ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lenegcon1 GIF version

Theorem lenegcon1 8364
Description: Contraposition of negative in 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
lenegcon1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴𝐵 ↔ -𝐵𝐴))

Proof of Theorem lenegcon1
StepHypRef Expression
1 renegcl 8159 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2 leneg 8363 . . 3 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴𝐵 ↔ -𝐵 ≤ --𝐴))
31, 2sylan 281 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴𝐵 ↔ -𝐵 ≤ --𝐴))
4 recn 7886 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
54negnegd 8200 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → --𝐴 = 𝐴)
65breq2d 3994 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐵 ≤ --𝐴 ↔ -𝐵𝐴))
76adantr 274 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ --𝐴 ↔ -𝐵𝐴))
83, 7bitrd 187 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴𝐵 ↔ -𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 2136   class class class wbr 3982  cr 7752  cle 7934  -cneg 8070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltadd 7869
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072
This theorem is referenced by:  lenegcon1i  8398  lenegcon1d  8425  ublbneg  9551  absle  11031  lenegsq  11037  abs2difabs  11050  minmax  11171  sinbnd  11693  cosbnd  11694
  Copyright terms: Public domain W3C validator