Theorem lenegcon1 8688

Description: Contraposition of negative in 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
lenegcon1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem lenegcon1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8482	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2		leneg 8687	. . 3 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ --𝐴))
3	1, 2	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ --𝐴))
4		recn 8208	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	negnegd 8523	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → --𝐴 = 𝐴)
6	5	breq2d 4105	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐵 ≤ --𝐴 ↔ -𝐵 ≤ 𝐴))
7	6	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ --𝐴 ↔ -𝐵 ≤ 𝐴))
8	3, 7	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ℝcr 8074   ≤ cle 8257  -cneg 8393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395

This theorem is referenced by:  lenegcon1i  8722  lenegcon1d  8749  ublbneg  9891  absle  11712  lenegsq  11718  abs2difabs  11731  minmax  11853  sinbnd  12376  cosbnd  12377