ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulp1mod1 GIF version

Theorem mulp1mod1 10308
Description: The product of an integer and an integer greater than 1 increased by 1 is 1 modulo the integer greater than 1. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
mulp1mod1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁) = 1)

Proof of Theorem mulp1mod1
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 9485 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
21adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3 simpl 108 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
43zcnd 9322 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
52, 4mulcomd 7928 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑁))
65oveq1d 5865 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) = ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁))
7 eluzelz 9483 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
8 zq 9572 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
97, 8syl 14 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℚ)
109adantl 275 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℚ)
11 0red 7908 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 0 ∈ ℝ)
12 2re 8935 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1312a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 2 ∈ ℝ)
147adantl 275 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℤ)
1514zred 9321 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
16 2pos 8956 . . . . . . . . 9 0 < 2
1716a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < 2)
18 eluzle 9486 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
1918adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 2 ≤ 𝑁)
2011, 13, 15, 17, 19ltletrd 8329 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < 𝑁)
21 mulqmod0 10273 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁) = 0)
223, 10, 20, 21syl3anc 1233 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁) = 0)
236, 22eqtrd 2203 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) = 0)
2423oveq1d 5865 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) = (0 + 1))
25 0p1e1 8979 . . . 4 (0 + 1) = 1
2624, 25eqtrdi 2219 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) = 1)
2726oveq1d 5865 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
28 zq 9572 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
293, 28syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℚ)
30 qmulcl 9583 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ)
3110, 29, 30syl2anc 409 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ)
32 1z 9225 . . . 4 1 ∈ ℤ
33 zq 9572 . . . 4 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
3432, 33mp1i 10 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 1 ∈ ℚ)
35 modqaddmod 10306 . . 3 ((((𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁))
3631, 34, 10, 20, 35syl22anc 1234 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁))
37 eluz2gt1 9548 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑁)
3837adantl 275 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < 𝑁)
39 q1mod 10299 . . 3 ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
4010, 38, 39syl2anc 409 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (1 mod 𝑁) = 1)
4127, 36, 403eqtr3d 2211 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁) = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1348  wcel 2141   class class class wbr 3987  cfv 5196  (class class class)co 5850  cc 7759  cr 7760  0cc0 7761  1c1 7762   + caddc 7764   · cmul 7766   < clt 7941  cle 7942  2c2 8916  cz 9199  cuz 9474  cq 9565   mod cmo 10265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-fl 10213  df-mod 10266
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator