Theorem oddge22np1 12432

Description: An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddge22np1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem oddge22np1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2292	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		nn0z 9489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
3	2	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
4		eluz2 9751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
5		2re 9203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
7		1red 8184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
8		2nn0 9409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℕ0
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
10		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0)
11	9, 10	nn0mulcld 9450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 9446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
13	6, 7, 12	lesubaddd 8712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
14		2m1e1 9251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 − 1) = 1
15	14	breq1i 4093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛))
16		nn0re 9401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℝ)
17		2pos 9224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 2
18	5, 17	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
20		ledivmul 9047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 / 2) ≤ 𝑛 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛)))
21	7, 16, 19, 20	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1 / 2) ≤ 𝑛 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛)))
22		halfgt0 9349	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < (1 / 2)
23		0red 8170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
24		halfre 9347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 / 2) ∈ ℝ)
26		ltletr 8259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑛) → 0 < 𝑛))
27	23, 25, 16, 26	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑛) → 0 < 𝑛))
28	22, 27	mpani 430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1 / 2) ≤ 𝑛 → 0 < 𝑛))
29	21, 28	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 ≤ (2 · 𝑛) → 0 < 𝑛))
30	15, 29	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) → 0 < 𝑛))
31	13, 30	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → 0 < 𝑛))
32	31	com12 30	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
33	32	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
34	4, 33	sylbi 121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
35	34	imp 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑛)
36		elnnz 9479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑛))
37	3, 35, 36	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ)
38	37	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ))
39	1, 38	biimtrrdi 164	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ)))
40	39	com13 80	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ)))
41	40	impcom 125	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ))
42	41	pm4.71rd 394	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
43	42	bicomd 141	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
44	43	rexbidva 2527	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
45		nnssnn0 9395	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
46		rexss 3292	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
47	45, 46	mp1i 10	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
48		eluzge2nn0 9794	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49		oddnn02np1 12431	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
50	48, 49	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
51	44, 47, 50	3bitr4rd 221	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   ⊆ wss 3198   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℝcr 8021  0cc0 8022  1c1 8023   + caddc 8025   · cmul 8027   < clt 8204   ≤ cle 8205   − cmin 8340   / cdiv 8842  ℕcn 9133  2c2 9184  ℕ₀cn0 9392  ℤcz 9469  ℤ_≥cuz 9745   ∥ cdvds 12338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-dvds 12339

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