Theorem expcanlem 10698

Description: Lemma for expcan 10699. Proving the order in one direction. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcanlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expcanlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
expcanlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
expcanlem.gt1	⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
expcanlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) ≤ (𝐴↑𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem expcanlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcanlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		expcanlem.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		expcanlem.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		expcanlem.gt1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
5		ltexp2a 10575	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑁 < 𝑀)) → (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀))
6	5	expr 375	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑁 < 𝑀 → (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀)))
7	1, 2, 3, 4, 6	syl31anc 1241	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 → (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀)))
8	7	con3d 631	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀))
9		0red 7961	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10		1red 7975	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11		0lt1 8087	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
12	11	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
13	9, 10, 1, 12, 4	lttrd 8086	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
14	1, 13	gt0ap0d 8589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
15	1, 14, 3	reexpclzapd 10682	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ)
16	1, 14, 2	reexpclzapd 10682	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
17	15, 16	lenltd 8078	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) ≤ (𝐴↑𝑁) ↔ ¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀)))
18	3	zred 9378	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
19	2	zred 9378	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
20	18, 19	lenltd 8078	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
21	8, 17, 20	3imtr4d 203	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) ≤ (𝐴↑𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  ℝcr 7813  0cc0 7814  1c1 7815   < clt 7995   ≤ cle 7996  ℤcz 9256  ↑cexp 10522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-rp 9657  df-seqfrec 10449  df-exp 10523

This theorem is referenced by:  expcan  10699