Theorem mullt0 8808

Description: The product of two negative numbers is positive. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Jun-2009.)

Assertion

Ref	Expression
mullt0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mullt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
3		lt0neg1 8796	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
4	3	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
5	2, 4	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
6		renegcl 8587	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℝ)
8		lt0neg1 8796	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
9	8	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0) → 0 < -𝐵)
10	7, 9	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0) → (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵))
11		mulgt0 8400	. . 3 ⊢ (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵)) → 0 < (-𝐴 · -𝐵))
12	5, 10, 11	syl2an 289	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → 0 < (-𝐴 · -𝐵))
13		recn 8312	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14		recn 8312	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
15		mul2neg 8725	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
16	13, 14, 15	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
17	16	ad2ant2r 513	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
18	12, 17	breqtrd 4156	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  ℝcr 8178  0cc0 8179   · cmul 8184   < clt 8360  -cneg 8498

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-sub 8499  df-neg 8500

This theorem is used by:  inelr  8912  apsqgt0  8929