ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3shft GIF version

Theorem seq3shft 11003
Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
seq3shft.ex (𝜑𝐹𝑉)
seq3shft.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
seq3shft.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
seq3shft.fn ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
seq3shft.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
seq3shft (𝜑 → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem seq3shft
Dummy variables 𝑎 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2196 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 seq3shft.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 seq3shft.ex . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝑉)
43adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐹𝑉)
5 seq3shft.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
65zcnd 9449 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
76adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
8 eluzelz 9610 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
98adantl 277 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
109zcnd 9449 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
11 shftvalg 11001 . . . . . 6 ((𝐹𝑉𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑥) = (𝐹‘(𝑥𝑁)))
124, 7, 10, 11syl3anc 1249 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑥) = (𝐹‘(𝑥𝑁)))
13 fveq2 5558 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑥𝑁) → (𝐹𝑎) = (𝐹‘(𝑥𝑁)))
1413eleq1d 2265 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑥𝑁) → ((𝐹𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘(𝑥𝑁)) ∈ 𝑆))
15 seq3shft.fn . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
1615ralrimiva 2570 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))(𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
17 fveq2 5558 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑎))
1817eleq1d 2265 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆))
1918cbvralv 2729 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))(𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))(𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
2016, 19sylib 122 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))(𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
2120adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))(𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
222, 5zsubcld 9453 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
2322adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
245adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
259, 24zsubcld 9453 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑥𝑁) ∈ ℤ)
262zred 9448 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2726adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
289zred 9448 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2924zred 9448 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
30 eluzle 9613 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑥)
3130adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑥)
3227, 28, 29, 31lesub1dd 8588 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀𝑁) ≤ (𝑥𝑁))
33 eluz2 9607 . . . . . . 7 ((𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁)) ↔ ((𝑀𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑥𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ≤ (𝑥𝑁)))
3423, 25, 32, 33syl3anbrc 1183 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁)))
3514, 21, 34rspcdva 2873 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹‘(𝑥𝑁)) ∈ 𝑆)
3612, 35eqeltrd 2273 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑥) ∈ 𝑆)
37 seq3shft.pl . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
381, 2, 36, 37seqf 10556 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)):(ℤ𝑀)⟶𝑆)
3938ffnd 5408 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) Fn (ℤ𝑀))
40 eqid 2196 . . . . . 6 (ℤ‘(𝑀𝑁)) = (ℤ‘(𝑀𝑁))
4140, 22, 15, 37seqf 10556 . . . . 5 (𝜑 → seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹):(ℤ‘(𝑀𝑁))⟶𝑆)
4241ffnd 5408 . . . 4 (𝜑 → seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ‘(𝑀𝑁)))
43 seqex 10541 . . . . 5 seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) ∈ V
4443shftfn 10989 . . . 4 ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ‘(𝑀𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))})
4542, 6, 44syl2anc 411 . . 3 (𝜑 → (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))})
46 shftuz 10982 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))} = (ℤ‘((𝑀𝑁) + 𝑁)))
475, 22, 46syl2anc 411 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))} = (ℤ‘((𝑀𝑁) + 𝑁)))
482zcnd 9449 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
4948, 6npcand 8341 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
5049fveq2d 5562 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀𝑁) + 𝑁)) = (ℤ𝑀))
5147, 50eqtrd 2229 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))} = (ℤ𝑀))
5251fneq2d 5349 . . 3 (𝜑 → ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))} ↔ (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn (ℤ𝑀)))
5345, 52mpbid 147 . 2 (𝜑 → (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn (ℤ𝑀))
5448, 6negsubd 8343 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀𝑁))
5554adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀𝑁))
5655seqeq1d 10545 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹) = seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹))
57 eluzelcn 9612 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑧 ∈ ℂ)
5857adantl 277 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑧 ∈ ℂ)
596adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
6058, 59negsubd 8343 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑧 + -𝑁) = (𝑧𝑁))
6156, 60fveq12d 5565 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 + -𝑁)) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧𝑁)))
62 simpr 110 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑧 ∈ (ℤ𝑀))
635adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6463znegcld 9450 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → -𝑁 ∈ ℤ)
653ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝐹𝑉)
6659adantr 276 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝑁 ∈ ℂ)
67 elfzelz 10100 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑀...𝑧) → 𝑦 ∈ ℤ)
6867adantl 277 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝑦 ∈ ℤ)
6968zcnd 9449 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝑦 ∈ ℂ)
70 shftvalg 11001 . . . . . 6 ((𝐹𝑉𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝑁)))
7165, 66, 69, 70syl3anc 1249 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝑁)))
7269, 66negsubd 8343 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → (𝑦 + -𝑁) = (𝑦𝑁))
7372fveq2d 5562 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)) = (𝐹‘(𝑦𝑁)))
7471, 73eqtr4d 2232 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
7536adantlr 477 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑥) ∈ 𝑆)
76 simpll 527 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + -𝑁))) → 𝜑)
77 simpr 110 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + -𝑁))) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + -𝑁)))
7854fveq2d 5562 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ‘(𝑀 + -𝑁)) = (ℤ‘(𝑀𝑁)))
7978eleq2d 2266 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + -𝑁)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))))
8079ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + -𝑁))) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + -𝑁)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))))
8177, 80mpbid 147 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + -𝑁))) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁)))
8276, 81, 15syl2anc 411 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + -𝑁))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
8337adantlr 477 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
8462, 64, 74, 75, 82, 83seq3shft2 10573 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁))‘𝑧) = (seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 + -𝑁)))
85 shftvalg 11001 . . . 4 ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧𝑁)))
8643, 59, 58, 85mp3an2i 1353 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧𝑁)))
8761, 84, 863eqtr4d 2239 . 2 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁))‘𝑧) = ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧))
8839, 53, 87eqfnfvd 5662 1 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2167  wral 2475  {crab 2479  Vcvv 2763   class class class wbr 4033   Fn wfn 5253  cfv 5258  (class class class)co 5922  cc 7877  cr 7878   + caddc 7882  cle 8062  cmin 8197  -cneg 8198  cz 9326  cuz 9601  ...cfz 10083  seqcseq 10539   shift cshi 10979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-seqfrec 10540  df-shft 10980
This theorem is referenced by:  iser3shft  11511  eftlub  11855
  Copyright terms: Public domain W3C validator