Theorem oddge22np1 12626

Description: An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddge22np1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem oddge22np1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2301	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		nn0z 9643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
3	2	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
4		eluz2 9906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
5		2re 9353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
7		1red 8331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
8		2nn0 9559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℕ0
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
10		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0)
11	9, 10	nn0mulcld 9604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 9600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
13	6, 7, 12	lesubaddd 8860	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
14		2m1e1 9401	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 − 1) = 1
15	14	breq1i 4132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛))
16		nn0re 9551	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℝ)
17		2pos 9374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 2
18	5, 17	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
20		ledivmul 9197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 / 2) ≤ 𝑛 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛)))
21	7, 16, 19, 20	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1 / 2) ≤ 𝑛 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛)))
22		halfgt0 9499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < (1 / 2)
23		0red 8317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
24		halfre 9497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 / 2) ∈ ℝ)
26		ltletr 8405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑛) → 0 < 𝑛))
27	23, 25, 16, 26	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑛) → 0 < 𝑛))
28	22, 27	mpani 434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1 / 2) ≤ 𝑛 → 0 < 𝑛))
29	21, 28	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 ≤ (2 · 𝑛) → 0 < 𝑛))
30	15, 29	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) → 0 < 𝑛))
31	13, 30	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → 0 < 𝑛))
32	31	com12 30	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
33	32	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
34	4, 33	sylbi 121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
35	34	imp 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑛)
36		elnnz 9633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑛))
37	3, 35, 36	sylanbrc 421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ)
38	37	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ))
39	1, 38	biimtrrdi 164	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ)))
40	39	com13 80	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ)))
41	40	impcom 125	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ))
42	41	pm4.71rd 398	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
43	42	bicomd 141	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
44	43	rexbidva 2547	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
45		nnssnn0 9545	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
46		rexss 3315	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
47	45, 46	mp1i 10	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
48		eluzge2nn0 9949	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49		oddnn02np1 12625	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
50	48, 49	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
51	44, 47, 50	3bitr4rd 221	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℝcr 8168  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   · cmul 8174   < clt 8350   ≤ cle 8351   − cmin 8487   / cdiv 8992  ℕcn 9283  2c2 9334  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900   ∥ cdvds 12532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-dvds 12533

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