ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lenegcon2 GIF version

Theorem lenegcon2 8253
Description: Contraposition of negative in 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
lenegcon2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ -𝐵𝐵 ≤ -𝐴))

Proof of Theorem lenegcon2
StepHypRef Expression
1 renegcl 8047 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
2 leneg 8251 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ -𝐵 ↔ --𝐵 ≤ -𝐴))
31, 2sylan2 284 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ -𝐵 ↔ --𝐵 ≤ -𝐴))
4 recn 7777 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
54negnegd 8088 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → --𝐵 = 𝐵)
65adantl 275 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → --𝐵 = 𝐵)
76breq1d 3947 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (--𝐵 ≤ -𝐴𝐵 ≤ -𝐴))
83, 7bitrd 187 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ -𝐵𝐵 ≤ -𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1332  wcel 1481   class class class wbr 3937  cr 7643  cle 7825  -cneg 7958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltadd 7760
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960
This theorem is referenced by:  lenegcon2d  8314  lemininf  11037
  Copyright terms: Public domain W3C validator