Theorem climge0 11857

Description: A nonnegative sequence converges to a nonnegative number. (Contributed by NM, 11-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrecl.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrecl.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrecl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climrecl.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climge0.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘

Proof of Theorem climge0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrecl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climrecl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		climrecl.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
5		climrecl.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
6	1, 2, 4, 5	climrecl 11856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	renegcld 8542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
9	6	lt0neg1d 8678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
10	9	biimpa 296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
11	8, 10	elrpd 9906	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ+)
12		eqidd 2230	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
13	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
14	1, 3, 11, 12, 13	climi2 11820	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
15	1	r19.2uz 11525	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
16	14, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
17		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
18	5	ad2ant2r 509	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
19	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ)
21	18, 19, 20	absdifltd 11710	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴 ↔ ((𝐴 − -𝐴) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐴 + -𝐴))))
22	17, 21	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ((𝐴 − -𝐴) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐴 + -𝐴)))
23	22	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹‘𝑘) < (𝐴 + -𝐴))
24	19	recnd 8191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	negidd 8463	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐴 + -𝐴) = 0)
26	23, 25	breqtrd 4109	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹‘𝑘) < 0)
27		climge0.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
28	27	ad2ant2r 509	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
29		0red 8163	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
30	29, 18	lenltd 8280	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (0 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ¬ (𝐹‘𝑘) < 0))
31	28, 30	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ¬ (𝐹‘𝑘) < 0)
32	26, 31	pm2.21fal 1415	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ⊥)
33	16, 32	rexlimddv 2653	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ⊥)
34	33	inegd 1414	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 0)
35		0re 8162	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
36		lenlt 8238	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
37	35, 6, 36	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
38	34, 37	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395  ⊥wfal 1400   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   class class class wbr 4083  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  ℝcr 8014  0cc0 8015   + caddc 8018   < clt 8197   ≤ cle 8198   − cmin 8333  -cneg 8334  ℤcz 9462  ℤ_≥cuz 9738  abscabs 11529   ⇝ cli 11810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-rp 9867  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-clim 11811

This theorem is referenced by:  climle  11866