Theorem fcdmnn0suppg 9550

Description: Version of fcdmnn0supp 9548 avoiding ax-coll 4225 by assuming 𝐹 is a set rather than its domain 𝐼. (Contributed by SN, 5-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fcdmnn0suppg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ℕ))

Proof of Theorem fcdmnn0suppg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 8268	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
2		fsuppeqg 6448	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
4	3	imp 124	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})))
5		dfn2 9509	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
6	5	imaeq2i 5099	. 2 ⊢ (◡𝐹 “ ℕ) = (◡𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0}))
7	4, 6	eqtr4di 2283	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813   ∖ cdif 3208  {csn 3689  ^◡ccnv 4748   “ cima 4752  ⟶wf 5348  (class class class)co 6050   supp csupp 6435  0cc0 8127  ℕcn 9237  ℕ₀cn0 9496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-supp 6436  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-inn 9238  df-n0 9497

This theorem is referenced by:  fcdmnn0fsuppg  9551