Theorem shftuz 11438

Description: A shift of the upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
shftuz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)} = (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem shftuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2520	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵))}
2		simp2 1025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
3		zcn 9527	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4	npcand 8537	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) = 𝑥)
6		eluzadd 9828	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))
7	6	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))
8	7	3adant2 1043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))
9	5, 8	eqeltrrd 2309	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))
10	9	3expib 1233	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴))))
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴))))
12		eluzelcn 9810	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℂ))
14		eluzsub 9829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴))) → (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
15	14	3expia 1232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)) → (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
16	15	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)) → (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
17	13, 16	jcad 307	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵))))
18	11, 17	impbid 129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴))))
19	18	abbi1dv 2352	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵))} = (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))
20	1, 19	eqtrid 2276	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)} = (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {cab 2217  {crab 2515  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8073   + caddc 8078   − cmin 8393  ℤcz 9522  ℤ_≥cuz 9798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799

This theorem is referenced by:  seq3shft  11459