ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3shft GIF version

Theorem seq3shft 10831
Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
seq3shft.ex (𝜑𝐹𝑉)
seq3shft.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
seq3shft.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
seq3shft.fn ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
seq3shft.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
seq3shft (𝜑 → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem seq3shft
Dummy variables 𝑎 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 seq3shft.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 seq3shft.ex . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝑉)
43adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐹𝑉)
5 seq3shft.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
65zcnd 9365 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
76adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
8 eluzelz 9526 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
98adantl 277 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
109zcnd 9365 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
11 shftvalg 10829 . . . . . 6 ((𝐹𝑉𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑥) = (𝐹‘(𝑥𝑁)))
124, 7, 10, 11syl3anc 1238 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑥) = (𝐹‘(𝑥𝑁)))
13 fveq2 5511 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑥𝑁) → (𝐹𝑎) = (𝐹‘(𝑥𝑁)))
1413eleq1d 2246 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑥𝑁) → ((𝐹𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘(𝑥𝑁)) ∈ 𝑆))
15 seq3shft.fn . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
1615ralrimiva 2550 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))(𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
17 fveq2 5511 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑎))
1817eleq1d 2246 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆))
1918cbvralv 2703 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))(𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))(𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
2016, 19sylib 122 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))(𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
2120adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))(𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
222, 5zsubcld 9369 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
2322adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
245adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
259, 24zsubcld 9369 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑥𝑁) ∈ ℤ)
262zred 9364 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2726adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
289zred 9364 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2924zred 9364 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
30 eluzle 9529 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑥)
3130adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑥)
3227, 28, 29, 31lesub1dd 8508 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀𝑁) ≤ (𝑥𝑁))
33 eluz2 9523 . . . . . . 7 ((𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁)) ↔ ((𝑀𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑥𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ≤ (𝑥𝑁)))
3423, 25, 32, 33syl3anbrc 1181 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁)))
3514, 21, 34rspcdva 2846 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹‘(𝑥𝑁)) ∈ 𝑆)
3612, 35eqeltrd 2254 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑥) ∈ 𝑆)
37 seq3shft.pl . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
381, 2, 36, 37seqf 10447 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)):(ℤ𝑀)⟶𝑆)
3938ffnd 5362 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) Fn (ℤ𝑀))
40 eqid 2177 . . . . . 6 (ℤ‘(𝑀𝑁)) = (ℤ‘(𝑀𝑁))
4140, 22, 15, 37seqf 10447 . . . . 5 (𝜑 → seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹):(ℤ‘(𝑀𝑁))⟶𝑆)
4241ffnd 5362 . . . 4 (𝜑 → seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ‘(𝑀𝑁)))
43 seqex 10433 . . . . 5 seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) ∈ V
4443shftfn 10817 . . . 4 ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ‘(𝑀𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))})
4542, 6, 44syl2anc 411 . . 3 (𝜑 → (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))})
46 shftuz 10810 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))} = (ℤ‘((𝑀𝑁) + 𝑁)))
475, 22, 46syl2anc 411 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))} = (ℤ‘((𝑀𝑁) + 𝑁)))
482zcnd 9365 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
4948, 6npcand 8262 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
5049fveq2d 5515 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀𝑁) + 𝑁)) = (ℤ𝑀))
5147, 50eqtrd 2210 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))} = (ℤ𝑀))
5251fneq2d 5303 . . 3 (𝜑 → ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))} ↔ (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn (ℤ𝑀)))
5345, 52mpbid 147 . 2 (𝜑 → (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn (ℤ𝑀))
5448, 6negsubd 8264 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀𝑁))
5554adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀𝑁))
5655seqeq1d 10437 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹) = seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹))
57 eluzelcn 9528 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑧 ∈ ℂ)
5857adantl 277 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑧 ∈ ℂ)
596adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
6058, 59negsubd 8264 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑧 + -𝑁) = (𝑧𝑁))
6156, 60fveq12d 5518 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 + -𝑁)) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧𝑁)))
62 simpr 110 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑧 ∈ (ℤ𝑀))
635adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6463znegcld 9366 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → -𝑁 ∈ ℤ)
653ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝐹𝑉)
6659adantr 276 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝑁 ∈ ℂ)
67 elfzelz 10011 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑀...𝑧) → 𝑦 ∈ ℤ)
6867adantl 277 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝑦 ∈ ℤ)
6968zcnd 9365 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝑦 ∈ ℂ)
70 shftvalg 10829 . . . . . 6 ((𝐹𝑉𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝑁)))
7165, 66, 69, 70syl3anc 1238 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝑁)))
7269, 66negsubd 8264 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → (𝑦 + -𝑁) = (𝑦𝑁))
7372fveq2d 5515 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)) = (𝐹‘(𝑦𝑁)))
7471, 73eqtr4d 2213 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
7536adantlr 477 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑥) ∈ 𝑆)
76 simpll 527 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + -𝑁))) → 𝜑)
77 simpr 110 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + -𝑁))) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + -𝑁)))
7854fveq2d 5515 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ‘(𝑀 + -𝑁)) = (ℤ‘(𝑀𝑁)))
7978eleq2d 2247 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + -𝑁)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))))
8079ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + -𝑁))) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + -𝑁)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))))
8177, 80mpbid 147 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + -𝑁))) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁)))
8276, 81, 15syl2anc 411 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + -𝑁))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
8337adantlr 477 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
8462, 64, 74, 75, 82, 83seq3shft2 10459 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁))‘𝑧) = (seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 + -𝑁)))
85 shftvalg 10829 . . . 4 ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧𝑁)))
8643, 59, 58, 85mp3an2i 1342 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧𝑁)))
8761, 84, 863eqtr4d 2220 . 2 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁))‘𝑧) = ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧))
8839, 53, 87eqfnfvd 5612 1 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  {crab 2459  Vcvv 2737   class class class wbr 4000   Fn wfn 5207  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801   + caddc 7805  cle 7983  cmin 8118  -cneg 8119  cz 9242  cuz 9517  ...cfz 9995  seqcseq 10431   shift cshi 10807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996  df-seqfrec 10432  df-shft 10808
This theorem is referenced by:  iser3shft  11338  eftlub  11682
  Copyright terms: Public domain W3C validator