Theorem mullt0 8754

Description: The product of two negative numbers is positive. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Jun-2009.)

Assertion

Ref	Expression
mullt0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mullt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8534	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
3		lt0neg1 8742	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
4	3	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
5	2, 4	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
6		renegcl 8534	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℝ)
8		lt0neg1 8742	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
9	8	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0) → 0 < -𝐵)
10	7, 9	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0) → (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵))
11		mulgt0 8348	. . 3 ⊢ (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵)) → 0 < (-𝐴 · -𝐵))
12	5, 10, 11	syl2an 289	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → 0 < (-𝐴 · -𝐵))
13		recn 8260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14		recn 8260	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
15		mul2neg 8671	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
16	13, 14, 15	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
17	16	ad2ant2r 509	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
18	12, 17	breqtrd 4135	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  ℝcr 8126  0cc0 8127   · cmul 8132   < clt 8308  -cneg 8445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-sub 8446  df-neg 8447

This theorem is referenced by:  inelr  8858  apsqgt0  8875