Theorem expcanlem 10983

Description: Lemma for expcan 10984. Proving the order in one direction. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcanlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expcanlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
expcanlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
expcanlem.gt1	⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
expcanlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) ≤ (𝐴↑𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem expcanlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcanlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		expcanlem.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		expcanlem.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		expcanlem.gt1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
5		ltexp2a 10859	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑁 < 𝑀)) → (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀))
6	5	expr 375	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑁 < 𝑀 → (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀)))
7	1, 2, 3, 4, 6	syl31anc 1276	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 → (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀)))
8	7	con3d 636	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀))
9		0red 8185	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10		1red 8199	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11		0lt1 8311	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
12	11	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
13	9, 10, 1, 12, 4	lttrd 8310	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
14	1, 13	gt0ap0d 8814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
15	1, 14, 3	reexpclzapd 10966	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ)
16	1, 14, 2	reexpclzapd 10966	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
17	15, 16	lenltd 8302	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) ≤ (𝐴↑𝑁) ↔ ¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀)))
18	3	zred 9607	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
19	2	zred 9607	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
20	18, 19	lenltd 8302	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
21	8, 17, 20	3imtr4d 203	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) ≤ (𝐴↑𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1004   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023  ℝcr 8036  0cc0 8037  1c1 8038   < clt 8219   ≤ cle 8220  ℤcz 9484  ↑cexp 10806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-rp 9894  df-seqfrec 10716  df-exp 10807

This theorem is referenced by:  expcan  10984