Theorem seq3shft 10985

Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3shft.ex	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
seq3shft.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
seq3shft.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
seq3shft.fn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seq3shft.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
seq3shft	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem seq3shft

Dummy variables 𝑎 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		seq3shft.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		seq3shft.ex	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐹 ∈ 𝑉)
5		seq3shft.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 9443	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
7	6	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
8		eluzelz 9604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
9	8	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 9443	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
11		shftvalg 10983	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑥) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑁)))
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑥) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑁)))
13		fveq2 5555	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑁) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑁)))
14	13	eleq1d 2262	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑁) → ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘(𝑥 − 𝑁)) ∈ 𝑆))
15		seq3shft.fn	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
16	15	ralrimiva 2567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))(𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
17		fveq2 5555	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑎))
18	17	eleq1d 2262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑆))
19	18	cbvralv 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))(𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))(𝐹‘𝑎) ∈ 𝑆)
20	16, 19	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))(𝐹‘𝑎) ∈ 𝑆)
21	20	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))(𝐹‘𝑎) ∈ 𝑆)
22	2, 5	zsubcld 9447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
23	22	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
24	5	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	9, 24	zsubcld 9447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥 − 𝑁) ∈ ℤ)
26	2	zred 9442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
27	26	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
28	9	zred 9442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
29	24	zred 9442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
30		eluzle 9607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑥)
31	30	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
32	27, 28, 29, 31	lesub1dd 8582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀 − 𝑁) ≤ (𝑥 − 𝑁))
33		eluz2 9601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)) ↔ ((𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝑁) ≤ (𝑥 − 𝑁)))
34	23, 25, 32, 33	syl3anbrc 1183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))
35	14, 21, 34	rspcdva 2870	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘(𝑥 − 𝑁)) ∈ 𝑆)
36	12, 35	eqeltrd 2270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑥) ∈ 𝑆)
37		seq3shft.pl	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
38	1, 2, 36, 37	seqf 10538	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆)
39	38	ffnd 5405	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) Fn (ℤ≥‘𝑀))
40		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))
41	40, 22, 15, 37	seqf 10538	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹):(ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))⟶𝑆)
42	41	ffnd 5405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))
43		seqex 10523	. . . . 5 ⊢ seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) ∈ V
44	43	shftfn 10971	. . . 4 ⊢ ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))})
45	42, 6, 44	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))})
46		shftuz 10964	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))} = (ℤ≥‘((𝑀 − 𝑁) + 𝑁)))
47	5, 22, 46	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))} = (ℤ≥‘((𝑀 − 𝑁) + 𝑁)))
48	2	zcnd 9443	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
49	48, 6	npcand 8336	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
50	49	fveq2d 5559	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝑀 − 𝑁) + 𝑁)) = (ℤ≥‘𝑀))
51	47, 50	eqtrd 2226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))} = (ℤ≥‘𝑀))
52	51	fneq2d 5346	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))} ↔ (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn (ℤ≥‘𝑀)))
53	45, 52	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn (ℤ≥‘𝑀))
54	48, 6	negsubd 8338	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
55	54	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
56	55	seqeq1d 10527	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹) = seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹))
57		eluzelcn 9606	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑧 ∈ ℂ)
58	57	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑧 ∈ ℂ)
59	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
60	58, 59	negsubd 8338	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑧 + -𝑁) = (𝑧 − 𝑁))
61	56, 60	fveq12d 5562	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 + -𝑁)) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 − 𝑁)))
62		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
63	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
64	63	znegcld 9444	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → -𝑁 ∈ ℤ)
65	3	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝐹 ∈ 𝑉)
66	59	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝑁 ∈ ℂ)
67		elfzelz 10094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑀...𝑧) → 𝑦 ∈ ℤ)
68	67	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝑦 ∈ ℤ)
69	68	zcnd 9443	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → 𝑦 ∈ ℂ)
70		shftvalg 10983	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)))
71	65, 66, 69, 70	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)))
72	69, 66	negsubd 8338	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → (𝑦 + -𝑁) = (𝑦 − 𝑁))
73	72	fveq2d 5559	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)) = (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)))
74	71, 73	eqtr4d 2229	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
75	36	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑥) ∈ 𝑆)
76		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + -𝑁))) → 𝜑)
77		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + -𝑁))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + -𝑁)))
78	54	fveq2d 5559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝑀 + -𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))
79	78	eleq2d 2263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + -𝑁)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))))
80	79	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + -𝑁))) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + -𝑁)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))))
81	77, 80	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + -𝑁))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))
82	76, 81, 15	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + -𝑁))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
83	37	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
84	62, 64, 74, 75, 82, 83	seq3shft2 10555	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁))‘𝑧) = (seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 + -𝑁)))
85		shftvalg 10983	. . . 4 ⊢ ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 − 𝑁)))
86	43, 59, 58, 85	mp3an2i 1353	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 − 𝑁)))
87	61, 84, 86	3eqtr4d 2236	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁))‘𝑧) = ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧))
88	39, 53, 87	eqfnfvd 5659	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  {crab 2476  Vcvv 2760   class class class wbr 4030   Fn wfn 5250  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  ℝcr 7873   + caddc 7877   ≤ cle 8057   − cmin 8192  -cneg 8193  ℤcz 9320  ℤ_≥cuz 9595  ...cfz 10077  seqcseq 10521   shift cshi 10961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-seqfrec 10522  df-shft 10962

This theorem is referenced by:  iser3shft  11492  eftlub  11836