Theorem expcanlem 10945

Description: Lemma for expcan 10946. Proving the order in one direction. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcanlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expcanlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
expcanlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
expcanlem.gt1	⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
expcanlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) ≤ (𝐴↑𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem expcanlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcanlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		expcanlem.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		expcanlem.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		expcanlem.gt1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
5		ltexp2a 10821	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑁 < 𝑀)) → (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀))
6	5	expr 375	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑁 < 𝑀 → (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀)))
7	1, 2, 3, 4, 6	syl31anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 → (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀)))
8	7	con3d 634	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀))
9		0red 8155	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10		1red 8169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11		0lt1 8281	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
12	11	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
13	9, 10, 1, 12, 4	lttrd 8280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
14	1, 13	gt0ap0d 8784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
15	1, 14, 3	reexpclzapd 10928	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ)
16	1, 14, 2	reexpclzapd 10928	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
17	15, 16	lenltd 8272	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) ≤ (𝐴↑𝑁) ↔ ¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀)))
18	3	zred 9577	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
19	2	zred 9577	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
20	18, 19	lenltd 8272	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
21	8, 17, 20	3imtr4d 203	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) ≤ (𝐴↑𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℝcr 8006  0cc0 8007  1c1 8008   < clt 8189   ≤ cle 8190  ℤcz 9454  ↑cexp 10768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-rp 9858  df-seqfrec 10678  df-exp 10769

This theorem is referenced by:  expcan  10946