ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulp1mod1 GIF version

Theorem mulp1mod1 10367
Description: The product of an integer and an integer greater than 1 increased by 1 is 1 modulo the integer greater than 1. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
mulp1mod1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐ด) + 1) mod ๐‘) = 1)

Proof of Theorem mulp1mod1
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 9541 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
21adantl 277 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3 simpl 109 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
43zcnd 9378 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
52, 4mulcomd 7981 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) = (๐ด ยท ๐‘))
65oveq1d 5892 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) mod ๐‘) = ((๐ด ยท ๐‘) mod ๐‘))
7 eluzelz 9539 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
8 zq 9628 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
97, 8syl 14 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
109adantl 277 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
11 0red 7960 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
12 2re 8991 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
1312a1i 9 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
147adantl 277 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1514zred 9377 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
16 2pos 9012 . . . . . . . . 9 0 < 2
1716a1i 9 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 0 < 2)
18 eluzle 9542 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘)
1918adantl 277 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘)
2011, 13, 15, 17, 19ltletrd 8382 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 0 < ๐‘)
21 mulqmod0 10332 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘) mod ๐‘) = 0)
223, 10, 20, 21syl3anc 1238 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘) mod ๐‘) = 0)
236, 22eqtrd 2210 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) mod ๐‘) = 0)
2423oveq1d 5892 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐ด) mod ๐‘) + 1) = (0 + 1))
25 0p1e1 9035 . . . 4 (0 + 1) = 1
2624, 25eqtrdi 2226 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐ด) mod ๐‘) + 1) = 1)
2726oveq1d 5892 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((((๐‘ ยท ๐ด) mod ๐‘) + 1) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘))
28 zq 9628 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
293, 28syl 14 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
30 qmulcl 9639 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„š)
3110, 29, 30syl2anc 411 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„š)
32 1z 9281 . . . 4 1 โˆˆ โ„ค
33 zq 9628 . . . 4 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„š)
3432, 33mp1i 10 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 1 โˆˆ โ„š)
35 modqaddmod 10365 . . 3 ((((๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„š โˆง 1 โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ ((((๐‘ ยท ๐ด) mod ๐‘) + 1) mod ๐‘) = (((๐‘ ยท ๐ด) + 1) mod ๐‘))
3631, 34, 10, 20, 35syl22anc 1239 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((((๐‘ ยท ๐ด) mod ๐‘) + 1) mod ๐‘) = (((๐‘ ยท ๐ด) + 1) mod ๐‘))
37 eluz2gt1 9604 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐‘)
3837adantl 277 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 1 < ๐‘)
39 q1mod 10358 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 1 < ๐‘) โ†’ (1 mod ๐‘) = 1)
4010, 38, 39syl2anc 411 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (1 mod ๐‘) = 1)
4127, 36, 403eqtr3d 2218 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐ด) + 1) mod ๐‘) = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  โ„cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   ยท cmul 7818   < clt 7994   โ‰ค cle 7995  2c2 8972  โ„คcz 9255  โ„คโ‰ฅcuz 9530  โ„šcq 9621   mod cmo 10324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fl 10272  df-mod 10325
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator