Theorem seq3shft 10642

Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3shft.ex	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
seq3shft.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
seq3shft.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
seq3shft.fn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seq3shft.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
seq3shft	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem seq3shft

Dummy variables 𝑎 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2140	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		seq3shft.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		seq3shft.ex	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
4	3	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐹 ∈ 𝑉)
5		seq3shft.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 9198	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
7	6	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
8		eluzelz 9359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
9	8	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 9198	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
11		shftvalg 10640	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑥) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑁)))
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1217	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑥) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑁)))
13		fveq2 5429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑁) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑁)))
14	13	eleq1d 2209	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑁) → ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘(𝑥 − 𝑁)) ∈ 𝑆))
15		seq3shft.fn	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
16	15	ralrimiva 2508	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))(𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
17		fveq2 5429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑎))
18	17	eleq1d 2209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑆))
19	18	cbvralv 2657	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))(𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))(𝐹‘𝑎) ∈ 𝑆)
20	16, 19	sylib 121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))(𝐹‘𝑎) ∈ 𝑆)
21	20	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))(𝐹‘𝑎) ∈ 𝑆)
22	2, 5	zsubcld 9202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
23	22	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
24	5	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	9, 24	zsubcld 9202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥 − 𝑁) ∈ ℤ)
26	2	zred 9197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
27	26	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
28	9	zred 9197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
29	24	zred 9197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
30		eluzle 9362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑥)
31	30	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
32	27, 28, 29, 31	lesub1dd 8347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀 − 𝑁) ≤ (𝑥 − 𝑁))
33		eluz2 9356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)) ↔ ((𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝑁) ≤ (𝑥 − 𝑁)))
34	23, 25, 32, 33	syl3anbrc 1166	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))
35	14, 21, 34	rspcdva 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘(𝑥 − 𝑁)) ∈ 𝑆)
36	12, 35	eqeltrd 2217	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑥) ∈ 𝑆)
37		seq3shft.pl	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
38	1, 2, 36, 37	seqf 10265	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆)
39	38	ffnd 5281	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) Fn (ℤ≥‘𝑀))
40		eqid 2140	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))
41	40, 22, 15, 37	seqf 10265	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹):(ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))⟶𝑆)
42	41	ffnd 5281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))
43		seqex 10251	. . . . 5 ⊢ seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) ∈ V
44	43	shftfn 10628	. . . 4 ⊢ ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))})
45	42, 6, 44	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))})
46		shftuz 10621	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))} = (ℤ≥‘((𝑀 − 𝑁) + 𝑁)))
47	5, 22, 46	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))} = (ℤ≥‘((𝑀 − 𝑁) + 𝑁)))
48	2	zcnd 9198	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
49	48, 6	npcand 8101	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
50	49	fveq2d 5433	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝑀 − 𝑁) + 𝑁)) = (ℤ≥‘𝑀))
51	47, 50	eqtrd 2173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))} = (ℤ≥‘𝑀))
52	51	fneq2d 5222	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))} ↔ (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn (ℤ≥‘𝑀)))
53	45, 52	mpbid 146	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn (ℤ≥‘𝑀))
54	48, 6	negsubd 8103	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
55	54	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
56	55	seqeq1d 10255	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹) = seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹))
57		eluzelcn 9361	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑧 ∈ ℂ)
58	57	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑧 ∈ ℂ)
59	6	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
60	58, 59	negsubd 8103	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑧 + -𝑁) = (𝑧 − 𝑁))
61	56, 60	fveq12d 5436	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 + -𝑁)) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 − 𝑁)))
62		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
63	5	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
64	63	znegcld 9199	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → -𝑁 ∈ ℤ)
65	3	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝐹 ∈ 𝑉)
66	59	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝑁 ∈ ℂ)
67		elfzelz 9837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑀...𝑧) → 𝑦 ∈ ℤ)
68	67	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝑦 ∈ ℤ)
69	68	zcnd 9198	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝑦 ∈ ℂ)
70		shftvalg 10640	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)))
71	65, 66, 69, 70	syl3anc 1217	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)))
72	69, 66	negsubd 8103	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → (𝑦 + -𝑁) = (𝑦 − 𝑁))
73	72	fveq2d 5433	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)) = (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)))
74	71, 73	eqtr4d 2176	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
75	36	adantlr 469	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑥) ∈ 𝑆)
76		simpll 519	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + -𝑁))) → 𝜑)
77		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + -𝑁))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + -𝑁)))
78	54	fveq2d 5433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝑀 + -𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))
79	78	eleq2d 2210	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + -𝑁)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))))
80	79	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + -𝑁))) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + -𝑁)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))))
81	77, 80	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + -𝑁))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))
82	76, 81, 15	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + -𝑁))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
83	37	adantlr 469	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
84	62, 64, 74, 75, 82, 83	seq3shft2 10277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁))‘𝑧) = (seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 + -𝑁)))
85		shftvalg 10640	. . . 4 ⊢ ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 − 𝑁)))
86	43, 59, 58, 85	mp3an2i 1321	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 − 𝑁)))
87	61, 84, 86	3eqtr4d 2183	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁))‘𝑧) = ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧))
88	39, 53, 87	eqfnfvd 5529	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  {crab 2421  Vcvv 2689   class class class wbr 3937   Fn wfn 5126  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℂcc 7642  ℝcr 7643   + caddc 7647   ≤ cle 7825   − cmin 7957  -cneg 7958  ℤcz 9078  ℤ_≥cuz 9350  ...cfz 9821  seqcseq 10249   shift cshi 10618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822  df-seqfrec 10250  df-shft 10619

This theorem is referenced by:  iser3shft  11147  eftlub  11433