Theorem climge0 11490

Description: A nonnegative sequence converges to a nonnegative number. (Contributed by NM, 11-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrecl.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrecl.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrecl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climrecl.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climge0.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘

Proof of Theorem climge0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrecl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climrecl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		climrecl.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
5		climrecl.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
6	1, 2, 4, 5	climrecl 11489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	renegcld 8406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
9	6	lt0neg1d 8542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
10	9	biimpa 296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
11	8, 10	elrpd 9768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ+)
12		eqidd 2197	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
13	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
14	1, 3, 11, 12, 13	climi2 11453	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
15	1	r19.2uz 11158	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
16	14, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
17		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
18	5	ad2ant2r 509	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
19	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ)
21	18, 19, 20	absdifltd 11343	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴 ↔ ((𝐴 − -𝐴) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐴 + -𝐴))))
22	17, 21	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ((𝐴 − -𝐴) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐴 + -𝐴)))
23	22	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹‘𝑘) < (𝐴 + -𝐴))
24	19	recnd 8055	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	negidd 8327	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐴 + -𝐴) = 0)
26	23, 25	breqtrd 4059	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹‘𝑘) < 0)
27		climge0.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
28	27	ad2ant2r 509	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
29		0red 8027	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
30	29, 18	lenltd 8144	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (0 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ¬ (𝐹‘𝑘) < 0))
31	28, 30	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ¬ (𝐹‘𝑘) < 0)
32	26, 31	pm2.21fal 1384	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ⊥)
33	16, 32	rexlimddv 2619	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ⊥)
34	33	inegd 1383	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 0)
35		0re 8026	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
36		lenlt 8102	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
37	35, 6, 36	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
38	34, 37	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  ⊥wfal 1369   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℝcr 7878  0cc0 7879   + caddc 7882   < clt 8061   ≤ cle 8062   − cmin 8197  -cneg 8198  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601  abscabs 11162   ⇝ cli 11443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-rp 9729  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444

This theorem is referenced by:  climle  11499