ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddge22np1 GIF version

Theorem oddge22np1 11474
Description: An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
oddge22np1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem oddge22np1
StepHypRef Expression
1 eleq1 2178 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
2 nn0z 9025 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
32adantl 273 . . . . . . . . . 10 ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
4 eluz2 9281 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
5 2re 8747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
65a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
7 1red 7745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
8 2nn0 8945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℕ0
98a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
10 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
119, 10nn0mulcld 8986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
1211nn0red 8982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
136, 7, 12lesubaddd 8267 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
14 2m1e1 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 − 1) = 1
1514breq1i 3904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛))
16 nn0re 8937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ)
17 2pos 8768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 2
185, 17pm3.2i 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
1918a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
20 ledivmul 8592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 / 2) ≤ 𝑛 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛)))
217, 16, 19, 20syl3anc 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1 / 2) ≤ 𝑛 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛)))
22 halfgt0 8886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < (1 / 2)
23 0red 7731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
24 halfre 8884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 / 2) ∈ ℝ
2524a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 / 2) ∈ ℝ)
26 ltletr 7817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑛) → 0 < 𝑛))
2723, 25, 16, 26syl3anc 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑛) → 0 < 𝑛))
2822, 27mpani 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1 / 2) ≤ 𝑛 → 0 < 𝑛))
2921, 28sylbird 169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 ≤ (2 · 𝑛) → 0 < 𝑛))
3015, 29syl5bi 151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) → 0 < 𝑛))
3113, 30sylbird 169 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → 0 < 𝑛))
3231com12 30 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
33323ad2ant3 987 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
344, 33sylbi 120 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
3534imp 123 . . . . . . . . . 10 ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑛)
36 elnnz 9015 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑛))
373, 35, 36sylanbrc 411 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ)
3837ex 114 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ))
391, 38syl6bir 163 . . . . . . 7 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ)))
4039com13 80 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁𝑛 ∈ ℕ)))
4140impcom 124 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁𝑛 ∈ ℕ))
4241pm4.71rd 389 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
4342bicomd 140 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
4443rexbidva 2409 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
45 nnssnn0 8931 . . 3 ℕ ⊆ ℕ0
46 rexss 3132 . . 3 (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
4745, 46mp1i 10 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
48 eluzge2nn0 9314 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49 oddnn02np1 11473 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
5048, 49syl 14 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
5144, 47, 503bitr4rd 220 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463  wrex 2392  wss 3039   class class class wbr 3897  cfv 5091  (class class class)co 5740  cr 7583  0cc0 7584  1c1 7585   + caddc 7587   · cmul 7589   < clt 7764  cle 7765  cmin 7897   / cdiv 8392  cn 8677  2c2 8728  0cn0 8928  cz 9005  cuz 9275  cdvds 11389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-xor 1337  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-dvds 11390
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator