Theorem bcn2 11025

Description: Binomial coefficient: 𝑁 choose 2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcn2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))

Proof of Theorem bcn2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 9304	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		bcval5 11024	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁C2) = ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘2)))
3	1, 2	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘2)))
4		2m1e1 9260	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
5	4	oveq2i 6028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1)
6		nn0cn 9411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
7		2cn 9213	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		ax-1cn 8124	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		npncan 8399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
10	7, 8, 9	mp3an23 1365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
11	6, 10	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
12	5, 11	eqtr3id 2278	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
13	12	seqeq1d 10714	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I ) = seq(𝑁 − 1)( · , I ))
14	13	fveq1d 5641	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) = (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁))
15		nn0z 9498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
16		peano2zm 9516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
17	15, 16	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
18		uzid 9769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
19	15, 18	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
20		npcan 8387	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
21	6, 8, 20	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
22	21	fveq2d 5643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑁))
23	19, 22	eleqtrrd 2311	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
24		eluzelcn 9766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
25	24	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
26		fvi 5703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
27	26	eleq1d 2300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (( I ‘𝑥) ∈ ℂ ↔ 𝑥 ∈ ℂ))
28	27	ibir 177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ( I ‘𝑥) ∈ ℂ)
29	25, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1))) → ( I ‘𝑥) ∈ ℂ)
30		mulcl 8158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
31	30	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
32	17, 23, 29, 31	seq3m1 10734	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁) = ((seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) · ( I ‘𝑁)))
33	17, 29, 31	seq3-1 10723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) = ( I ‘(𝑁 − 1)))
34		fvi 5703	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → ( I ‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
35	17, 34	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ( I ‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
36	33, 35	eqtrd 2264	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
37		fvi 5703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ( I ‘𝑁) = 𝑁)
38	36, 37	oveq12d 6035	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) · ( I ‘𝑁)) = ((𝑁 − 1) · 𝑁))
39	32, 38	eqtrd 2264	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁) = ((𝑁 − 1) · 𝑁))
40		subcl 8377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
41	6, 8, 40	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
42	41, 6	mulcomd 8200	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) · 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
43	39, 42	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
44	14, 43	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
45		fac2 10992	. . . 4 ⊢ (!‘2) = 2
46	45	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘2) = 2)
47	44, 46	oveq12d 6035	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘2)) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))
48	3, 47	eqtrd 2264	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   I cid 4385  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  1c1 8032   + caddc 8034   · cmul 8036   − cmin 8349   / cdiv 8851  ℕcn 9142  2c2 9193  ℕ₀cn0 9401  ℤcz 9478  ℤ_≥cuz 9754  seqcseq 10708  !cfa 10986  Ccbc 11008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-fz 10243  df-seqfrec 10709  df-fac 10987  df-bc 11009

This theorem is referenced by:  bcp1m1  11026