Theorem oddge22np1 11614

Description: An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddge22np1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem oddge22np1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2203	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		nn0z 9098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
3	2	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
4		eluz2 9356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
5		2re 8814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
7		1red 7805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
8		2nn0 9018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℕ0
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
10		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0)
11	9, 10	nn0mulcld 9059	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 9055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
13	6, 7, 12	lesubaddd 8328	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
14		2m1e1 8862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 − 1) = 1
15	14	breq1i 3944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛))
16		nn0re 9010	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℝ)
17		2pos 8835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 2
18	5, 17	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
20		ledivmul 8659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 / 2) ≤ 𝑛 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛)))
21	7, 16, 19, 20	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1 / 2) ≤ 𝑛 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛)))
22		halfgt0 8959	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < (1 / 2)
23		0red 7791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
24		halfre 8957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 / 2) ∈ ℝ)
26		ltletr 7877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑛) → 0 < 𝑛))
27	23, 25, 16, 26	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑛) → 0 < 𝑛))
28	22, 27	mpani 427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1 / 2) ≤ 𝑛 → 0 < 𝑛))
29	21, 28	sylbird 169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 ≤ (2 · 𝑛) → 0 < 𝑛))
30	15, 29	syl5bi 151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) → 0 < 𝑛))
31	13, 30	sylbird 169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → 0 < 𝑛))
32	31	com12 30	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
33	32	3ad2ant3 1005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
34	4, 33	sylbi 120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
35	34	imp 123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑛)
36		elnnz 9088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑛))
37	3, 35, 36	sylanbrc 414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ)
38	37	ex 114	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ))
39	1, 38	syl6bir 163	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ)))
40	39	com13 80	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ)))
41	40	impcom 124	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ))
42	41	pm4.71rd 392	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
43	42	bicomd 140	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
44	43	rexbidva 2435	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
45		nnssnn0 9004	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
46		rexss 3169	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
47	45, 46	mp1i 10	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
48		eluzge2nn0 9391	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49		oddnn02np1 11613	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
50	48, 49	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
51	44, 47, 50	3bitr4rd 220	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418   ⊆ wss 3076   class class class wbr 3937  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℝcr 7643  0cc0 7644  1c1 7645   + caddc 7647   · cmul 7649   < clt 7824   ≤ cle 7825   − cmin 7957   / cdiv 8456  ℕcn 8744  2c2 8795  ℕ₀cn0 9001  ℤcz 9078  ℤ_≥cuz 9350   ∥ cdvds 11529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-xor 1355  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-dvds 11530

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