ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcn2 GIF version

Theorem bcn2 10779
Description: Binomial coefficient: 𝑁 choose 2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcn2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))

Proof of Theorem bcn2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 9111 . . 3 2 ∈ ℕ
2 bcval5 10778 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁C2) = ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘2)))
31, 2mpan2 425 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘2)))
4 2m1e1 9068 . . . . . . . 8 (2 − 1) = 1
54oveq2i 5908 . . . . . . 7 ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1)
6 nn0cn 9217 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
7 2cn 9021 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
8 ax-1cn 7935 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
9 npncan 8209 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
107, 8, 9mp3an23 1340 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
116, 10syl 14 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
125, 11eqtr3id 2236 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
1312seqeq1d 10484 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I ) = seq(𝑁 − 1)( · , I ))
1413fveq1d 5536 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) = (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁))
15 nn0z 9304 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
16 peano2zm 9322 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
1715, 16syl 14 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
18 uzid 9573 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
1915, 18syl 14 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
20 npcan 8197 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
216, 8, 20sylancl 413 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2221fveq2d 5538 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ𝑁))
2319, 22eleqtrrd 2269 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
24 eluzelcn 9570 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2524adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
26 fvi 5594 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
2726eleq1d 2258 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (( I ‘𝑥) ∈ ℂ ↔ 𝑥 ∈ ℂ))
2827ibir 177 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → ( I ‘𝑥) ∈ ℂ)
2925, 28syl 14 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1))) → ( I ‘𝑥) ∈ ℂ)
30 mulcl 7969 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3130adantl 277 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3217, 23, 29, 31seq3m1 10501 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁) = ((seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) · ( I ‘𝑁)))
3317, 29, 31seq3-1 10493 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) = ( I ‘(𝑁 − 1)))
34 fvi 5594 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → ( I ‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
3517, 34syl 14 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ( I ‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
3633, 35eqtrd 2222 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
37 fvi 5594 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ( I ‘𝑁) = 𝑁)
3836, 37oveq12d 5915 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) · ( I ‘𝑁)) = ((𝑁 − 1) · 𝑁))
3932, 38eqtrd 2222 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁) = ((𝑁 − 1) · 𝑁))
40 subcl 8187 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
416, 8, 40sylancl 413 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
4241, 6mulcomd 8010 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) · 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
4339, 42eqtrd 2222 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
4414, 43eqtrd 2222 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
45 fac2 10746 . . . 4 (!‘2) = 2
4645a1i 9 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘2) = 2)
4744, 46oveq12d 5915 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘2)) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))
483, 47eqtrd 2222 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160   I cid 4306  cfv 5235  (class class class)co 5897  cc 7840  1c1 7843   + caddc 7845   · cmul 7847  cmin 8159   / cdiv 8660  cn 8950  2c2 9001  0cn0 9207  cz 9284  cuz 9559  seqcseq 10478  !cfa 10740  Ccbc 10762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-fz 10041  df-seqfrec 10479  df-fac 10741  df-bc 10763
This theorem is referenced by:  bcp1m1  10780
  Copyright terms: Public domain W3C validator