Theorem shftuz 11565

Description: A shift of the upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
shftuz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)} = (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem shftuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2537	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵))}
2		simp2 1029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
3		zcn 9632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant1 1049	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4	npcand 8635	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) = 𝑥)
6		eluzadd 9934	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))
7	6	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))
8	7	3adant2 1047	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))
9	5, 8	eqeltrrd 2316	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))
10	9	3expib 1237	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴))))
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴))))
12		eluzelcn 9916	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℂ))
14		eluzsub 9935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴))) → (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
15	14	3expia 1236	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)) → (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
16	15	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)) → (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
17	13, 16	jcad 307	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵))))
18	11, 17	impbid 129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴))))
19	18	abbi1dv 2360	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵))} = (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))
20	1, 19	eqtrid 2283	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)} = (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224  {crab 2532  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℂcc 8171   + caddc 8176   − cmin 8491  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905

This theorem is referenced by:  seq3shft  11586