ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mullt0 GIF version

Theorem mullt0 8437
Description: The product of two negative numbers is positive. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
mullt0 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต < 0)) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต))

Proof of Theorem mullt0
StepHypRef Expression
1 renegcl 8218 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
21adantr 276 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
3 lt0neg1 8425 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด < 0 โ†” 0 < -๐ด))
43biimpa 296 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 < -๐ด)
52, 4jca 306 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (-๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐ด))
6 renegcl 8218 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ -๐ต โˆˆ โ„)
76adantr 276 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต < 0) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„)
8 lt0neg1 8425 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต < 0 โ†” 0 < -๐ต))
98biimpa 296 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต < 0) โ†’ 0 < -๐ต)
107, 9jca 306 . . 3 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต < 0) โ†’ (-๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐ต))
11 mulgt0 8032 . . 3 (((-๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐ด) โˆง (-๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐ต)) โ†’ 0 < (-๐ด ยท -๐ต))
125, 10, 11syl2an 289 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต < 0)) โ†’ 0 < (-๐ด ยท -๐ต))
13 recn 7944 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
14 recn 7944 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
15 mul2neg 8355 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐ด ยท -๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
1613, 14, 15syl2an 289 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (-๐ด ยท -๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
1716ad2ant2r 509 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต < 0)) โ†’ (-๐ด ยท -๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
1812, 17breqtrd 4030 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต < 0)) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  โ„cr 7810  0cc0 7811   ยท cmul 7816   < clt 7992  -cneg 8129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-sub 8130  df-neg 8131
This theorem is referenced by:  inelr  8541  apsqgt0  8558
  Copyright terms: Public domain W3C validator