ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcn2 GIF version

Theorem bcn2 10226
Description: Binomial coefficient: 𝑁 choose 2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcn2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))

Proof of Theorem bcn2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 8631 . . 3 2 ∈ ℕ
2 ibcval5 10225 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁C2) = ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I , ℂ)‘𝑁) / (!‘2)))
31, 2mpan2 417 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I , ℂ)‘𝑁) / (!‘2)))
4 2m1e1 8594 . . . . . . . 8 (2 − 1) = 1
54oveq2i 5677 . . . . . . 7 ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1)
6 nn0cn 8737 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
7 2cn 8547 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
8 ax-1cn 7492 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
9 npncan 7757 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
107, 8, 9mp3an23 1266 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
116, 10syl 14 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
125, 11syl5eqr 2135 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
13 iseqeq1 9912 . . . . . 6 (((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1) → seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I , ℂ) = seq(𝑁 − 1)( · , I , ℂ))
1412, 13syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I , ℂ) = seq(𝑁 − 1)( · , I , ℂ))
1514fveq1d 5320 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I , ℂ)‘𝑁) = (seq(𝑁 − 1)( · , I , ℂ)‘𝑁))
16 nn0z 8824 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
17 peano2zm 8842 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
1816, 17syl 14 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
19 uzid 9087 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
2016, 19syl 14 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
21 npcan 7745 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
226, 8, 21sylancl 405 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2322fveq2d 5322 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ𝑁))
2420, 23eleqtrrd 2168 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
25 eluzelcn 9084 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2625adantl 272 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
27 fvi 5374 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
2827eleq1d 2157 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (( I ‘𝑥) ∈ ℂ ↔ 𝑥 ∈ ℂ))
2928ibir 176 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → ( I ‘𝑥) ∈ ℂ)
3026, 29syl 14 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1))) → ( I ‘𝑥) ∈ ℂ)
31 mulcl 7523 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3231adantl 272 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3318, 24, 30, 32iseqm1 9942 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I , ℂ)‘𝑁) = ((seq(𝑁 − 1)( · , I , ℂ)‘(𝑁 − 1)) · ( I ‘𝑁)))
3418, 30, 32iseq1 9929 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I , ℂ)‘(𝑁 − 1)) = ( I ‘(𝑁 − 1)))
35 fvi 5374 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → ( I ‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
3618, 35syl 14 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ( I ‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
3734, 36eqtrd 2121 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I , ℂ)‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
38 fvi 5374 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ( I ‘𝑁) = 𝑁)
3937, 38oveq12d 5684 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((seq(𝑁 − 1)( · , I , ℂ)‘(𝑁 − 1)) · ( I ‘𝑁)) = ((𝑁 − 1) · 𝑁))
4033, 39eqtrd 2121 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I , ℂ)‘𝑁) = ((𝑁 − 1) · 𝑁))
41 subcl 7735 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
426, 8, 41sylancl 405 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
4342, 6mulcomd 7563 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) · 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
4440, 43eqtrd 2121 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I , ℂ)‘𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
4515, 44eqtrd 2121 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I , ℂ)‘𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
46 fac2 10193 . . . 4 (!‘2) = 2
4746a1i 9 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘2) = 2)
4845, 47oveq12d 5684 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I , ℂ)‘𝑁) / (!‘2)) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))
493, 48eqtrd 2121 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1290  wcel 1439   I cid 4124  cfv 5028  (class class class)co 5666  cc 7402  1c1 7405   + caddc 7407   · cmul 7409  cmin 7707   / cdiv 8193  cn 8476  2c2 8527  0cn0 8727  cz 8804  cuz 9073  seqcseq4 9905  !cfa 10187  Ccbc 10209
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113  df-div 8194  df-inn 8477  df-2 8535  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-q 9159  df-fz 9479  df-iseq 9907  df-fac 10188  df-bc 10210
This theorem is referenced by:  bcp1m1  10227
  Copyright terms: Public domain W3C validator