ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negnegd GIF version

Theorem negnegd 8246
Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
negnegd (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 negneg 8194 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
31, 2syl 14 1 (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148  cc 7797  -cneg 8116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-setind 4533  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-addcom 7899  ax-addass 7901  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-cnre 7910
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-sub 8117  df-neg 8118
This theorem is referenced by:  ltnegcon1  8407  ltnegcon2  8408  lenegcon1  8410  lenegcon2  8411  recexre  8522  zaddcllemneg  9278  zeo  9344  zindd  9357  infrenegsupex  9580  supinfneg  9581  infsupneg  9582  supminfex  9583  negm  9601  xnegneg  9817  ceilid  10298  expnegap0  10511  expaddzaplem  10546  expaddzap  10547  cjcj  10873  negfi  11217  minabs  11225  minclpr  11226  mingeb  11231  sincossq  11737  infssuzex  11930  zsupssdc  11935  pcid  12303  4sqlem10  12365  znnen  12379  mulgnegnn  12879  mulgsubcl  12883  mulgneg  12887  mulgz  12896  mulgass  12905  ptolemy  13909  lgsdir2lem4  14096
  Copyright terms: Public domain W3C validator