Theorem mulp1mod1 10816

Description: The product of an integer and an integer greater than 1 increased by 1 is 1 modulo the integer greater than 1. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mulp1mod1	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁) = 1)

Proof of Theorem mulp1mod1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 9943	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 9774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcomd 8348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑁))
6	5	oveq1d 6100	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) = ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁))
7		eluzelz 9941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		zq 10036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℚ)
10	9	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℚ)
11		0red 8328	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ∈ ℝ)
12		2re 9377	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 2 ∈ ℝ)
14	7	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14	zred 9773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
16		2pos 9398	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
17	16	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < 2)
18		eluzle 9944	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
19	18	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 2 ≤ 𝑁)
20	11, 13, 15, 17, 19	ltletrd 8753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < 𝑁)
21		mulqmod0 10781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁) = 0)
22	3, 10, 20, 21	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁) = 0)
23	6, 22	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) = 0)
24	23	oveq1d 6100	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) = (0 + 1))
25		0p1e1 9421	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
26	24, 25	eqtrdi 2287	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) = 1)
27	26	oveq1d 6100	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
28		zq 10036	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
29	3, 28	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℚ)
30		qmulcl 10047	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ)
31	10, 29, 30	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ)
32		1z 9675	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
33		zq 10036	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
34	32, 33	mp1i 10	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 ∈ ℚ)
35		modqaddmod 10814	. . 3 ⊢ ((((𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁))
36	31, 34, 10, 20, 35	syl22anc 1279	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁))
37		eluz2gt1 10012	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
38	37	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < 𝑁)
39		q1mod 10807	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
40	10, 38, 39	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (1 mod 𝑁) = 1)
41	27, 36, 40	3eqtr3d 2279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8178  ℝcr 8179  0cc0 8180  1c1 8181   + caddc 8183   · cmul 8185   < clt 8361   ≤ cle 8362  2c2 9358  ℤcz 9649  ℤ_≥cuz 9931  ℚcq 10029   mod cmo 10773

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-fl 10716  df-mod 10774

This theorem is used by: (None)