Theorem climge0 12074

Description: A nonnegative sequence converges to a nonnegative number. (Contributed by NM, 11-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrecl.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrecl.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrecl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climrecl.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climge0.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘

Proof of Theorem climge0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrecl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climrecl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		climrecl.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
5		climrecl.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
6	1, 2, 4, 5	climrecl 12073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	renegcld 8701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
9	6	lt0neg1d 8837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
10	9	biimpa 296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
11	8, 10	elrpd 10077	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ+)
12		eqidd 2239	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
13	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
14	1, 3, 11, 12, 13	climi2 12037	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
15	1	r19.2uz 11742	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
16	14, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
17		simprr 537	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
18	5	ad2ant2r 513	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
19	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ)
21	18, 19, 20	absdifltd 11927	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴 ↔ ((𝐴 − -𝐴) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐴 + -𝐴))))
22	17, 21	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ((𝐴 − -𝐴) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐴 + -𝐴)))
23	22	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹‘𝑘) < (𝐴 + -𝐴))
24	19	recnd 8348	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	negidd 8621	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐴 + -𝐴) = 0)
26	23, 25	breqtrd 4154	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹‘𝑘) < 0)
27		climge0.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
28	27	ad2ant2r 513	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
29		0red 8321	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
30	29, 18	lenltd 8438	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (0 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ¬ (𝐹‘𝑘) < 0))
31	28, 30	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ¬ (𝐹‘𝑘) < 0)
32	26, 31	pm2.21fal 1422	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ⊥)
33	16, 32	rexlimddv 2673	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ⊥)
34	33	inegd 1421	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 0)
35		0re 8320	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
36		lenlt 8395	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
37	35, 6, 36	sylancr 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
38	34, 37	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402  ⊥wfal 1407   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℝcr 8172  0cc0 8173   + caddc 8176   < clt 8354   ≤ cle 8355   − cmin 8491  -cneg 8492  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904  abscabs 11746   ⇝ cli 12027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-rp 10038  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028

This theorem is referenced by:  climle  12083