Theorem oddge22np1 11753

Description: An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddge22np1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem oddge22np1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2220	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		nn0z 9170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
3	2	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
4		eluz2 9428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
5		2re 8886	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
7		1red 7876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
8		2nn0 9090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℕ0
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
10		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0)
11	9, 10	nn0mulcld 9131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 9127	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
13	6, 7, 12	lesubaddd 8400	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
14		2m1e1 8934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 − 1) = 1
15	14	breq1i 3972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛))
16		nn0re 9082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℝ)
17		2pos 8907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 2
18	5, 17	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
20		ledivmul 8731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 / 2) ≤ 𝑛 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛)))
21	7, 16, 19, 20	syl3anc 1220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1 / 2) ≤ 𝑛 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛)))
22		halfgt0 9031	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < (1 / 2)
23		0red 7862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
24		halfre 9029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 / 2) ∈ ℝ)
26		ltletr 7949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑛) → 0 < 𝑛))
27	23, 25, 16, 26	syl3anc 1220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑛) → 0 < 𝑛))
28	22, 27	mpani 427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1 / 2) ≤ 𝑛 → 0 < 𝑛))
29	21, 28	sylbird 169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 ≤ (2 · 𝑛) → 0 < 𝑛))
30	15, 29	syl5bi 151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) → 0 < 𝑛))
31	13, 30	sylbird 169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → 0 < 𝑛))
32	31	com12 30	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
33	32	3ad2ant3 1005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
34	4, 33	sylbi 120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
35	34	imp 123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑛)
36		elnnz 9160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑛))
37	3, 35, 36	sylanbrc 414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ)
38	37	ex 114	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ))
39	1, 38	syl6bir 163	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ)))
40	39	com13 80	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ)))
41	40	impcom 124	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ))
42	41	pm4.71rd 392	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
43	42	bicomd 140	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
44	43	rexbidva 2454	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
45		nnssnn0 9076	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
46		rexss 3195	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
47	45, 46	mp1i 10	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
48		eluzge2nn0 9463	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49		oddnn02np1 11752	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
50	48, 49	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
51	44, 47, 50	3bitr4rd 220	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∃wrex 2436   ⊆ wss 3102   class class class wbr 3965  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818  ℝcr 7714  0cc0 7715  1c1 7716   + caddc 7718   · cmul 7720   < clt 7895   ≤ cle 7896   − cmin 8029   / cdiv 8528  ℕcn 8816  2c2 8867  ℕ₀cn0 9073  ℤcz 9150  ℤ_≥cuz 9422   ∥ cdvds 11665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-xor 1358  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-dvds 11666

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