Theorem negnegd 8635

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → - -𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 8583	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → - -𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → - -𝐴 = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ℂcc 8183   -cneg 8505

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506  df-neg 8507

This theorem is used by:  ltnegcon1  8798  ltnegcon2  8799  lenegcon1  8801  lenegcon2  8802  recexre  8914  zaddcllemneg  9692  zeo  9761  zindd  9774  infrenegsupex  10009  supinfneg  10010  infsupneg  10011  supminfex  10012  negm  10030  xnegneg  10251  infssuzex  10682  zsupssdc  10689  ceilid  10772  expnegap0  11004  expaddzaplem  11039  expaddzap  11040  cjcj  11669  negfi  12016  minabs  12025  minclpr  12026  mingeb  12032  sincossq  12539  pcid  13131  4sqlem10  13194  znnen  13346  mulgnegnn  13993  mulgsubcl  13997  mulgneg  14001  mulgz  14011  mulgass  14020  ghmmulg  14117  ptolemy  16068  rpcxpmul2z  16165  lgsdir2lem4  16372