ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcn2 GIF version

Theorem bcn2 10744
Description: Binomial coefficient: ๐‘ choose 2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcn2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘C2) = ((๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)) / 2))

Proof of Theorem bcn2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 9080 . . 3 2 โˆˆ โ„•
2 bcval5 10743 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘C2) = ((seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) / (!โ€˜2)))
31, 2mpan2 425 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘C2) = ((seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) / (!โ€˜2)))
4 2m1e1 9037 . . . . . . . 8 (2 โˆ’ 1) = 1
54oveq2i 5886 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆ’ 2) + (2 โˆ’ 1)) = ((๐‘ โˆ’ 2) + 1)
6 nn0cn 9186 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
7 2cn 8990 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
8 ax-1cn 7904 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
9 npncan 8178 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 2) + (2 โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
107, 8, 9mp3an23 1329 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 2) + (2 โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
116, 10syl 14 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ 2) + (2 โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
125, 11eqtr3id 2224 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ 2) + 1) = (๐‘ โˆ’ 1))
1312seqeq1d 10451 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I ) = seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I ))
1413fveq1d 5518 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) = (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜๐‘))
15 nn0z 9273 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
16 peano2zm 9291 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
1715, 16syl 14 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
18 uzid 9542 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
1915, 18syl 14 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
20 npcan 8166 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
216, 8, 20sylancl 413 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
2221fveq2d 5520 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
2319, 22eleqtrrd 2257 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐‘ โˆ’ 1) + 1)))
24 eluzelcn 9539 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
2524adantl 277 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
26 fvi 5574 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ( I โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
2726eleq1d 2246 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (( I โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โ†” ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚))
2827ibir 177 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ( I โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
2925, 28syl 14 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ( I โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
30 mulcl 7938 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
3130adantl 277 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
3217, 23, 29, 31seq3m1 10468 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) = ((seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ( I โ€˜๐‘)))
3317, 29, 31seq3-1 10460 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) = ( I โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
34 fvi 5574 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ ( I โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
3517, 34syl 14 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ( I โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
3633, 35eqtrd 2210 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
37 fvi 5574 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ( I โ€˜๐‘) = ๐‘)
3836, 37oveq12d 5893 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ( I โ€˜๐‘)) = ((๐‘ โˆ’ 1) ยท ๐‘))
3932, 38eqtrd 2210 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) = ((๐‘ โˆ’ 1) ยท ๐‘))
40 subcl 8156 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
416, 8, 40sylancl 413 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
4241, 6mulcomd 7979 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) ยท ๐‘) = (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)))
4339, 42eqtrd 2210 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)))
4414, 43eqtrd 2210 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)))
45 fac2 10711 . . . 4 (!โ€˜2) = 2
4645a1i 9 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜2) = 2)
4744, 46oveq12d 5893 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) / (!โ€˜2)) = ((๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)) / 2))
483, 47eqtrd 2210 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘C2) = ((๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)) / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   I cid 4289  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  1c1 7812   + caddc 7814   ยท cmul 7816   โˆ’ cmin 8128   / cdiv 8629  โ„•cn 8919  2c2 8970  โ„•0cn0 9176  โ„คcz 9253  โ„คโ‰ฅcuz 9528  seqcseq 10445  !cfa 10705  Ccbc 10727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-fz 10009  df-seqfrec 10446  df-fac 10706  df-bc 10728
This theorem is referenced by:  bcp1m1  10745
  Copyright terms: Public domain W3C validator