Theorem lediv1 9143

Description: Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
lediv1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem lediv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdiv1 9142	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 / 𝐶) < (𝐴 / 𝐶)))
2	1	3com12 1234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 / 𝐶) < (𝐴 / 𝐶)))
3	2	notbid 673	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 / 𝐶) < (𝐴 / 𝐶)))
4		lenlt 8349	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	4	3adant3 1044	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
6		gt0ap0 8900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 # 0)
7	6	3adant1 1042	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 # 0)
8		redivclap 9005	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℝ)
9	7, 8	syld3an3 1319	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℝ)
10	9	3expb 1231	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℝ)
11	10	3adant2 1043	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℝ)
12	6	3adant1 1042	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 # 0)
13		redivclap 9005	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
14	12, 13	syld3an3 1319	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
15	14	3expb 1231	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
16	15	3adant1 1042	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
17	11, 16	lenltd 8391	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 / 𝐶) < (𝐴 / 𝐶)))
18	3, 5, 17	3bitr4d 220	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050  ℝcr 8126  0cc0 8127   < clt 8308   ≤ cle 8309   # cap 8855   / cdiv 8946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947

This theorem is referenced by:  ge0div  9145  ledivmul  9151  lediv23  9167  lediv1d  10076  icccntr  10333  sin01bnd  12443  cos01bnd  12444  sin02gt0  12450  hashdvds  12918  cosordlem  15714  gausslemma2dlem1a  15931  gausslemma2dlem3  15936  lgseisenlem1  15943  2lgslem1c  15963