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Theorem oddge22np1 10974
Description: An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
oddge22np1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem oddge22np1
StepHypRef Expression
1 eleq1 2150 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
2 nn0z 8740 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
32adantl 271 . . . . . . . . . 10 ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
4 eluz2 8994 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
5 2re 8463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
65a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
7 1red 7482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
8 2nn0 8660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℕ0
98a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
10 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
119, 10nn0mulcld 8701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
1211nn0red 8697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
136, 7, 12lesubaddd 7995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
14 2m1e1 8510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 − 1) = 1
1514breq1i 3844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛))
16 nn0re 8652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ)
17 2pos 8484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 2
185, 17pm3.2i 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
1918a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
20 ledivmul 8310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 / 2) ≤ 𝑛 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛)))
217, 16, 19, 20syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1 / 2) ≤ 𝑛 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛)))
22 halfgt0 8601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < (1 / 2)
23 0red 7468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
24 halfre 8599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 / 2) ∈ ℝ
2524a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 / 2) ∈ ℝ)
26 ltletr 7553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑛) → 0 < 𝑛))
2723, 25, 16, 26syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑛) → 0 < 𝑛))
2822, 27mpani 421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1 / 2) ≤ 𝑛 → 0 < 𝑛))
2921, 28sylbird 168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 ≤ (2 · 𝑛) → 0 < 𝑛))
3015, 29syl5bi 150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) → 0 < 𝑛))
3113, 30sylbird 168 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → 0 < 𝑛))
3231com12 30 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
33323ad2ant3 966 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
344, 33sylbi 119 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
3534imp 122 . . . . . . . . . 10 ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑛)
36 elnnz 8730 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑛))
373, 35, 36sylanbrc 408 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ)
3837ex 113 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ))
391, 38syl6bir 162 . . . . . . 7 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ)))
4039com13 79 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁𝑛 ∈ ℕ)))
4140impcom 123 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁𝑛 ∈ ℕ))
4241pm4.71rd 386 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
4342bicomd 139 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
4443rexbidva 2377 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
45 nnssnn0 8646 . . 3 ℕ ⊆ ℕ0
46 rexss 3086 . . 3 (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
4745, 46mp1i 10 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
48 eluzge2nn0 9027 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49 oddnn02np1 10973 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
5048, 49syl 14 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
5144, 47, 503bitr4rd 219 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 924   = wceq 1289  wcel 1438  wrex 2360  wss 2997   class class class wbr 3837  cfv 5002  (class class class)co 5634  cr 7328  0cc0 7329  1c1 7330   + caddc 7332   · cmul 7334   < clt 7501  cle 7502  cmin 7632   / cdiv 8113  cn 8394  2c2 8444  0cn0 8643  cz 8720  cuz 8988  cdvds 10889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-xor 1312  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-dvds 10890
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