Theorem bcn2 10691

Description: Binomial coefficient: 𝑁 choose 2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcn2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))

Proof of Theorem bcn2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 9032	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		bcval5 10690	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁C2) = ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘2)))
3	1, 2	mpan2 423	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘2)))
4		2m1e1 8989	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
5	4	oveq2i 5862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1)
6		nn0cn 9138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
7		2cn 8942	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		ax-1cn 7860	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		npncan 8133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
10	7, 8, 9	mp3an23 1324	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
11	6, 10	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
12	5, 11	eqtr3id 2217	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
13	12	seqeq1d 10400	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I ) = seq(𝑁 − 1)( · , I ))
14	13	fveq1d 5496	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) = (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁))
15		nn0z 9225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
16		peano2zm 9243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
17	15, 16	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
18		uzid 9494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
19	15, 18	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
20		npcan 8121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
21	6, 8, 20	sylancl 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
22	21	fveq2d 5498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑁))
23	19, 22	eleqtrrd 2250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
24		eluzelcn 9491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
25	24	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
26		fvi 5551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
27	26	eleq1d 2239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (( I ‘𝑥) ∈ ℂ ↔ 𝑥 ∈ ℂ))
28	27	ibir 176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ( I ‘𝑥) ∈ ℂ)
29	25, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1))) → ( I ‘𝑥) ∈ ℂ)
30		mulcl 7894	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
31	30	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
32	17, 23, 29, 31	seq3m1 10417	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁) = ((seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) · ( I ‘𝑁)))
33	17, 29, 31	seq3-1 10409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) = ( I ‘(𝑁 − 1)))
34		fvi 5551	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → ( I ‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
35	17, 34	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ( I ‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
36	33, 35	eqtrd 2203	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
37		fvi 5551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ( I ‘𝑁) = 𝑁)
38	36, 37	oveq12d 5869	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) · ( I ‘𝑁)) = ((𝑁 − 1) · 𝑁))
39	32, 38	eqtrd 2203	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁) = ((𝑁 − 1) · 𝑁))
40		subcl 8111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
41	6, 8, 40	sylancl 411	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
42	41, 6	mulcomd 7934	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) · 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
43	39, 42	eqtrd 2203	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
44	14, 43	eqtrd 2203	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
45		fac2 10658	. . . 4 ⊢ (!‘2) = 2
46	45	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘2) = 2)
47	44, 46	oveq12d 5869	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘2)) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))
48	3, 47	eqtrd 2203	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   I cid 4271  ‘cfv 5196  (class class class)co 5851  ℂcc 7765  1c1 7768   + caddc 7770   · cmul 7772   − cmin 8083   / cdiv 8582  ℕcn 8871  2c2 8922  ℕ₀cn0 9128  ℤcz 9205  ℤ_≥cuz 9480  seqcseq 10394  !cfa 10652  Ccbc 10674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-2 8930  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-q 9572  df-fz 9959  df-seqfrec 10395  df-fac 10653  df-bc 10675

This theorem is referenced by:  bcp1m1  10692