ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flqeqceilz GIF version

Theorem flqeqceilz 9613
Description: A rational number is an integer iff its floor equals its ceiling. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
flqeqceilz (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)))

Proof of Theorem flqeqceilz
StepHypRef Expression
1 flid 9579 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
2 ceilid 9610 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (⌈‘𝐴) = 𝐴)
31, 2eqtr4d 2118 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴))
4 flqcl 9568 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
5 zq 9005 . . . . . 6 ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
64, 5syl 14 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
7 qdceq 9546 . . . . 5 (((⌊‘𝐴) ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → DECID (⌊‘𝐴) = 𝐴)
86, 7mpancom 413 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → DECID (⌊‘𝐴) = 𝐴)
9 exmiddc 778 . . . 4 (DECID (⌊‘𝐴) = 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = 𝐴 ∨ ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴))
108, 9syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) = 𝐴 ∨ ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴))
11 eqeq1 2089 . . . . . . 7 ((⌊‘𝐴) = 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
1211adantr 270 . . . . . 6 (((⌊‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ ℚ) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
13 ceilqidz 9611 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌈‘𝐴) = 𝐴))
14 eqcom 2085 . . . . . . . . 9 ((⌈‘𝐴) = 𝐴𝐴 = (⌈‘𝐴))
1513, 14syl6bb 194 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
1615biimprd 156 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
1716adantl 271 . . . . . 6 (((⌊‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ ℚ) → (𝐴 = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
1812, 17sylbid 148 . . . . 5 (((⌊‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ ℚ) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
1918ex 113 . . . 4 ((⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
20 flqle 9573 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
21 df-ne 2250 . . . . . 6 ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 ↔ ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴)
22 necom 2333 . . . . . . 7 ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))
23 qltlen 9019 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘𝐴) ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))))
246, 23mpancom 413 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))))
25 breq1 3814 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
2625adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
27 ceilqge 9605 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ≤ (⌈‘𝐴))
28 qre 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
29 ceilqcl 9603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℚ → (⌈‘𝐴) ∈ ℤ)
3029zred 8763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℚ → (⌈‘𝐴) ∈ ℝ)
3128, 30lenltd 7503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ≤ (⌈‘𝐴) ↔ ¬ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
32 pm2.21 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (⌈‘𝐴) < 𝐴 → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
3331, 32syl6bi 161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ≤ (⌈‘𝐴) → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ)))
3427, 33mpd 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
3534adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
3626, 35sylbid 148 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
3736ex 113 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ)))
3837com23 77 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
3924, 38sylbird 168 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℚ → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 ≠ (⌊‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
4039expd 254 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → (𝐴 ≠ (⌊‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
4140com3r 78 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ (⌊‘𝐴) → (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
4222, 41sylbi 119 . . . . . 6 ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 → (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
4321, 42sylbir 133 . . . . 5 (¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
4420, 43mpdi 42 . . . 4 (¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
4519, 44jaoi 669 . . 3 (((⌊‘𝐴) = 𝐴 ∨ ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴) → (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
4610, 45mpcom 36 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
473, 46impbid2 141 1 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  DECID wdc 776   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249   class class class wbr 3811  cfv 4968   < clt 7424  cle 7425  cz 8645  cq 8998  cfl 9563  cceil 9564
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7338  ax-resscn 7339  ax-1cn 7340  ax-1re 7341  ax-icn 7342  ax-addcl 7343  ax-addrcl 7344  ax-mulcl 7345  ax-mulrcl 7346  ax-addcom 7347  ax-mulcom 7348  ax-addass 7349  ax-mulass 7350  ax-distr 7351  ax-i2m1 7352  ax-0lt1 7353  ax-1rid 7354  ax-0id 7355  ax-rnegex 7356  ax-precex 7357  ax-cnre 7358  ax-pre-ltirr 7359  ax-pre-ltwlin 7360  ax-pre-lttrn 7361  ax-pre-apti 7362  ax-pre-ltadd 7363  ax-pre-mulgt0 7364  ax-pre-mulext 7365  ax-arch 7366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-rn 4411  df-res 4412  df-ima 4413  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fn 4971  df-f 4972  df-fv 4976  df-riota 5546  df-ov 5593  df-oprab 5594  df-mpt2 5595  df-1st 5845  df-2nd 5846  df-pnf 7426  df-mnf 7427  df-xr 7428  df-ltxr 7429  df-le 7430  df-sub 7557  df-neg 7558  df-reap 7951  df-ap 7958  df-div 8037  df-inn 8316  df-n0 8565  df-z 8646  df-q 8999  df-rp 9029  df-fl 9565  df-ceil 9566
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator