Theorem climge0 11802

Description: A nonnegative sequence converges to a nonnegative number. (Contributed by NM, 11-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrecl.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrecl.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrecl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climrecl.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climge0.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘

Proof of Theorem climge0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrecl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climrecl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		climrecl.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
5		climrecl.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
6	1, 2, 4, 5	climrecl 11801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	renegcld 8494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
9	6	lt0neg1d 8630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
10	9	biimpa 296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
11	8, 10	elrpd 9857	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ+)
12		eqidd 2210	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
13	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
14	1, 3, 11, 12, 13	climi2 11765	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
15	1	r19.2uz 11470	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
16	14, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
17		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
18	5	ad2ant2r 509	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
19	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ)
21	18, 19, 20	absdifltd 11655	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴 ↔ ((𝐴 − -𝐴) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐴 + -𝐴))))
22	17, 21	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ((𝐴 − -𝐴) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐴 + -𝐴)))
23	22	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹‘𝑘) < (𝐴 + -𝐴))
24	19	recnd 8143	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	negidd 8415	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐴 + -𝐴) = 0)
26	23, 25	breqtrd 4088	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹‘𝑘) < 0)
27		climge0.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
28	27	ad2ant2r 509	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
29		0red 8115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
30	29, 18	lenltd 8232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (0 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ¬ (𝐹‘𝑘) < 0))
31	28, 30	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ¬ (𝐹‘𝑘) < 0)
32	26, 31	pm2.21fal 1395	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ⊥)
33	16, 32	rexlimddv 2633	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ⊥)
34	33	inegd 1394	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 0)
35		0re 8114	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
36		lenlt 8190	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
37	35, 6, 36	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
38	34, 37	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1375  ⊥wfal 1380   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488  ∃wrex 2489   class class class wbr 4062  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  ℝcr 7966  0cc0 7967   + caddc 7970   < clt 8149   ≤ cle 8150   − cmin 8285  -cneg 8286  ℤcz 9414  ℤ_≥cuz 9690  abscabs 11474   ⇝ cli 11755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-rp 9818  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-clim 11756

This theorem is referenced by:  climle  11811