Theorem shftuz 11498

Description: A shift of the upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
shftuz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)} = (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem shftuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2529	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵))}
2		simp2 1025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
3		zcn 9581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4	npcand 8587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) = 𝑥)
6		eluzadd 9882	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))
7	6	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))
8	7	3adant2 1043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))
9	5, 8	eqeltrrd 2310	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))
10	9	3expib 1233	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴))))
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴))))
12		eluzelcn 9864	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℂ))
14		eluzsub 9883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴))) → (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
15	14	3expia 1232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)) → (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
16	15	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)) → (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
17	13, 16	jcad 307	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵))))
18	11, 17	impbid 129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴))))
19	18	abbi1dv 2354	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵))} = (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))
20	1, 19	eqtrid 2277	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)} = (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {cab 2218  {crab 2524  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℂcc 8124   + caddc 8129   − cmin 8443  ℤcz 9576  ℤ_≥cuz 9852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853

This theorem is referenced by:  seq3shft  11519