ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flqeqceilz GIF version

Theorem flqeqceilz 10105
Description: A rational number is an integer iff its floor equals its ceiling. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
flqeqceilz (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)))

Proof of Theorem flqeqceilz
StepHypRef Expression
1 flid 10071 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
2 ceilid 10102 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (⌈‘𝐴) = 𝐴)
31, 2eqtr4d 2175 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴))
4 flqcl 10060 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
5 zq 9432 . . . . . 6 ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
64, 5syl 14 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
7 qdceq 10038 . . . . 5 (((⌊‘𝐴) ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → DECID (⌊‘𝐴) = 𝐴)
86, 7mpancom 418 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → DECID (⌊‘𝐴) = 𝐴)
9 exmiddc 821 . . . 4 (DECID (⌊‘𝐴) = 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = 𝐴 ∨ ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴))
108, 9syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) = 𝐴 ∨ ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴))
11 eqeq1 2146 . . . . . . 7 ((⌊‘𝐴) = 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
1211adantr 274 . . . . . 6 (((⌊‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ ℚ) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
13 ceilqidz 10103 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌈‘𝐴) = 𝐴))
14 eqcom 2141 . . . . . . . . 9 ((⌈‘𝐴) = 𝐴𝐴 = (⌈‘𝐴))
1513, 14syl6bb 195 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
1615biimprd 157 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
1716adantl 275 . . . . . 6 (((⌊‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ ℚ) → (𝐴 = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
1812, 17sylbid 149 . . . . 5 (((⌊‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ ℚ) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
1918ex 114 . . . 4 ((⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
20 flqle 10065 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
21 df-ne 2309 . . . . . 6 ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 ↔ ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴)
22 necom 2392 . . . . . . 7 ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))
23 qltlen 9446 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘𝐴) ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))))
246, 23mpancom 418 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))))
25 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
2625adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
27 ceilqge 10097 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ≤ (⌈‘𝐴))
28 qre 9431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
29 ceilqcl 10095 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℚ → (⌈‘𝐴) ∈ ℤ)
3029zred 9187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℚ → (⌈‘𝐴) ∈ ℝ)
3128, 30lenltd 7894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ≤ (⌈‘𝐴) ↔ ¬ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
32 pm2.21 606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (⌈‘𝐴) < 𝐴 → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
3331, 32syl6bi 162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ≤ (⌈‘𝐴) → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ)))
3427, 33mpd 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
3534adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
3626, 35sylbid 149 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
3736ex 114 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ)))
3837com23 78 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
3924, 38sylbird 169 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℚ → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 ≠ (⌊‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
4039expd 256 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → (𝐴 ≠ (⌊‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
4140com3r 79 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ (⌊‘𝐴) → (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
4222, 41sylbi 120 . . . . . 6 ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 → (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
4321, 42sylbir 134 . . . . 5 (¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
4420, 43mpdi 43 . . . 4 (¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
4519, 44jaoi 705 . . 3 (((⌊‘𝐴) = 𝐴 ∨ ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴) → (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
4610, 45mpcom 36 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
473, 46impbid2 142 1 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2308   class class class wbr 3929  cfv 5123   < clt 7814  cle 7815  cz 9068  cq 9425  cfl 10055  cceil 10056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-mulrcl 7733  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-precex 7744  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-apti 7749  ax-pre-ltadd 7750  ax-pre-mulgt0 7751  ax-pre-mulext 7752  ax-arch 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-reap 8351  df-ap 8358  df-div 8447  df-inn 8735  df-n0 8992  df-z 9069  df-q 9426  df-rp 9456  df-fl 10057  df-ceil 10058
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator