ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulp1mod1 GIF version

Theorem mulp1mod1 9737
Description: The product of an integer and an integer greater than 1 increased by 1 is 1 modulo the integer greater than 1. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
mulp1mod1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁) = 1)

Proof of Theorem mulp1mod1
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 8999 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
21adantl 271 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3 simpl 107 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
43zcnd 8839 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
52, 4mulcomd 7488 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑁))
65oveq1d 5649 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) = ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁))
7 eluzelz 8997 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
8 zq 9080 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
97, 8syl 14 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℚ)
109adantl 271 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℚ)
11 0red 7468 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 0 ∈ ℝ)
12 2re 8463 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1312a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 2 ∈ ℝ)
147adantl 271 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℤ)
1514zred 8838 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
16 2pos 8484 . . . . . . . . 9 0 < 2
1716a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < 2)
18 eluzle 9000 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
1918adantl 271 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 2 ≤ 𝑁)
2011, 13, 15, 17, 19ltletrd 7880 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < 𝑁)
21 mulqmod0 9702 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁) = 0)
223, 10, 20, 21syl3anc 1174 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁) = 0)
236, 22eqtrd 2120 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) = 0)
2423oveq1d 5649 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) = (0 + 1))
25 0p1e1 8507 . . . 4 (0 + 1) = 1
2624, 25syl6eq 2136 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) = 1)
2726oveq1d 5649 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
28 zq 9080 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
293, 28syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℚ)
30 qmulcl 9091 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ)
3110, 29, 30syl2anc 403 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ)
32 1z 8746 . . . 4 1 ∈ ℤ
33 zq 9080 . . . 4 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
3432, 33mp1i 10 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 1 ∈ ℚ)
35 modqaddmod 9735 . . 3 ((((𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁))
3631, 34, 10, 20, 35syl22anc 1175 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁))
37 eluz2gt1 9058 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑁)
3837adantl 271 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < 𝑁)
39 q1mod 9728 . . 3 ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
4010, 38, 39syl2anc 403 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (1 mod 𝑁) = 1)
4127, 36, 403eqtr3d 2128 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁) = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438   class class class wbr 3837  cfv 5002  (class class class)co 5634  cc 7327  cr 7328  0cc0 7329  1c1 7330   + caddc 7332   · cmul 7334   < clt 7501  cle 7502  2c2 8444  cz 8720  cuz 8988  cq 9073   mod cmo 9694
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fl 9642  df-mod 9695
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator