ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climge0 GIF version

Theorem climge0 11314
Description: A nonnegative sequence converges to a nonnegative number. (Contributed by NM, 11-Sep-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
climrecl.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climrecl.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climrecl.3 (𝜑𝐹𝐴)
climrecl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climge0.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climge0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘

Proof of Theorem climge0
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrecl.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climrecl.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
32adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 climrecl.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝐴)
5 climrecl.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
61, 2, 4, 5climrecl 11313 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
76adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
87renegcld 8324 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
96lt0neg1d 8459 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
109biimpa 296 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
118, 10elrpd 9677 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ+)
12 eqidd 2178 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
134adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐹𝐴)
141, 3, 11, 12, 13climi2 11277 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < 0) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
151r19.2uz 10983 . . . . 5 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴 → ∃𝑘𝑍 (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
1614, 15syl 14 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 0) → ∃𝑘𝑍 (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
17 simprr 531 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
185ad2ant2r 509 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
197adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
208adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ)
2118, 19, 20absdifltd 11168 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴 ↔ ((𝐴 − -𝐴) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐴 + -𝐴))))
2217, 21mpbid 147 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ((𝐴 − -𝐴) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐴 + -𝐴)))
2322simprd 114 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹𝑘) < (𝐴 + -𝐴))
2419recnd 7973 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2524negidd 8245 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐴 + -𝐴) = 0)
2623, 25breqtrd 4026 . . . . 5 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹𝑘) < 0)
27 climge0.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
2827ad2ant2r 509 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
29 0red 7946 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
3029, 18lenltd 8062 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (0 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ¬ (𝐹𝑘) < 0))
3128, 30mpbid 147 . . . . 5 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ¬ (𝐹𝑘) < 0)
3226, 31pm2.21fal 1373 . . . 4 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ⊥)
3316, 32rexlimddv 2599 . . 3 ((𝜑𝐴 < 0) → ⊥)
3433inegd 1372 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐴 < 0)
35 0re 7945 . . 3 0 ∈ ℝ
36 lenlt 8020 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
3735, 6, 36sylancr 414 . 2 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
3834, 37mpbird 167 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wfal 1358  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  cr 7798  0cc0 7799   + caddc 7802   < clt 7979  cle 7980  cmin 8115  -cneg 8116  cz 9239  cuz 9514  abscabs 10987  cli 11267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-mulass 7902  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-1rid 7906  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-precex 7909  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916  ax-pre-mulext 7917  ax-arch 7918  ax-caucvg 7919
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-reap 8519  df-ap 8526  df-div 8616  df-inn 8906  df-2 8964  df-3 8965  df-4 8966  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-rp 9638  df-seqfrec 10429  df-exp 10503  df-cj 10832  df-re 10833  df-im 10834  df-rsqrt 10988  df-abs 10989  df-clim 11268
This theorem is referenced by:  climle  11323
  Copyright terms: Public domain W3C validator