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
20	15, 17, 19	3eqtr4d 2218	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
21		0p1e1 9004	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
22	21	fveq2i 5510	. . . . 5 ⊢ (!‘(0 + 1)) = (!‘1)
23		fac1 10675	. . . . 5 ⊢ (!‘1) = 1
24	22, 23	eqtri 2196	. . . 4 ⊢ (!‘(0 + 1)) = 1
25		fvoveq1 5888	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = (!‘(0 + 1)))
26		fveq2 5507	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
27		oveq1 5872	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
28	26, 27	oveq12d 5883	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((!‘0) · (0 + 1)))
29		fac0 10674	. . . . . . 7 ⊢ (!‘0) = 1
30	29, 21	oveq12i 5877	. . . . . 6 ⊢ ((!‘0) · (0 + 1)) = (1 · 1)
31		1t1e1 9042	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
32	30, 31	eqtri 2196	. . . . 5 ⊢ ((!‘0) · (0 + 1)) = 1
33	28, 32	eqtrdi 2224	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = 1)
34	24, 25, 33	3eqtr4a 2234	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
35	20, 34	jaoi 716	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
36	1, 35	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2146   I cid 4282  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  ℂcc 7784  0cc0 7786  1c1 7787   + caddc 7789   · cmul 7791  ℕcn 8890  ℕ₀cn0 9147  ℤ_≥cuz 9499  seqcseq 10413  !cfa 10671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-seqfrec 10414  df-fac 10672

This theorem is referenced by:  fac2  10677  fac3  10678  fac4  10679  facnn2  10680  faccl  10681  facdiv  10684  facwordi  10686  faclbnd  10687  faclbnd6  10690  facubnd  10691  bcm1k  10706  bcp1n  10707  4bc2eq6  10720  fprodfac  11589  efcllemp  11632  ef01bndlem  11730  eirraplem  11750  dvdsfac  11831  prmfac1  12117  pcfac  12313  ex-fac  14020