ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcn2 GIF version

Theorem bcn2 10743
Description: Binomial coefficient: ๐‘ choose 2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcn2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘C2) = ((๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)) / 2))

Proof of Theorem bcn2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 9079 . . 3 2 โˆˆ โ„•
2 bcval5 10742 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘C2) = ((seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) / (!โ€˜2)))
31, 2mpan2 425 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘C2) = ((seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) / (!โ€˜2)))
4 2m1e1 9036 . . . . . . . 8 (2 โˆ’ 1) = 1
54oveq2i 5885 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆ’ 2) + (2 โˆ’ 1)) = ((๐‘ โˆ’ 2) + 1)
6 nn0cn 9185 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
7 2cn 8989 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
8 ax-1cn 7903 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
9 npncan 8177 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 2) + (2 โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
107, 8, 9mp3an23 1329 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 2) + (2 โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
116, 10syl 14 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ 2) + (2 โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
125, 11eqtr3id 2224 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ 2) + 1) = (๐‘ โˆ’ 1))
1312seqeq1d 10450 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I ) = seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I ))
1413fveq1d 5517 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) = (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜๐‘))
15 nn0z 9272 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
16 peano2zm 9290 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
1715, 16syl 14 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
18 uzid 9541 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
1915, 18syl 14 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
20 npcan 8165 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
216, 8, 20sylancl 413 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
2221fveq2d 5519 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
2319, 22eleqtrrd 2257 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐‘ โˆ’ 1) + 1)))
24 eluzelcn 9538 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
2524adantl 277 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
26 fvi 5573 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ( I โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
2726eleq1d 2246 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (( I โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โ†” ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚))
2827ibir 177 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ( I โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
2925, 28syl 14 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ( I โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
30 mulcl 7937 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
3130adantl 277 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
3217, 23, 29, 31seq3m1 10467 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) = ((seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ( I โ€˜๐‘)))
3317, 29, 31seq3-1 10459 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) = ( I โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
34 fvi 5573 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ ( I โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
3517, 34syl 14 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ( I โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
3633, 35eqtrd 2210 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
37 fvi 5573 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ( I โ€˜๐‘) = ๐‘)
3836, 37oveq12d 5892 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ( I โ€˜๐‘)) = ((๐‘ โˆ’ 1) ยท ๐‘))
3932, 38eqtrd 2210 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) = ((๐‘ โˆ’ 1) ยท ๐‘))
40 subcl 8155 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
416, 8, 40sylancl 413 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
4241, 6mulcomd 7978 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) ยท ๐‘) = (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)))
4339, 42eqtrd 2210 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)))
4414, 43eqtrd 2210 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)))
45 fac2 10710 . . . 4 (!โ€˜2) = 2
4645a1i 9 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜2) = 2)
4744, 46oveq12d 5892 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) / (!โ€˜2)) = ((๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)) / 2))
483, 47eqtrd 2210 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘C2) = ((๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)) / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   I cid 4288  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808  1c1 7811   + caddc 7813   ยท cmul 7815   โˆ’ cmin 8127   / cdiv 8628  โ„•cn 8918  2c2 8969  โ„•0cn0 9175  โ„คcz 9252  โ„คโ‰ฅcuz 9527  seqcseq 10444  !cfa 10704  Ccbc 10726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-fz 10008  df-seqfrec 10445  df-fac 10705  df-bc 10727
This theorem is referenced by:  bcp1m1  10744
  Copyright terms: Public domain W3C validator