Theorem pwsinvg 13611

Description: Negation in a group power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsgrp.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsinvg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsinvg.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑅)
pwsinvg.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwsinvg	⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = (𝑀 ∘ 𝑋))

Proof of Theorem pwsinvg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2209	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2		simp2 1003	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		scaslid 13152	. . . . . 6 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
4	3	slotex 13025	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
5	4	3ad2ant1 1023	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
6		fconst6g 5500	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Grp)
7	6	3ad2ant1 1023	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Grp)
8		eqid 2209	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
9		eqid 2209	. . . 4 ⊢ (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
10		simp3 1004	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		pwsinvg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
12		pwsgrp.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
13		eqid 2209	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
14	12, 13	pwsval 13290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
15	14	3adant3 1022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
16	15	fveq2d 5607	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
17	11, 16	eqtrid 2254	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
18	10, 17	eleqtrd 2288	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
19	1, 2, 5, 7, 8, 9, 18	prdsinvgd 13609	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))))
20		simp1 1002	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
21		fvconst2g 5826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
22	20, 21	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
23	22	fveq2d 5607	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (invg‘𝑅))
24		pwsinvg.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑅)
25	23, 24	eqtr4di 2260	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = 𝑀)
26	25	fveq1d 5605	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)) = (𝑀‘(𝑋‘𝑥)))
27	26	mpteq2dva 4153	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋‘𝑥))))
28	19, 27	eqtrd 2242	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋‘𝑥))))
29		pwsinvg.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
30	15	fveq2d 5607	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (invg‘𝑌) = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
31	29, 30	eqtrid 2254	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
32	31	fveq1d 5605	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋))
33		eqid 2209	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
34	12, 33, 11, 20, 2, 10	pwselbas 13293	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
35	34	ffvelcdmda 5743	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
36	34	feqmptd 5660	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑥)))
37	33, 24	grpinvf 13546	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑀:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
38	37	3ad2ant1 1023	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑀:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
39	38	feqmptd 5660	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑀 = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑀‘𝑦)))
40		fveq2 5603	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑋‘𝑥) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘(𝑋‘𝑥)))
41	35, 36, 39, 40	fmptco 5774	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∘ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋‘𝑥))))
42	28, 32, 41	3eqtr4d 2252	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = (𝑀 ∘ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 983   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  Vcvv 2779  {csn 3646   ↦ cmpt 4124   × cxp 4694   ∘ ccom 4700  ⟶wf 5290  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  Basecbs 12998  Scalarcsca 13079  X_scprds 13264   ↑_s cpws 13265  Grpcgrp 13499  inv_gcminusg 13500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-map 6767  df-ixp 6816  df-sup 7119  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-dec 9547  df-uz 9691  df-fz 10173  df-struct 13000  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-ip 13094  df-tset 13095  df-ple 13096  df-ds 13098  df-hom 13100  df-cco 13101  df-rest 13240  df-topn 13241  df-0g 13257  df-topgen 13259  df-pt 13260  df-prds 13266  df-pws 13289  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-grp 13502  df-minusg 13503

This theorem is referenced by:  pwssub  13612